掌握截面法，打好力學堅實基礎

古麗夏提

摘要：根據學生在學習中存在的問題，本文作者總結出學生感到學習結構力學很困難的主要原因是：沒有掌握好靜力學計算的基本方法——截面法。在本文中舉出學生在結構的受力分析中應用截面法進行內力計算出現的典型問題的原因及解決方法，對學生學好結構力學起到很好的輔導作用。

關鍵詞：截面法；隔離體；受力分析；結構類型；桿件類型

前言

結構力學是土建、水利工程類各專業的必修課，主要研究桿系結構在荷載等外因影響作用下的強度和剛度的計算與校核。由于結構復雜、計算繁瑣，一直是學生頭痛的功課。學生為什么感到結構力學難學呢？筆者在長期教學中，針對學生在學習中存在的問題，感覺到一個很重要的原因，就是學生沒有掌握好靜力學計算的基本方法——截面法。這個原因在基礎較差的少數民族班中更顯得突出，因此要學好結構力學，首先必須熟練掌握截面法。我們希望該文章能夠給學生一點啟發與幫助，增強學習結構力學的信心與興趣。

一、截面法的定義

定義：將指定截面切開取出左邊部分（或右邊部分）為隔離體，應用隔離體的平衡條件確定截面的內力或反力。定義不難，但是理解卻是不容易的，例如用假想平面將截面切開后，為什么截面處會出現力？這似乎是簡單又簡單的問留，是理論力學、材料力學早已解決的問題，可這正是許多同學在學習中沒有學好這一內容，致使在結構力學的學習中成為一個說不清道不明似是而非的問題，追蹤源頭，是學生對"力"的概念仍舊模糊。什么叫“力”？“力”就是物體與物體之間的相互作用。見圖1，一個房梁搭在墻上為什么可以保持不動，不會掉下來？就是由于墻體的支撐作用，而這作用實質上是力的作用，若不用墻體，而換為某一同學用肩膀去扛，同學一定會感到梁壓力的作用，而自己必須使勁才能使梁不動，這充分說明支撐作用就是力的作用，而且由于梁壓力的作用，同學不僅是肩膀受到力的作用，而且軀干、腿部均感到力的作用，這說明外力的作用引起物體內部力的作用，這就是內力。當用假想平面把結構與支座切斷，則支座對結構的支撐約束作用就用其支撐力代替，就好象用人體代替墻體一樣，同理，看圖2，從桿件某一指定截面處用假想平面切開，取截面一側部分為隔離體，在截面處必有另一部分隔離體對該截面的約束作用——內力，這就是截面處出現力的原因。從平衡的觀點來講，取出的隔離體一定要滿足平衡條件，在截面處必存在與荷載、反力構成一組平衡力系的內力。

二、截面法中的幾個問題

1、隔離體的類型

根據所求問題的不同，隔離體大致可以分下列三種類型：

（1）全部結構 一般在求支座反力時常采用這種隔離體，例如圖3所示三鉸剛架計算豎向反力 時就以整體為隔離體，根據 的平衡條件得到： ，具體計算時，為方便取隔離體并不去掉支座，而直接在支座處標出反力方向，應用平衡條件計算即可。

（2）部分結構 求解截面內力一般采用這種隔離體，即把欲求內力的截面截開，取截面一側部分為隔離體。

（3）一個結點 桁架內力計算的結點法就是一個典型的例子。此外在剛架內力計算中，由已知剪力求軸力以及最后內力校核時也常取一個結點為隔離體。

2、桿件的類型

截取隔離體時，根據不同類型的桿件，在桿截面處的內力種類也是不同的。

（1）梁式桿 這是以受彎為主的桿件，象梁、剛架的桿件就是這種類型，其內力包含彎矩、剪力和軸力。

（2）桁式桿 內力只有軸力的桿件，又稱二力桿或鏈桿，桁架在結點荷載作用下，各桿均為桁式桿。

（3）結構計算中還要注意支座的類型，不同類型的支座對應的反力也是不同的，教課書上有詳細論述，這里就不贅言了。

三、如何應用截面法

在結構力學中，計算方法很多，但這些方法仍然是以截面法為基礎的，例如疊加法作彎矩圖，其中很關鍵的一步就是求各控制截面的彎矩值，而其計算方法就是截面法。用截面法求解指定截面內力的一般計算步驟是：'

1、用假想平面切開指定截面，取出一側部分為隔離體。

2、把隔離體上作用的荷載、支座反力以及內力畫出，一般末知內力按正向畫出。

3、應用平衡條件逐個求出截面內力。一般步驟是：

第1步，同學基本上可以掌握，但個別同學出現的問題是截取隔離體時，并沒有完全斷開，例如圖4所示桁架，應用截面法求解a桿軸力 ，正確方法是：先作截面I一I切斷a、b、c三桿，取截面左邊部分為隔離體，以C點為矩心，由 即可求出 。而出現的錯誤做法是只切斷了a桿，就想當然應用I一I左邊部分，由 得出 的錯誤解答。其根本原因就是對隔離體的概念比較模糊。所謂隔離體，意在隔離，即與周圍物體聯系完全斷開，"藕斷絲連"是不行的，不完全斷開，實質上還是整體，但是由于 是一對大小相等方向相反的力，應用平衡條件是無法解出的。也許會有同學問：“取隔離體不能藕斷絲連，為什么在力法解超靜定桁架截斷多余桿件時，強調只切斷軸向聯系，而其余兩個聯系依然存在？”這又是一個模糊概念。力法中截斷桿件，是指去掉多余約束，而代以多余未知力，使超靜定結構轉化為靜定結構，并不是取隔離體，這點一定要分清。

