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王金鳳++李喆

摘要：梯形的證明與計算是中學數學學科的重要部分，也是數學學習中的一個難點。一般情況下，通過構造輔助線來達到解題目的。當梯形中含有中點時，如何通過這個中點構造輔助線，使問題更簡單是中學生解答這類題型的關鍵。本文探討這了類梯形輔助線的做法，將其轉化為簡單的三角形和平行四邊形，從而達到解題目的。

關鍵詞：梯形；中點；輔助線

梯形是一種特殊的四邊形，它是平行四邊形和三角形的結合體。因為它有一組對邊平行，使得它在輔助線的作法方面有了較多的選擇余地。在求解與梯形相關的問題時，可以通過添加輔助線的方法，構造三角形，平行四邊形，再應用三角形和平行四邊形的相關性質和特征解決問題。因此，解決梯形的相關問題時既要考慮它與平行四邊形之間明顯的不同，又要學會利用平行四邊形去解決梯形中的相關問題。本文著重討論含有中點的梯形中輔助線的做法。

1.在梯形中出現一腰上的中點時，根據梯形上下底的平行關系，作梯形的中位線，并由梯形中位線與上下底之間的長度關系，達到解題目的。

如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中點，∠AOD=90°，求證：AB+CD=AD.

證：取AD的中點E，連接OE，則易知OE是梯形ABCD的中位線，

從而

OE= 1/2（AB+CD） ①

在△AOD中，∠AOD=90°，AE=DE

所以

OE= 1/2 AD ②

由①、②得AB+CD=AD。

2、在梯形中出現兩條對角線的中點，連接梯形一頂點與一條對角線中點，并延長與底邊相交，使問題轉化為三角形中位線，從而達到解題目的。

如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分別是BD、AC的中點，求證：（1）EF//AD

（2）EF= 1/2（BC-AD）

證：連接DF，并延長交BC于點G，易證△AFD≌△CFG

則AD=CG，DF=GF

由于DE=BE，所以EF是△BDG的中位線

從而EF//BG，且EF= 1/2 BG

∵AD//BG，BG=BC-CG=BC-AD

∴EF//AD，EF= 1/2（BC-AD）

3、在梯形中出現一腰上的中點時，過這點延長線段，構造出兩個全等的三角形，利用全等達到解題的目的。

在梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=〖90〗^0，E是DC上的中點，連接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。

解：分別延長AE與BC，并交于F點

∵∠BAD=〖90〗^0且AD//BC

∴∠FBA=〖180〗^0-∠BAD=〖90〗^0

又∵AD//BC

∴∠DAE=∠F

∠AED=∠FEC

DE=EC

∴△ADE≌△FCE

∴ AE=FE

在△ABF中∠FBA=〖90〗^0 且AE=FE

∴ BE=FE

∴ 在△FEB中 ∠EBF=∠FEB

∠AEB=∠EBF+ ∠FEB=2∠CBE

4.在梯形中出現一腰上的中點時，可延長底邊和一條過中點的線段，兩者交于一點，從而構造全等三角形，找到線段之間的大小關系，達到解題目的。

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD中點，試問：線段AE和BE之間有怎樣的大小關系？

解：AE=BE，理由如下：

延長AE，與BC延長線交于點F.

∵DE=CE，

∠AED=∠CEF，∠DAE=∠F

∴△ADE≌△FCE

∴AE=EF

∵AB⊥BC

∴BE=AE.

5.在梯形中出現一腰中點的時候，過這點構造另外一腰的平行線，利用三角形全等和平行四邊形的性質，達到解題目的。

已知：梯形ABCD中，AD//BC，E為DC中點，EF⊥AB于F點，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面積.

解：如圖，過E點作MN//AB，分別交AD的延長線于M點，交BC于N點.

∵DE=EC，AD//BC

∴△DEM≌△CNE

四邊形ABNM是平行四邊形

∵EF⊥AB，

∴S梯形ABCD=S□ABNM=AB×EF=15cm2.

6.在梯形中出現兩底邊的中點時，過上底中點做兩腰的平行線，構造特殊三角形，根據特殊三角形的性質，達到解題目的。

如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分別是AD、BC的中點，若∠B+∠C=〖90〗^°.AD=7，BC=15，求EF.

分析：因為∠B+∠C=〖90〗^°，通過平移AB、DC：構造直角三角形MEN，使EF恰好是△MEN的中線。

解：過E作EM//AB，EN//DC，分別交BC于M、N，

∵∠B+∠C=〖90〗^°

∴∠EMN+∠ENM=〖90〗^°

∴△MEN是直角三角形 ∵AD=7，BC=15

∴MN=8

∵E、F分別是AD、BC的中點

∴F為MN的中點

∴EE=1/2 MN=4

總之，解題方法一定要合理選擇，靈活應用。在具體的教學過程中，教師一定要引導學生對上述方法靈活應用，不能用固定模式要求學生機械記憶，做到“教無定法，貴在得法”。數學是思維的體操，對數學的學習應重理解，在理解的基礎上掌握合理的解題方法。學生也應該加強對自身思維能力和理解能力的鍛煉，做到具體問題具體分析，不盲目死記硬背。只有這樣，學生的數學學習能力和學習成績才能有效提升。