基于Markov模型麻醉機生產線相鄰工位最佳看板數量研究

王燕茹 王凱凱

江南大學商學院

基于Markov模型麻醉機生產線相鄰工位最佳看板數量研究

王燕茹 王凱凱

江南大學商學院

利用馬爾科夫（Markov）模型求解單級生產系統相鄰工位之間的最佳看板，并依據生產過程中最小總期望成本來約束使用的看板數量。通過確定最佳看板數量，目的是為了促使生產過程按照看板數量有序生產，減少生產過程中不必要的成本浪費。文中證明馬爾科夫模型在確定生產看板數量方面有良好的學術效果和實踐意義。

馬爾科夫模型 相鄰工位 總期望成本

一、緒論

（一）研究的意義

看板管理，是指為了達到JIT準時生產方式而嚴格控制生產流程的工具。看板是一種工廠內部推動生產運作的信息流。針對于工廠內部物料流而言，工廠內部的物料流是指工廠內部用于生產從倉儲配料至生產到完成客戶最終需求產品的整個物料流動過程。物料流和信息流是相輔相成的兩個過程。

但是基于看板管理的生產過程中，信息流與物料流的流動方向正好相反，它是建立在生產物料流的前提下，逆向從最末道工序開始向前拉動一步步直到開始端，進而推動完成物料在工廠里流動的全過程。因而整個循環過程，就是看板系統的運作過程。確定看板卡最佳使用數量，通過求得生產過程中消耗的總成本，對于降低生產過程中不必要的成本費用具有重要意義。

（二）國內外研究動態

關于最佳看板數量的研究，國內外專家學者都有相關方面的文獻。比如，國內學者林勇、樂曉娟等（2006年）引用CONWIP混合生產控制方法通過生產線看板總數調節在制品總量。

國外一些學者如Rees（1987）提出一套流程，目的是為能夠在相對不穩定的環境下動態地調整生產過程中的看板數量；Bitran和Chang（1987）研究出一種應用于確定的、多級的、具有裝配樹結構的生產環境的一種看板系統的數學模型；Askin（1993）提出一種求解最佳看板的隨機模型，應用于同時生產多產品類型的生產線中；Karmarkar和Kekre（1989）使用不同的單—雙看板研究生產提前期的批次效果；Pan和Liao（1989）,Yilmaz（1992）研究出一種應用于兩級生產系統中關于最佳的訂單和生產數量模型；Siha（1994）使用時間連續的馬爾科夫鏈為拉式生產建立數學模型。

二、相關理論基礎

假定工位A和工位B是處于N級生產線中間連續相鄰的操作工位，且生產線的物料流是從A向B。最初，B從A獲取生產所需的原物料，A會將B所需物料通過看板周轉箱的方式傳送給B，待產品組裝完成時，A發送配料請求給前一工位申請分配所需物料，B會通過回執空周轉箱給A，發送物料領取要求。A得到指令后傳送給B來執行此請求。

將排隊理論應用在生產線中，對于看板系統的工位A，假定物料以固定的生產節拍在A進行生產然后以固定的需求節拍傳送給B。且在拉式生產中，A傳送物料只能按照B的需求節拍傳送。因此，在生產線B的需求節拍等同于排隊理論的服務節拍。類似地，生產節拍等同于顧客到達節拍。

在建立數學模型之前需要對相關的參數進行假設：

三、建立模型及分析

（一）建立馬爾科夫數學模型

（5）

（二）看板系統總期望成本

為了求得最佳看板使用數量，通過計算看板系統中總期望成本的最小值。總期望成本主要由兩部分組成：一部分是缺料成本另一部分是維持成本，用表示。因此，總期望成本寫成如下表達式：

