立體幾何中的向量方法（第1課時）

陳佳佳

近期筆者代表學校參加了金華市數學課堂教學評比。比賽分為三輪，分別是說課、說題、上課。筆者的教學內容為人教A版《選修2-1》第三章“空間向量與立體幾何”第二節“立體幾何中的向量方法”（第一課時），現將教學過程整理如下。

1.教材分析

1.1教材的地位與作用

《立體幾何中的向量方法》是數學《選修2–1》第三章第二節內容，主要討論的是用空間向量處理立體幾何問題。本節課主要學習用向量表示點、線、面的位置以及線線、線面、面面的位置關系如何用向量來表示，這為接下來用向量的方法處理立體幾何問題做了鋪墊。

1.2 教學目標

依據課程標準，結合學生的認知發展水平和心理特征，確定本節課的教學目標如下：

知識與技能：理解點的位置向量、直線的方向向量與平面的法向量的概念，能用向量語言表述線線、線面、面面的位置關系。

過程與方法：通過概念的理解和應用，可以提高學生感知和梳理知識的能力，發展獨立獲取數學知識的能力。

情感、態度與價值觀：通過本節課的學習，激發學生對數學的好奇心和求知欲，培養學生良好的學習習慣和思維品質。

1.3 教學重難點

重點：直線的方向向量和平面的法向量概念的理解；

難點：直線的方向向量和平面的法向量的應用；

2.教法學法分析

2.1 學情分析

本節課的教學對象是高二學生。通過數學《必修2》中的立體幾何和數學《選修2–1》空間向量及其運算的學習，學生已具備了一定的空間想象能力和代數運算能力，很自然就過渡到二者綜合運用的層次；但是由于學生數學思維能力有所欠缺，認知結構不太健全，學生仍會對向量和幾何的綜合運用存在一定的困難。

