型極限的求解方法

魏建剛++李曉歌

摘要：極限是高等數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)，而極限的求解更是高等數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，本文對(duì)極限問(wèn)題中 型極限問(wèn)題的求解，給出利用有理化、利用重要極限、利用洛必達(dá)法則和利用泰勒公式這幾種方法，方便大家遇到類(lèi)似極限輕松解題。

關(guān)鍵詞：重要極限；洛必達(dá)法則；泰勒公式

在我們剛進(jìn)入高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)的過(guò)程中，初步接觸到一些極限的求解方法，比如借助于定義法和極限的四則運(yùn)算來(lái)求解一些簡(jiǎn)單的極限。我們知道在利用極限的四則運(yùn)算中商的運(yùn)算法則中要求分母的極限不能為零。但是學(xué)習(xí)時(shí)總會(huì)遇到分母的極限為零的情形，如果分母的極限為零，分子的極限是一個(gè)常數(shù)，那么可以用無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系求解。時(shí)常還會(huì)遇到分子和分母的極限都是零的情形，我們把這類(lèi)極限稱(chēng)之為“ ”型。下面就介紹一下一些 型極限的求解方法，以供參考。

方法一 利用有理化或約零因子求 型極限。

例1求

解析 通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng) 時(shí)，分子和分母的極限都是零，是一個(gè) 型極限，這時(shí)候無(wú)法用極限的四則運(yùn)算法則來(lái)求。可以先將待求極限的分子先進(jìn)行因式分解，在用四則運(yùn)算法則求極限

下面看一個(gè)利用有理化求解極限的例子

例2求

解析 上式極限也是一個(gè) 型的極限，顯然無(wú)法用因式分解約零因子的方法去求解，可以利用分母有理化的方法去求解

方法二 利用重要極限求 型極限

我們這個(gè)極限 稱(chēng)之為重要極限，根據(jù)對(duì)這個(gè)極限內(nèi)容深刻理解，可以推廣到 ，下面看如何利用這個(gè)重要極限來(lái)求解 型極限。

例3 求

解析 這待求極限看似與重要極限形式不同，實(shí)際上先將這個(gè)極限的形式變形一下就可以借助重要極限來(lái)解答了。

令 ，則 ，且當(dāng) 時(shí) ，所以有

類(lèi)似地還有這樣的極限 ， 也可以利用重要極限來(lái)求解。

方法三 利用洛必達(dá)法則來(lái)求解 型極限

定理1：若函數(shù) 和 滿(mǎn)足

上述定理就給出了洛必達(dá)法則的使用條件和使用方法。

例4 求

解析 容易驗(yàn)證 與 在點(diǎn) 的鄰域內(nèi)滿(mǎn)足上述定理的（1）（2），又因

從而有洛必達(dá)法則可知

如果 仍是 型極限，可以再次用洛必達(dá)法則，當(dāng)然這時(shí)候 和 在 的某鄰域內(nèi)必須滿(mǎn)足定理1中的條件。

方法四 利用泰勒公式求解 型極限

例5 求

解析 本題可以用洛必達(dá)法則求解，但是過(guò)程角為繁瑣，若應(yīng)用泰勒公式求解可大為簡(jiǎn)化求解過(guò)程。考慮到極限式的分母為 ，可用麥克勞林公式表示極限的分子（取 ）

所以

以上就是我們學(xué)習(xí)時(shí)經(jīng)常遇到的一z些 型的極限和相對(duì)應(yīng)的方法，當(dāng)然 型的極限的求解還有其他的方法，我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程不斷嘗試更多的解決 型的極限的方法，這樣才能不斷提高知識(shí)寬度和深度，從而在遇到這類(lèi)極限的時(shí)候，才能迎刃而解。

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系。高等數(shù)學(xué)第三版，高等教育出版社 2001年

[2]趙曄 關(guān)于 型極限求解方法的討論[J]，重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào) 2015年