旋轉體的體積的計算

蔣銀山

摘要：旋轉體的的體積計算方法有⑴以 為積分變量繞 軸旋轉，⑵以 為積分變量繞 軸旋轉，（3）以 為積分變量繞 旋轉，⑷以 為積分變量繞 軸旋轉，⑸以 為積分變量繞 軸旋轉，（6）以 為積分變量繞 旋轉

關鍵詞：連續曲線；旋轉體的體積；曲邊梯形；空心圓柱

由于旋轉體的體積的種類很多，計算比較復雜，為了便于同學們能過掌握好現總結如下

1.以 為積分變量繞 軸旋轉

由連續曲線 ，直線 及 軸圍成的平面圖形繞 軸旋轉一周而成的旋轉體的體積。相應于 上的任以小區間 的窄曲邊梯形繞 軸旋轉而成的體積近似于以 為底半徑、 為高的扁圓柱體的體積 .

一般地由連續曲線 圍成的圖形繞 軸旋轉一周而成的旋轉體的體積。

簡記為：

2.以 為積分變量繞 旋轉

由連續曲線 ，直線 及 軸圍成的平面圖形繞 軸旋轉一周而成的旋轉體的體積。相應于 上的任以小區間 的窄曲邊梯形繞 軸旋轉而成的體積為空心圓柱近似于以半徑為 的圓的周長為 為長、 為寬、 為高的長方體的體積 .則

一般地由連續曲線 圍成的圖形繞 軸旋轉一周而成的旋轉體的體積。

簡記為：

3.以 為積分變量繞 旋轉

由連續曲線 ，直線 及 圍成的平面圖形繞 軸旋轉一周而成的旋轉體的體積。相應于 上的任以小區間 的窄曲邊梯形繞 軸旋轉而成的體積為近似于以底面半徑為 、 為高的圓柱的體積 .則

由連續曲線 及 軸圍成的圖形繞 旋轉一周而成的旋轉體的體積。

一般地由連續曲線 圍成的圖形繞 軸旋轉一周而成的旋轉體的體積。

簡記為：

4.以 為積分變量繞 軸旋轉

由連續曲線 ，直線 及 軸圍成的平面圖形繞 軸旋轉一周而成的旋轉體的體積。相應于 上的任以小區間 的窄曲邊梯形繞 軸旋轉而成的體積為空心圓柱近似于以半徑為 的圓的周長為 為長、 為寬、 為高的長方體的體積 .則

一般地由連續曲線 圍成的圖形繞 軸旋轉一周而成的旋轉體的體積。

5.以 為積分變量繞 軸旋轉

由連續曲線 ，直線 及 軸圍成的平面圖形繞 軸旋轉一周而成的旋轉體的體積。相應于 上的任以小區間 的窄曲邊梯形繞 軸旋轉而成的體積為近似于以半徑為 的圓、高為 的圓柱的體積.

一般地由連續曲線 圍成的圖形繞 軸旋轉一周而成的旋轉體的體積。

簡記為：

5.以 為積分變量繞 旋轉

由連續曲線 ，直線 及 圍成的平面圖形繞 軸旋轉一周而成的旋轉體的體積。相應于 上的任以小區間 的窄曲邊梯形繞 旋轉而成的體積為近似于以底面半徑為 、 為高的圓柱的體積 .則

由連續曲線 及 軸圍成的圖形繞 旋轉一周而成的旋轉體的體積。

一般地由連續曲線 圍成的圖形繞 軸旋轉一周而成的旋轉體的體積。

簡記為：

例、設平面圖形 ，求 分別繞直線 與 旋轉一周而成的旋轉體的體積 和 .

解：

參考文獻：

[1]李正元，李永樂，袁蔭棠： 《 數學復習全書》 ，國家行政學院出版社，2013（2）.

[2]陳啟浩，《考研數學快捷解題》 ，機械工業出版社，2010（4）.