對一道高考題的研究與拓展

鄭洲

引入：（2013年浙江高考卷理科22題）已知 ，函數 。

（1）求曲線 在點 處的切線方程。

（2）當 時，求 的最大值。

1.試題簡析

（2）由于 故

（1）當 時，有 ，此時 在 上單調遞減，故

（2）當 時，有 ，此時 在 上單調遞增，故

（3）當 時，設 ， ，則 ， 。

由于 故 ，

，從而 。

所以 。

（4）當 時，

又 ，

故 。

（2）當 時， 且 。

又 ，所以

（i）當 時， .故 .

（ii） 當 時， .故 .

綜上所述，

2.初等應用

例1.設函數

（1）當 時，求函數的單調區間；

（2）當 時，求函數 在 上的最大值M。

解析：（1）略（2）

令 得 。令 ，則 所以 在 上遞增，所以 ，

從而 所以 ，所以當 時， 當 時，

所以 。

令 ，則 ，令 則 所以 在 上遞減，而 所以存在 使得 且當 時， 當 時， 所以 在 上單調遞增，在 上單調遞減。

因為 所以 在 上恒成立，當且僅當 時取得等號。

綜上，函數 在 上的最大值 。

點評：本題得關鍵是做差比較 和 的大小關系，構造函數 ， ，并二次求導，證明 在 上恒成立。