在數學教學中培養學生類比推理能力的策略

江蘇省常熟外國語學校 劉 虹

在數學教學中培養學生類比推理能力的策略

江蘇省常熟外國語學校 劉 虹

數學，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、縝密周詳的邏輯推理及對完美境界的追求，而邏輯推理又是數學核心素養六個方面之一。類比推理對于高中數學教學存在著深刻的意義，教師要培養學生的思維拓展能力，就應當指導學生運用類比推理方法去思考問題。

一、類比推理的應用價值

在自然科學發展史上，無論古代、近代，還是現代，類比在科學發現中是一種被普遍應用的方法，類比是發明創造的主要源泉之一。物理學家開普勒說過：“類比勝于一切，他是我可信賴的主人，它了解自然的所有秘密……”這樣的例子不勝枚舉，我國古代科學家宋應星，為了認識聲音的傳播，他把聲音與投石擊水的紋浪進行類比，推想到聲音在空氣中的傳播方式也是以波的形式進行的。法國物理學家德布羅意將光學現象與理學現象進行類比，提出了大膽的預言：物質粒子也具有二象性；他又將物質粒子和光作了進一步類比，預言了物質波的波長。

類比推理在數學領域中的應用也比比皆是。波利亞指出：“不論是在初等數學、高等數學中的發現，或者是在別的學科中的發現，恐怕都不能沒有這些思考過程，特別是不能沒有類比。”我國著名數學家徐利治曾說：“歷史上有貢獻的數學家可以說是善于應用歸納與類比發現真理的能手。”可見類比在數學發現中的巨大作用。笛卡兒在觀察蜘蛛織網時產生了靈感，應用類比法建立了直角坐標系，成了解析幾何學的創始人之一。在數學分析中，關于級數求和問題一直是很重要的內容，早在17世紀下半期，著名數學家貝努里不會求自然數倒數平方的級數和的值，征求大家來解決，一直到18世紀上半期才由歐拉解決，歐拉正是通過三角函數方程與代數方程巧妙的類比而求得的，歐拉的解法堪稱是數學史上應用類比法的光輝典范。

類比推理在不同領域間的應用也極為廣泛。平面等周定理類比到空間中就有：在所有給出體積的立體圖形中，球有最小表面積。而物理學家彭加勒加以物理類比，得到了“在所有給定體積的物體中，球有最小電容量。”正四面體與DNA似乎是風馬牛不相及的兩樣東西，但是我國科學工作者張春霆、張任根據正四面體具有高度的對稱性，而DNA序列具有一定的對稱性，就從他們具有的這個共同性質——對稱性進行類比，得到了一些令人驚奇的發現。

類比推理作為一種邏輯方法，是一切理解和思維的基礎，它有助于幫助學生啟發思維，開拓境界，找到解決問題的新方法和新途徑。在數學的學習中，我們應當學會運用類比推理，通過我們已經掌握的知識和規律，對遇到的新問題進行分析，歸納出它們之間的相似性和內在規律，進而找到解決問題的辦法。教師在教學過程中，必須讓學生學會運用類比推理，進而培養他們的數學發散思維。

二、類比推理的教學策略

1.教師要有重視和運用類比推理的意識

例如，在學習等差數列和等比數列時，由于它們無論在定義還是公式等各方面都比較雷同，因此可以利用類比推理，由等差數列的性質進行類比分析和推理，從而可以得到等比數列的性質。通過以往學過的等差數列知識的帶入，對于即將學習的等比數列，通過使用類比推理的方法來學習，可以讓學生產生一定的熟悉度，拉近和新知識之間的距離，在輕松掌握新知識的同時還溫習了舊知識，做到了新舊知識的學習兩不誤，更重要的是，不僅加深了學生對知識的記憶力和掌握力，還加強了對知識脈絡的統一性和連貫性。引導學生通過類比學會欣賞，通過欣賞合理類比。

2.幫助學生建構系統的類比模型

學生的學習是一個知識獲得、記憶、運用的過程，對獲得的知識進行加工是能夠長期記憶與靈活運用的重要條件，系統建構就是一種有效的加工方式。事實上，根據類比范疇的不同，類比可分為系統間的類比和系統內的類比，系統間的類比是指兩個不同知識系統之間概念、構成、性質等方面較為完整的類比，如等式與不等式、數量與向量、平面幾何與立體幾何之間的類比等；系統內的類比是指某個知識系統之內兩個不同對象某些方面局部的類比，如實數運算中的加法與乘法、數列中的等差與等比、圓錐曲線中的橢圓與雙曲線之間的類比等。如果學生在頭腦中形成了清晰的模型系統，那么類比時便能針對不同的模型迅速找到鏈接，定位類比。

3.引導學生明確類比對象的相似性

在教學中要引導學生明確類比對象的相似性，弄清在推理中究竟是從哪些已知的“相似性”推出什么樣的未知的“相似性”，并且要堅持把它們的相似性用語言確切地表述出來。比如平面幾何與立體幾何之間的類比：

平面幾何中的概念 立體幾何中的類似概念圓球圓的切線 球的切面圓的弦 球的截面圓圓的周長 球的表面積圓的面積 球的體積

例：在平面幾何中有概念：平行四邊形、矩形、正方形。根據下列條件，指出它們在立體幾何中類似的概念各是什么。

（1）以四面體作為三角形的類比；（2）以空間棱錐作為三角形的類比。

解析：（1）當以四面體作為三角形的類比時，由于四面體的每一個面都是三角形，因而平行四邊形在立體幾何中的類比圖形的每一個面都應是平行四邊形，即為平行六面體。同理，矩形、正方形在立體幾何中的類比圖形應分別是長方體、正方體。（2）由于空間棱錐的每一個側面都是三角形，但底面不一定是三角形，因而當以空間棱錐作為三角形的類比時，僅需考慮側面。故平行四邊形在立體幾何中的類比圖形是棱柱（因為棱柱的側面都是平行四邊形），同理，矩形、正方形在立體幾何中的類比圖形分別是直棱柱、所有棱長都相等的正棱柱。

4.鼓勵學生主動、大膽地進行類比

在三角形中有余弦定理，在教學中可以將余弦定理拓展到“空間圖形”中，可以類比余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側面面積與其中兩個側面所形成的二面角之間的關系式。上面是將平面三角形中的余弦定理運用到空間斜三棱柱中，我們通過上述類比可以發現，類比推理可以培養學生創造性的思維方式，讓學生大膽地思考問題，也可以輔助教師教學。另外，因為類比推理的結論具有或然性、創造性的特點，所以，教師在教學中要鼓勵學生進行大膽類比，保護學生的積極性與創造力，從而促進學生類比推理能力的發展。

5.強調類比的合理性和科學性

盡管運用類比可進行一些偉大的發現，但是類比所得的結論不一定正確，需要進行驗證，因為任何兩個事物之間總有一定的差異性，如果推出的屬性正好是他們的差異性，那么類比的結論就會產生錯誤。誠如波利亞所言：“如果把這種猜測的似真性當作肯定性，那將是愚蠢的（但是忽視這種似真的猜測將同樣愚蠢，甚至更為愚蠢）。”在教學中一方面要鼓勵學生根據類比對象的相似性及類比規律大膽猜想，給出最合理的結論；另一方面要要求學生對類比的思維過程進行分析，檢驗結論的正確性。有時這個過程是比較曲折的，當猜想的結論經檢驗不成立時，則需要根據思維過程的類比分析做出調整。反之，如果學生只關注類比結論，忽視了類比過程，則容易過于追求結論的形式化。