運動的相對性與參考系的選擇

韓蘭嵐

(廣州市第二中學，廣東 廣州市黃埔區水西路，510530)

運動的相對性與參考系的選擇

韓蘭嵐?

(廣州市第二中學，廣東 廣州市黃埔區水西路，510530)

討論了運動的相對性與選擇參考系之間的關系。對運動的描述是相對的，描述物體的運動必須選擇參考系。選擇參考系的實質是比較被觀測物體的運動與參考系的差別，因此在不同的參考系中對運動過程的描述是不一樣的。任何運動參量的測量值都必須有明確的參考系。在運動學的研究中，可以選擇任何物體作為參考系。牛頓運動定律只在慣性參考系中成立，因此在動力學的研究中，必須選擇地球或相對地球做勻速直線運動的物體作為參考系。

相對運動；坐標系；參照物

1 引言

物體的空間位置隨時間的變化過程稱為機械運動。運動是絕對的，但對運動的描述又是相對的。例如，坐在行駛中火車內的乘客，相對于地面是運動的，但相對于火車卻是靜止的；而且還可以說，相對于向前行駛的火車，地面正在向后運動。因此，研究物體運動必須選定參考系，物體相對于某一個參考系的運動才具有確定的意義。有關參考系的選擇問題貫穿整個機械運動。例如，區分靜摩擦力和動摩擦力的標準就是兩個相互接觸的表面是否有相對運動，而不管物體本身的運動狀態是怎樣的。刻舟求劍的笑話就源自參考系的選擇，我們觀測到的天體運動規律也與地球參考系密切相關。物體的機械能也與參考系的選擇有關，物體的重力勢能決定于零勢能參考面，甚至物體的動能也與參考系有關。第一次世界大戰期間，一位法國飛行員在飛行時能安全地用手抓住一顆德軍射出的子彈，就是因為相對于飛機，子彈的速度和動能近似為零。

選擇參考系就是忽略參考系中所有參照物的運動，只注重所觀測物體的運動參量中與參照物運動參量不同的部分，這就是相對性的本意。選擇不同的參考系來觀測同一物體的運動，結果會有所不同。參考系的選擇有一定的任意性，恰當的參考系會使問題變得容易處理。但有的時候，也對參考系有限制條件。本文討論參考系的選擇條件。

2 運動學中的參考系

2.1 兩個物體的位置、速度和加速度之間的相對關系

描述物體機械運動的基本物理量是位置（位移）、速度和加速度，研究這三個物理量隨時間的變化規律稱為運動學。下面導出同一參考系中兩個物體的運動參量之間的關系。

圖1 物體A和B的坐標位置

如圖1所示，相對于坐標原點O，物體A和物體B的位置分別是xA和xB；相對于物體B，物體A的位置是xAB。這三個位置量之間有關系式

當這兩個物體的位置發生變動時，它們的位移之間有關系式

在等式（2）兩邊同時除時間Δt就得到平均速度關系式

等式（3）中的vA和vB分別表示物體A和物體B相對于坐標系的速度，vAB表示物體A相對于物體B的速度。這個等式說明，物體A相對于坐標系的速度等于物體A相對于物體B的速度加上物體B相對于坐標系的速度。如果將等式（3）移項后變為vAB=vA-vB，這個式子說明，物體A相對于物體B的速度等于物體A的速度減去物體B的速度。或者說，如果選擇B為參照物，則物體A相對于B的速度就是從A的速度中扣除與B相同的部分。

這個等式說明，物體A相對于坐標系的加速度aA等于物體B相對于坐標系的加速度aB加上物體A相對于物體B的加速度aAB。或者說，物體A相對于物體B的加速度等于物體A的加速度減去物體B的加速度。這幾個式子給出了一維運動中的關系，很容易推廣到二維和三維運動。

2.2 兩列相向行駛的火車

如圖2(a)所示，設有兩列長度分別是lA和lB的火車A和B相向行駛，計算這兩列火車從相遇到經過的時間。我們分勻速和勻加速兩種情況來計算這個時間。第一種情況，假設兩列火車相對于地面分別以速度vA和vB勻速相向行駛。

圖2 兩列相向行駛的火車

（1）如果選取地面為參考系，如圖2(b)所示，在時間t內兩列火車行駛的路程的和等于兩車廂長度的和

因此，兩列火車相互經過的時間是

（2）如果選取列車B為列車A運動的參考系，如圖2(c)所示，由于列車B反向行駛，其速度應該是-vB，因此由公式（3）可得列車A相對于列車B的速度是

兩車相互經過時，A相對于B運動的路程是xAB= lA+ lB，因此兩車相互經過的時間是

從等式（6）和（8）可以看出，無論選擇地面作為參考系還是選擇運動的物體作為參考系，所得的結論是一樣的。也就是說，物理結論不會因為參考系的選擇而發生變化。

第二種情況，假設兩列火車相對于地面分別以加速度aA和aB從靜止開始勻加速行駛。（1）如果選取地面為參考系，與上面的圖2(b)所示情況一樣，在時間t內兩列火車行駛的路程的和等于兩車廂長度的和

因此，兩列火車相互經過的時間是

（2）如果選取列車B為參考系，由于列車B沿與x軸相反的方向加速行駛，其加速度應該是-aB，因此由公式（4）可得列車A相對于列車B的加速度是

兩車相互經過時，A相對于B運動的路程是xAB= lA+ lB；因此，由A相對于B的運動方程得，A經過B的時間是

等式（10）和（12）說明，無論選取地面為參考系還是選擇加速運動的列車為參考系，所得的結論是一致的。

如果兩列火車沿相同的方向行駛，用相同的方法可以得出類似的結論。這個例子告訴我們，對于純運動學的問題，可以選擇任何物體為參考系；選擇不同的參考系，對運動的描述過程不同，但結論是一致的。具體選什么物體作為參考系應視具體問題而定。比如上面的例子，選擇運動的列車為參考系就使得問題變得簡單明了。

