《高等數學》課程中泰勒公式的應用

田雨昊

摘要：文章首先對泰勒中值定理、泰勒公式的幾種形式進行了介紹，其次針對泰勒公式的應用討論了五個問題，即求極限、證明不等式、求初等函數的冪級數展開式，近似計算及判斷廣義積分的斂散性.

關鍵詞：泰勒公式;極限;不等式; 冪級數;近似計算;廣義積分斂散性

中圖分類號：G642? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2019）17-0270-03

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1 引言

在過去的一個世紀中，科學家們的不懈努力，使得近代數學有了跨越式的發展，其中泰勒公式最初是在1712年由英國數學家布魯克提出的.泰勒在一封書信提道：將函數展開成無窮級函數的定理是他在微積分領域最輝煌功績.定理的內容通常表述為：某點附近的函數可以通過該點處的函數值和無窮多個導數來表示。

泰勒公式在高等數學中具有不可或缺的地位，在數學分析中也占有一席之地.對于一些不容易處理的復雜函數，我們更希望用一些簡單的多項式來近似代替函數.而對于具有較高精確度，且不得不考慮函數誤差的情況，用高次多項式來近似代替函數則成了一種必要方法，并列出誤差的表達公式.泰勒公式經常被應用于很多問題的解決.本文將重點介紹泰勒公式的內容及其應用，如何將泰勒公式應用于極限，證明不等式，并寫出初等函數的冪級數展開式，近似計算和廣義積分的斂散性的判斷，旨在加深對泰勒公式的認知。

2 預備知識

2.1 泰勒中值定理

如果函數F（x）在[x0]存在的某開區間（a，b）內具有最多（n+1）階的導數，則對任意一個[x?]（a，b），都有：

3.2 求極限

我們在求解一個三角函數與冪函數復合的例子里，用等價無窮小等方法進行化簡求解可能很困難，所以可用泰勒公式來進行化簡求解，更方便和容易進行化簡和求解。

例? 利用泰勒公式求下列極限：

那么問題來了，不能沒有盡頭的展開，展開多少項才會合適呢？ 經過觀察可以得出結果：使用泰勒公式展開的階數差：分子分母同時出現不為0（消不掉）的最小次數[n，這樣低于n]階的項都消掉了，而高于[n]階的項極限都分0，高階無窮小的出現不影響極限的運算，高階無窮小項的極限也為0.因此，據分析上述函數展開至第二項即可.即：

3.3 進行近似計算

泰勒公式善于求出某不能[1]求出[2]其精確值而只能求出近似值的算術式.而且在利用泰勒公式求近似值時，其余項可以估計出誤差。

4結語

如何用簡單的函數代替復雜的函數，是高等數學中一直研究的問題，多項式是最容易被我們所理解并且熟練掌握的簡單函數，用簡單的多項式來近似替換復雜的函數也是泰勒公式最具有意義的研究結果，它為我們提供了一個可以將復雜函數轉化為簡單多項式的條件基礎，并給出了誤差近似代替項，在不同條件下，誤差項又可分為拉格朗日余項和佩亞諾余項，從余項的表達式可以看出，泰勒公式只有在局部小范圍內，才具有實際應用的意義。麥克勞林公式是泰勒公式的一個特例，是使用泰勒公式時最常用的形式。掌握和使用泰勒公式，對解決數學中一系列問題具有重要意義。

參考文獻：

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[4]? 溫少挺，闕鳳珍.泰勒公式及其應用技巧[J].數學學習與研究，2016（23）.

【通聯編輯：光文玲】