初中幾何折疊問題例析

劉拽拽

【摘 要】圖形折疊問題在初中幾何中獨具一格，在中考中也頻繁出現，它在本質上屬于軸對稱變換，涵蓋的知識點較多（如直角三角形、全等知識、相似圖形及平面直角坐標系知識），是初三復習中的一大專題。解決此類問題，要抓住在折疊過程中相等的線段和相等的角，這些相等關系是解決此此類問題的關鍵，本文以各類圖形中出現的折疊，對其所涉及的知識要點和研究方法進行逐一剖析和探討。

【關鍵詞】幾何；折疊

圖形折疊問題，顧名思義，根據某一要求折疊某一角或圖形的某一部分，在折疊前后產生相等的角或相等的線段，這類問題既具有可操作性又具有趣味性，實踐自主探索、認識和掌握圖形的性質，不僅可以積累數學活動的經驗，而且還可以發展他們的空間觀念，培養他們的數學思維能力、運用能力、空間想象能力、解題能力和探索能力。但學生初遇折疊問題，往往一片茫然，不知從何下手，究其原因是沒有把握好折疊產生的相等的關系。這就要求教師注重學生觀察、探索能力的培養，在教學中注重知識的融會貫通，綜合運用。特別是在初三復習階段，某一考題問題的解決往往會貫穿許多我們平時需要掌握的能力、知識和方法。

本文以幾道習題為例剖析其解題思路與方法，與同仁共同探討。

例1.如圖，有一張直角三角形紙片，將△ABC折疊，使點B與點A完全重合，折痕為DE，若AC=6，BC=8，則CD=

分析：∵折疊后點B與點A重合

∴△BDE與△ADE能完全重合

∴△BDE≌△ADE

∴AD=BD（相等的線段）

設CD為x ，則BD為（8-x）

∴AD為（8-x）

在Rt△ACD中，∠C=90°根據勾股定理，得

AC2+CD2=AD2 即62+x2 =（8-x）2

∴x= 即CD長為

本題將由“折疊”得到相等的線段，再應用直角三角形“勾股定理”即可解決。

例2.如圖，將一長、寬分別為8，4的長方形紙片ABCD折疊，使點C與點A重合，則折痕EF的長為

分析：設AC與EF交于點O，由題可求得AC=4

∵折疊后點C與點A重合，折痕為EF，

∴EF垂直平分AC

∠COF=∠B=90°

又∵∠OCF=∠ACB

∴△COF ∽ △CBA

本題利用“折疊”得到對稱點，進而利用對稱的性質得到“相等的線段”，再利用直角三角形的“勾股定理”與“相似”的性質求出未知的線段。

例3.如圖，梯形紙片ABCD中，∠B=60°，AB=AD=2，BC=6，將紙片折疊，使點B與點D重合，折痕為AE，則AE=

分析：∵折疊后點B與點D重合

∴△ABE≌△ADE

∴∠DAE=∠BAE，

∠ABE=∠B=60°，

DE=BE

又∵梯形ABCD中，AD∥BC

∴∠DAB+∠B=180°

∴∠BAD=120°

∴∠DAE=∠BAE=60°

∴△ADE為等邊三角形

∴DE=AD=2

∴BE=DE=2

∴CE=BC-BE=6-2=4

本題由“折疊”得到相等的線段、相等的角，再利用三角形相關知識求解。

例子是說不完的，但萬變不離其宗，對于初中折疊問題，我們主要抓住折疊最本質的特征即折疊前后的“全等”及“垂直”，在解題時綜合應用三角形、四邊形、及全等、相似等基礎知識，靈活運用數形結合、方程、化歸等數學思想方法，所有折疊問題都會迎刃而解。

下面幾道習題供大家參考練習：

1.將三角形紙片（△ABC）按圖形所示方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點B'，折痕為EF，已知AB=AC=3，BC=4，若以B'、F、C為頂點的三角形與△ABC相似，則BF=___________。

答案：2或

2.將矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點F處，折痕為BE，再沿過點E的直線折疊，使點D落在BE上的D'處，折痕為EG，則圖中∠GEF的大小為___________。

答案：22.5°

3.如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐標系中，使OA、OC分別落在x軸、y軸上，連接OB，將紙片OABC沿OB折疊，使點A落在點A'的位置，若OB=，∠A'OC=30°，則點A'的坐標為___________。