2.2 學法分析

通過逐步設問讓學生動手實踐、討論、比較，抽象概括出概念，讓學生體會特殊到一般的思維方法，發展學生的理性思維能力。

2.3 教法分析

通過分析教材和學生認知規律，創造性地使用教材，做到既重視教材，更重視學生，用啟發引導法和自主探究法進行教學。

3.課堂實錄

3.1創設情境，引入課題

問題情境：已知正方體 中，

（1）求證：直線

（2）求異面直線 所成角的余弦值。

（PPT投影）

教師：同學們，這是立體幾何中比較常見的兩個問題，你們會解嗎？

（學生思考片刻后）

學生1：第一小題的解題思路：連接線段AC，通過證明 ，得到 .同理可得， ，從而得到結論。

學生2：第二小題的解題思路：把BD平移到 ， 為所求角且 是正三角形，容易得到結論。

教師：兩位同學都回答得非常好，通過前面一節內容的學習，我們還能用其它方法來處理嗎？

（學生開始七嘴八舌的提出自己的見解）

教師：對！我們還能用前面學習的空間向量的知識來處理，空間向量不僅可以求異面直線所成角，還能證明線面垂直，面面垂直等立體幾何問題。

設計意圖：從我們熟悉的空間幾何體引入今天的課題，讓學生有一種親切感，也激發了學生的求知欲望。

3.2探究新知，形成概念

教師：閱讀課本第102～103頁內容，回答以下幾個問題：

1.位置向量的定義。

2.直線的位置如何確定？

3.平面的位置如何確定？

4.法向量的定義。

（多媒體展示問題，學生帶著問題閱讀課本，閱讀完后思考、討論、回答，教師板書概念）

點的位置向量：在空間中，取一定點O作為基點，空間任一點P的位置可用向量 表示，故向量 為點P的位置向量。

直線的方向向量：直線 上取 ，那么對于直線 上任意一點P，存在實數t使得 。

平面的法向量：如果直線 ，取直線 的方向向量 ，則向量 叫做平面 的向量。

教師：我們還能從剛才的三個概念中提煉出三個結論：

1.法向量一定是非零向量；

2.一個平面的所有法向量都互相平行；

3.向量 是平面的法向量，向量 是與平面平行或在平面內，則有 。

設計意圖：為了更好地理解概念，突出重點。

教師：經過剛才的學習，我們現在能用空間向量解決問題情境中的兩個問題了嗎？

（問題情境重現，引發學生思考）

學生3：可以用直線的方向向量來表示直線，平面的法向量來表示平面。但具體怎么做還不是很清楚。

教師：這位同學對所學知識掌握的很好，能現學現用。為了解決以上問題，我們先來思考以下兩個問題：

（1）線線、線面、面面平行和垂直的位置關系如何用向量來表示？

（2）線線、線面、面面的夾角如何用向量來表示？

（學生認真思考，但一下子無從下手）

教師：我先以線面垂直為例，我們一起來探究。請同學們畫出線面垂直的情況，同時標出直線的方向向量和平面的方向量。（請學生板演）

學生4：

教師：同學們，你們看這樣畫對嗎？

學生5：可以的！但是還有三種種情況，這兩個箭頭可以都向上，也可以都向下，還可以一上一下或一下一上。

學生6：我覺得應該是兩種情況：兩個向量方向相同或相反。

教師：很好！向量與線段的不同在于它是既有大小又有方向的量。所以在畫直線的方向向量和平面的方向量時要考慮到方向，但是我們在做題時還要考慮到題目的需要。兩個向量的方向都向上或都向下是同一種情況，所以我們最終得到以下兩種情況。

教師：那么我們根據圖形可以得到什么結論？

（學生思考片刻后）

學生7：不管是第一種情況還是第二種情況，這兩個向量都是共線的，所以 。

教師：總結得很好，這樣我們就可以用直線的方向向量和平面的法向量來證明線面垂直。接下來請同學們仿照線面垂直的探究過程，來研究線線、線面、面面平行與垂直的其他情況。

學生經過討論和作圖研究后，得到以下結論：

設直線 l，m的方向向量分別為 ，平面 的方向量為 ，則

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

注意：這里線線平行包括線線重合，線面平行包括線在面內，面面平行包括面面重合。

教師：第一個問題我們已經解決了，下面我們來研究第二個問題。我們仍以其中一個為例，那我們先來解決我們最熟悉的問題——兩條異面直線所成角。請同學們先來畫出線面垂直的情況。

學生8：（上臺板演）

教師：同學們覺得怎么樣？（大部分同學點頭表示贊同，有同學有異議）

學生9：直線所成的角是小的那個角，怎么會有兩種情況呢？

教師：誰能來幫我們的學生9解決心中的疑問呢？

學生10：我覺得他有點混淆了，異面直線所成的角是唯一的，但兩個方向向量所成角是有兩種情況的。

教師：這位同學的回答得很好，前面同學的提問也有想象力。這就是我下面要問的問題：異面直線所成角與兩個方向向量所成角之間有什么關系呢？

學生11：相等或互補。

教師：那么我們又能得到什么結論呢？

（也許受到剛才的激勵，學生們思考的積極性明顯高漲，很快就有了結果）

學生12：

相等時 ，互補時

教師：非常正確！我們也可以合到一起寫成：

教師：剩下的線面和面面的夾角問題作為課后思考題，請同學們課后自行完成。

設計意圖：在教師的啟發引導下，學生自主探究、自由想象、合作交流的過程中，突破本節課的難點。體現了學生的主體地位和教師的主導作用。

3.3及時訓練，鞏固新知

例1：（PPT投影）判斷下列線線、線面、面面的位置關系

（1）設 分別是直線 的方向向量，且

（2）設 分別是平面 的法向量，且

（3）設 是平面 的法向量， 是直線 的方向向量，且

（請三位同學板演，其余同學獨立完成）

題目難度不大，所以同學們都做得非常好。

設計意圖：三種不同的情況，三種不同的位置關系，不僅鞏固了所學的知識而且讓學生充分體會空間向量在解立體幾何問題中的作用。同時也體現了“向量是軀體，運算時靈魂”這句話的真正含義。

4.總結反思，提高認識

教師：通過努力，我們會用向量的方法來解決一些立體幾何問題，我們本節課主要探討了哪些？

學生13：探討了線線、線面、面面的平行與垂直問題以及異面直線所成角的問題。

看來收獲還是比較多的，希望同學們可以將這類研究問題的方法和數學思想運用到更多的領域中，相信你會有更多的收獲！