隨機(jī)捕食—食餌模型正解的存在唯一性

楊麗賢++祖力

摘要：本文考慮一個(gè)具有白噪聲擾動(dòng)的隨機(jī)對(duì)偶型捕食-食餌系統(tǒng).利用隨機(jī)微分方程基本理論，并結(jié)合停時(shí)和隨機(jī)殃理論，得出系統(tǒng)存在唯一正解的充分條件.

關(guān)鍵詞：隨機(jī)捕食-食餌模型；存在唯一性；停時(shí)

Abstract：In this paper，we mainly consider a stochastic predator-prey model disturbed by white noise.Using the basic theory of stochastic differential equations，and random bullet theory and combined with stopping time，we obtain the sufficient condition of existence of the unique solution.

Keywords：Stochastic predator-prey model；Existence and uniqueness；stopping.

1 引言

自然界生物種群之間的關(guān)系主要分為捕食關(guān)系，競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系以及互惠關(guān)系，而中捕食關(guān)系模型是所有模型中最基本和常見(jiàn)的關(guān)系[1-3]。而種群的斑塊擴(kuò)散現(xiàn)象是在生物延續(xù)發(fā)展歷史軌跡中起著重要作用的因素[4-7]，在一些斑塊中，如果沒(méi)有生物在斑塊的遷移，即地區(qū)之間被孤立起來(lái)，可能由于食物匱乏，環(huán)境惡劣等因素導(dǎo)致物種的滅絕，因此本文將食餌種群的斑塊擴(kuò)散納入其中，并且在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上，就食餌具有斑塊擴(kuò)散的對(duì)偶型隨機(jī)捕食-食餌模型在環(huán)境白噪聲影響下的正解存在性加以證明，隨機(jī)模型如下

其中 是互相獨(dú)立的布朗運(yùn)動(dòng)，正常數(shù) ， 表示白噪聲的強(qiáng)度。假定 是非負(fù)常數(shù)，且 不可約，參數(shù)均為正的常數(shù)。為了方便起見(jiàn)，我們用 。

2 主要結(jié)論

本章將給出公式（1.1）正解存在唯一性的證明過(guò)程，主要用到了伊藤公式。

定理2.1 對(duì)于任何給定的初始條件 ，系統(tǒng)（1.1）存在唯一正解 ，且以概率1存在于 中。

證明：雖然方程（1.1）的系數(shù)是局部Lipschitz連續(xù)的，但不滿足線性增長(zhǎng)條件，一般的存在唯一性定理的結(jié)論不能應(yīng)用到這個(gè)系統(tǒng)中。于是對(duì)任意給定的初始條件 ，在 中存在唯一一個(gè)局部最大解，用 表示，其中 是爆炸時(shí)間。這里為了得到解的全局性，我們需要證明 。現(xiàn)定義一個(gè) -函數(shù) 如下

，利用伊藤公式，可得

明顯的，二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)值，所以能找到一個(gè)正的常數(shù)K*使得

且K*不依賴于變量和t。

另一方面，設(shè) 為充分大且使得 。對(duì)任意整數(shù) 定義一個(gè)停時(shí) ，

這里規(guī)定 ， 為空集。明顯的，當(dāng) 時(shí) 是單調(diào)遞增的。令 ，因此 幾乎必然成立，所以只要說(shuō)明 幾乎必然成立即可。不妨設(shè) 滿足 ，于是對(duì) 由Ito公式和式子（2.2）

（2.1）

對(duì)任意一個(gè) ，定義

。

顯然 。于是能夠找到一常數(shù) 使得

。

且當(dāng) 我們有

。

由于 是任意的正數(shù)，因此有

，

這說(shuō)明系統(tǒng)（1.1）在 上存在唯一的全局解 ，結(jié)論得證。

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