3 動力學中的參考系

3.1 牛頓運動定律的適用條件

動力學研究的是物體受到的力與運動變化之間的關系。經典動力學的理論基礎是牛頓運動定律[1]。牛頓第一定律表明，如果物體沒有受到合外力的作用，物體的運動狀態不會發生變化，也就是沒有加速度。牛頓第二定律給出了物體的加速度與受到的合外力之間的等量關系，F合=ma 。當F合=0時，有a=0，因此牛頓第一定律是第二定律的一種特例，所以動力學的核心就是牛頓第二定律。任何定律都有其適用的范圍，超出該范圍，定律就不再成立。除了宏觀、低速的限制外，參考系的選擇也對牛頓運動定律提出了重要的限制條件，牛頓運動定律并非在任何參考系中都成立。如圖3所示，小球置于靜止的車廂內，當車廂啟動向右加速行駛時，我們會看到小球沿桌面向左滾動。如果選擇車廂為參考系，在水平方向沒有受到任何作用力的情況下，小球相對于桌面向左加速運動，這明顯違背了牛頓第一定律。但如果選擇地面為參考系，小球仍然靜止，與牛頓定律相符。我們將牛頓運動定律成立的參考系稱為慣性參考系，如果不考慮地球的轉動，地球近似為慣性參考系。

圖3 靜止和加速運動的車廂

3.2 升降機內的物體

如圖4所示，升降機的轎廂內有一個體重計，一個質量為m的物體放置在體重計上，當升降機加速運動時，問體重計的讀數是多少。受地球引力作用，物體的重力是G = mg。體重計的讀數是物體對體重計的壓力，這個壓力是接觸面間的彈性力，與體重計對物體的支持力FN是一對作用力與反作用力。根據牛頓第三定律，體重計的讀數應該等于FN。在重力和支持力的共同作用下，物體隨升降機在豎直方向相對于地面做加速運動。對于質量為m的物體，選取地面為參考系，取向上為正，由牛頓第二定律得

因此體重計的讀數是

由等式（14）可知，當升降機靜止或勻速運動時，FN=mg ，這時體重計的讀數就是通常所說的物體的重量；當升降機加速上升時，FN＞mg，體重計的讀數大于物體的重量，這就是超重；當升降機加速下降時，FN＜mg，這就是失重。

圖4 加速運動轎廂內的物體

在這個例子中，選擇地面為參考系，計算的結論是很自然的結果。但如果選擇升降機為參考系，結果就費解了。升降機向上加速運動時，體重計的讀數大于物體的重量；升降機向下加速運動時，體重計的讀數小于物體的重量。也就是說物體在豎直方向受到的合外力不等于零，但物體一直靜止在升降機內，相對于升降機并沒有運動，所以牛頓運動定律不成立。因此應用牛頓運動定律時，必須選擇地面作為參考系。出于解決問題的需要，如果非得選取其它參考系，就必須引入假想的慣性力來修正。例如，如果選擇轉動的物體為參考系，就得引入假想的離心力。

4 相對論中的相對性與參考系

以牛頓運動定律為基礎的經典力學只適用于做低速運動的宏觀物體，當物體的運動速度接近于光速時，牛頓運動定律不再成立，此時應該采用相對論來描述物體的運動。在相對論中，運動的相對性和參考系的選擇尤為重要。

圖5 運動車廂內臺面的長度

相對論的重要結論之一是物體的空間尺度隨運動發生變化。如圖5所示，在一個相對于地面以速度v做勻速運動的車廂內有一個臺面，該臺面沿運動方向的長度是多少？有兩種方法測量這個長度：一是站在車廂內測量，此時臺面相對于測量者靜止，設此時測量的長度是l0；二是站在地面上測量，此時臺面相對于測量者向右運動，設此時測量的長度是l。狹義相對論告訴我們[2]，這兩個長度之間有關系式

式子中的c表示光在真空中的傳播速度。由于物體的運動速度不可能大于光速，v＜c，所以有l＜l0，這就是運動的長度縮短。理解這個式子的核心就是運動的相對性，l0是相對于物體靜止的觀測者測量的長度，也就是物體相對于靜止參考系的長度；l是相對于物體運動的觀測者測量的長度，也就是物體相對于運動參考系的長度。因此，在提及物體的長度時，必須明確是在什么參考系中測量的長度。狹義相對論的另一個重要結論時間的相對性，也與這個相同，即在提及時間間隔時必須明確是在什么參考系中測量的時長。

5 結論

運動是絕對的，但對運動的描述又是相對的，研究物體的運動必須選定參考系。選擇參考系的實質是比較被觀測物體的運動參量與參考系的參量的差異。在運動學的研究中，可以選擇任何物體作為參考系，可以視具體的研究情況而定。選擇不同的參考系，對運動的描述過程是不一樣的，但所得的物理結論是一致的。動力學研究的理論基礎是牛頓運動定律，牛頓運動定律只在慣性參考系中成立，因此在動力學研究中只能選取地面或相對于地面做勻速直線運動的物體作為參考系。如果非得選擇非慣性參考系，必須引入虛擬的慣性力作為修正。

[1] 漆安慎，杜嬋英.力學[M]. 北京：高等教育出版社，1997

[2] 王正行.近代物理學(第二版)[M]. 北京：北京大學出版社，2010

G634.7

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：1003-7551(2016)02-0020-05

2016-05-01

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