首先，假設相鄰兩個工位A和B之間只是存在一個看板在流通，那么只會存在兩種狀態轉移的情況。所以這種情況下的看板系統的轉移矩陣可以寫成如下形式：

那么對應的馬爾科夫差分方程的系數矩陣應該是

因此，相鄰工位只有一個看板流通的系統的定態方程式，可以根據（5）（8）求得的值。

同理，如果在相鄰兩個工位之間存在兩個看板進行流通，那么這兩個周轉箱會存在三種狀態，在一個中間階段以此類推，矩陣和可以寫成以下：

所以含有兩個看板流通的系統的定態等式可得：

由以上三種不同看板數量的總期望成本表達式可以歸納，總期望成本會服從某一規律。根據歸納法，當相鄰兩工位之間存在個看板流通時可以寫成如下表達式

然后將這三個公式代入（18）（19）并簡化，得到以下不等式：

四、實例求證

在本小節中，將上述所建立的數學模型應用到麻醉機生產線中，根據麻醉機生產線中各個工位的實際生產節拍和需求節拍缺料造成的損失成本以及看板周轉箱的維持成本等得到的真實數據，求解生產線的最佳看板。

根據實際統計數據，麻醉機生產線的工藝流程基本要經過多次組裝、機架裝配、電氣功能測試、高壓低壓測試、最終裝配、機器包裝等工藝流程。如下圖1所示：

圖1 麻醉機生產線基本工藝流程圖

根據生產線的實際要求，經過多次反復測試和平均時間計算，參數生產節拍（生產一套所需時間）、需求節拍（需求一套所需時間）、缺料成本（生產缺料損失）以及周轉箱維持成本基本參數如下：

那么根據實際提供的參數，可以計算相鄰工位之間的最佳看板數量依據之前因此代入參數求得總期望成本如下：

并將參數代入（23）兩個不等式中得

五、結論

利用馬爾科夫（Markov）模型簡單、初步地求解生產看板中的最優過程，通過使生產過程中總期望成本最小化來獲得最佳看板數量。文章中以二級系統為例，考慮生產線中只有兩個裝配工位的過程，并對相關參數進行實際調查和統計，以及某些參數由于影響因素較小而忽略不計。但是，實際的生產過程中考慮參數更多，裝配工位更加復雜，因此對以后將該模型擴展到更加復雜的影響因子、多級系統的生產流程中提供基礎理論和參考依據。

[1]林勇,樂曉娟,付秋芳.Push/Pull和CONWIP/Pull生產控制模式對比分析 [J].工業工程，2006,9（2）:6-10.

[2]Rees,L.P., Philipoom,P.R., Taylor, B.W.I, and Huang, P.Y., Dynamically adjusting the number of Kanbans in a Just-in-time production system using estimated values in leadtime [J].IIE Transitions,1987,19,199-207.

[3]Bitran, G.R., and Chang,L., A mathematical programming approach to a dererministic Kanban system [J].Management science,1987,33,427-441.

[4]Askin,R.G.,Miteasi,M.G.,and Golderc,J.B., Determining the number of Kanbans in multi-item Just-in-time systems [J].IIE Transitions,1993,25,89-98.

[5]Karmarkar,U.S.,and Teyre,S., Batching policy in Kanban systems [J].Journal of Manufaturing systems,1989,8,317-328.

[6]Pan,A.C., and Liao,C.J., An inventory model under Justin-time purchasing agreements, [J].Production and Inventory Management,1989,30,49-52.

[7]Siha,S., The pull production system:modelling and characteristics,[J].International Journal of Production Research,1994,32,933-949.

[8]VIJAY S. NORI, BHABA R SARKER. Optimum numBer of Kanbans Between two adjacent stations [J]. Production Planning&Control,1998,9（1）:60-65.

王燕茹（1960.12-），女，內蒙古呼和浩特人，副教授，碩士生導師，主要研究領域：營銷管理、旅游管理等；王凱凱（1991.11-），男，山東省濰坊市人，碩士研究生，主要研究方向：生產企業物流的管理與運作。

中央高校基本科研業務費專項資金資助項目（JUSRP1601XNC）。