第2步，同學中存在的問題就多了，最普遍的問題就是取隔離體時遺漏了力。

①遺漏內力

同學在計算截面內力時，常常出現的一種錯誤就是不能正確區分兩類不同的桿件。舉例，見圖5所示組合結構，假定反力 、 已求出，現在計算各桿內力，有些同學應用結點法，把A點取為隔離體，在標出各桿端內力時，忽略了AE桿的類型，錯誤地看成軸力桿，把剪力 遺漏，應用平衡條件很方便地求出軸刀 、 ，結果不言而喻是錯誤的。出現上述錯誤的原因是這些同學對桁式桿的概念比較模糊，他們只看到AE桿兩端的鉸A、E，忽視了中間的鉸F，誤把AE桿看成桁式桿。另外有些同學也知道AE桿是梁式桿，但解題時粗心大意，忘記標出剪力，導致錯誤結果。

②遺漏反力

各類結構中滾軸支座、鉸支座比較多見，同學們通過大量解題，對這兩種支座反力比較熟悉，但有時由于粗心大意也容易遺漏反力，例如在三鉸剛架計算中就容易忽略水平反力。而對固定支座、定向支座，同學們常常犯的錯誤是把反力矩漏掉。舉例，見圖6，繪結構彎矩圖，一般方法是從自由端開始順次求出各桿端彎矩，然后作M圖。但是也有同學先求支座反力： ， 。卻忽視了反力矩 ，于是截取AB段為隔離體進行計算時，得出 、 都等于零的錯誤結論。再舉一典型例子：有一同學求圖7所示懸臂剛架固定支座豎向反力 時，他以C為矩心，由 ，得：

，計算 （↓），

結果顯然是不正確的，原因是把A支座的水平反力 及反力矩 漏掉了。這位同學所選取的隔離體計算也是不簡便的，實際上對整體取豎向投影平衡方程 ，就很方便地求得

③遺漏荷載

同學在截取隔離體時，遺漏某些荷載是常出現的毛病，舉例，見圖8，三鉸剛架 、 圖已作出，作軸力圖時，求 需要截取結點D為隔離體，許多同學取圖9（a）圖隔離體，由 解得 ，是拉力，從方法上講是正確的，但是漏畫了水平荷載F，由于這小小的疏忽，使得前功盡棄。正確隔離體見圖9（b），根據平衡條件得到 ， 是壓力。另外在荷載個數比較多的情況下，同學截取隔離體時常常粗心大意、丟三落四，總是漏畫某幾個荷載，例如桁架的內力計算。因此同學們一定要細心，養成先核對再計算的好習慣。

上面論述了截面內力的計算方法，但在實際應用中同學仍然存在很多問題，尤其是剛架截面彎矩的計算。主要表現如下：

1、不會計算剛架截面彎矩，這個問題在少數民族班和大專班表現比較突出，其根本原因是：①基礎知識不扎實，對于理論力學中的靜力平衡內容和材料力學中的梁彎曲內容沒有掌握好。因此對結構力學中比較復雜的結構內力計算就感到束手無策非常困難。對這類問題沒有其它解決方法，只有老老實實坐下來認真補課才行。②有些同學思路不開闊，不能靈活應用所學知識。在材料力學單跨靜定梁的內力計算中所截取的隔離體均是單根桿件，同學在計算截面彎矩肘，外力對截面形心的距離比較直觀，因此外力矩的計算比較簡單。但在結構力學中，對剛架的內力計算中所截取的隔離體不是一維空間的單根桿件，而是擴展到二維空間的多根桿件體系，相應外力對截面形心之矩的分布就比較復雜。因此這些同學在計算時就感到比較吃力。原因就是隔離體擴展到平面的若干桿件，不再是一條線上的單根桿件，計算截面彎矩時，這些同學不清楚外力對截面形心的力臂如何取，甚至個別同學不清楚外力對相隔幾個桿件的截面彎矩會有影響。這就需要多舉例題，加強練習，例如圖11所示剛架的隔離體，欲計算截面彎矩 ，應用力沿作用線移動不影響力的作用的原理，把各個外力的作用線畫出，則它們對截面形心的力臂的大小就很明確了，比如力 對截面形心的力臂顯然等于 ，關系摘清楚了，問題也就迎刃而解了。

2、繪剛架彎矩圖時不會判斷桿件受拉受壓側，某些同學應用公式（c）計算截面彎矩時，方法和結果都正確，但是畫出的彎矩圖總是反的，追究其原因是錯誤的理解了公式（c），把等號兩邊的等量關系理解為不但數值相等，而且方向也相同，例如圖7中計算桿BC左瑞彎矩 時，取BCD部分為隔離體，由 可得： ，而荷載對截面的彎矩是順時針方向的，這些同學就認為 也是順時針方向的，由此可得B端是下側受拉，必然畫出相反的彎矩圖。在此建議犯有同等錯誤的同學把本文前面關于截面內力的公式（a）、（b）、（c）部分再看一看，要深刻理解它們的實質是平衡條件，而決不是單純的等式，在這里通過（c）式再復述一遍它們的含義，用 表示截面K的彎矩， 表示隔離體上外力對截面K的形心的力矩代數和，則（c）式就簡記為 ；再把等式右端移項到左端，還原成為平衡方程： ，那么其物理意義就很明顯了：截面彎矩與外力矩要滿足平衡條件，它們必然在數值上相等，在方向上相反。所以上面舉例中的 是逆時針方向的，相應桿BC的B端是上側受拉。同學們只要理解了公式，這個問題是很容易糾正的。