概率論中幾個事件之間的聯系與區分

楊彥琴++王娜

摘要：對事件之間的關系理解與掌握是學好概率論與數理統計的基礎，本文主要從概率論中幾個易混淆事件及其概率做了區別與聯系，起到對概率論與數理統計的教學有幫助。

關鍵詞：概率論與數理統計；事件；區別；聯系

概率論與數理統計課程在我校是經管類、理工類專業學生的一門必修課程，也是全國研究生入學考試內容之一，在學習概率論與數理統計這門學科時涉及到很多的基本概念，尤其是對于初學者來說在第一章會遇到對幾個事件之間的關系區分有所困難，導致遇到實際問題無法解決。本文主要從概率論中幾個易混淆事件及概率：不可能事件與概率為零的事件；互斥事件與相互獨立事件；條件概率、無條件概率與交事件的概率做研究，探究他們之間的聯系與區別，在教學時應注重對它們概念之間的詳細講授與區分。

一、不可能事件與概率為零的事件

在學到概率密度函數時會遇到若 為離散型型隨機變量， 為任意常數，則 ，若 為連續型隨機變量， 為任意常數，則 ，說明 但是{ }是可能會發生的事件，且在前面也學過 ，即不可能事件的概率為零，概率為零的事件不一定是不可能事件，很多同學剛學時對這部分內容理解起來有困難，認為概率為零即事件發生的可能性為零，事件怎么可能會發生呢？ 在指導學生解題時經常會遇到這樣的問題： ，學生會認為A與B互斥。

一般情況下用定積分的幾何意義去解釋，積分區間趨于零，值趨于零。對任給 ，總有

令 ，得上式右端趨于零。所以 。

這里的概率為零分為兩種情況：1、概率恒為零的事件：概率恒為零，說明不管試驗多少次，事件總是不會發生，這類事件是不可能事件2、概率趨于零的事件：比如拋擲一枚硬幣一次，幣值面向上的概率為 ，當拋擲無窮多次時，每次都是幣值面 向上的概率為 ，像這樣的事件就是概率趨于零的事件，但拋擲無窮多次時每次都是正面向上卻是一個可能會發生的事件。事件的概率是對事件發生的可能性大小描述，概率值大，即事件發生的可能性大，概率值小，即事件發生的可能性小.概率趨于零稱為零概率事件，但是是可能會發生的事件，只是發生的可能性趨于零。

二、互斥事件與相互獨立事件

兩個事件A，B互斥指的是A，B不可能同時發生，即 ，兩個事件A，B相互獨立指的是A，B中一個事件的發生與另一個事件發生的概率無關，即 。兩事件獨立與兩事件互斥這兩者之間沒有必然聯系。在教學中，發現學生對他們之間的關系不清楚。一般情況下，互斥的事件是一個系統內的兩個事件，這兩個事件沒有共同的樣本點。而相互獨立的事件是兩個系統的兩個事件，從概率的角度看為一個事件的發生與另一個事件發生的概率無關，且 且由條件概率的公式 推出 ，同理也可推出 ，它表示一個事件的發生并不影響另一個事件的發生。

例如：某年級有兩個班，共有85人，其中一班有40人，男生人數為10人，女生人數為30人，二班有45人，男生人數為15人，女生人數為30人，又設 為“抽到的是第i班男生”， 為“抽到的是第i班女生”， ，現從中任意取出一名同學。

這里 與 為兩個系統的事件，相互之間沒有影響，這兩個系統之間的事件相互獨立，所以 與 相互獨立， 與 相互獨立。 為同一個系統的兩個事件，且兩者之間沒有交集， ，所以 與 互斥，同理 與 互斥。互斥與獨立是兩個不同屬性的概念，他們之間沒有必然的聯系。

三、條件概率、無條件概率與交事件的概率

條件概率是概率論中很重要的概念之一。在初學時容易將條件概率、無條件概以及交事件的概率相混淆。設A，B為兩個隨機事件，從概念上理解交事件P（AB）指是A，B同時發生的概率，條件概率 P（A|B）是在事件B發生的條件下事件A發生的概率，無條件概率P（A）指的是在沒有任何條件下事件A發生的概率。設n：樣本空間 中基本事件的總數， ：事件A包含其中k個基本事件，從概率運算上理解無條件概率： ，條件概率： ，交事件的概率： ，發現 和 樣本空間都是 ，所包含的的基本事件數不一樣， 與 所包含的基本事件數一樣，而 的樣本空間縮小為B，這三者之間的區別很顯然。

例 某年級有兩個班，共有85人，其中一班有40人，男生人數為10人，女生人數為30人，二班有45人，男生人數為15人，女生人數為30人，現隨機的抽取一名同學。

由上例，并設A為“抽到的是男生”，B為“抽到學生來自一班”，易知n=85， =25，事件AB為“指抽到的是來自一班的男生”，它所包含的基本事件的個數 =10，所以P（A）= ，P（AB）= ，而P（A|B）= ，事件B發生的條件下，樣本空間包含的總的基本事件數縮減為40，即為B所包含的基本事件數。

結論

對這三個典型問題結論的理清可以考驗學生對概念的理解程度，只有理解了遇到問題就不會陷入困擾之中，從概念歸納出問題所屬類型直接掌握概率論這門課程。教學時，用上述方法把這三個問題講解清楚，讓學生容易理解和掌握各個概念，使學習更有效率，增強學生的學習興趣。

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