對“牛吃草”問題的解析

白安文

【摘 要】“牛頓問題”俗稱“牛吃草”問題，它是小學數學中有一定難度的典型問題，其難點在于草每天都在生長，數量在不斷年華，本文將對此進行解析。

【關鍵詞】問題；牛吃草；解析

有這樣的問題，牧場上有一片勻速生長的草地，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周。那么它可供21頭牛吃幾周？這類問題稱為“牛吃草”問題。

解答這類問題，困難在于草的總量在變，它每天、每周都在均勻地生長，時間愈長，草的總量愈多。我們可以把草的總量看作是由兩部分組成的：①某個時間期限以前草場上原有的草量（這個時間期限以前草場上草的總量是不變的）；②這個時間期限后草場上草每天（周）生長而新增的草量。相應地，我們把牛分成兩部分，一部分專門吃原有的草；另一部分專門吃完草場上每天（周）新生長的草。當原有的草吃完后，每天（周）新生長的草也同時吃完，這時草地中的草就視為吃完。

下面對此問題進行分析。（見圖示）

圖示給出23頭牛9周的吃的總草量比27頭牛6周吃的總草量多，多出的部分相當于3周新生長的草量。為了求出一周新生長的草量，就要進行轉化。27頭牛6周吃草量相當于27×6=162頭牛一周吃草量（或一頭牛吃162周）。23頭牛9周吃草量相當于23×9=207頭牛一周吃草量（或一頭牛吃207周）。這樣以來可以認為每周新生長的草量相當于（207-162）÷（9-6）=15頭牛一周的吃草量。

需要解決的第二個問題是牧場上原有草量是多少？用27頭牛6周的總草量減去6周新生長的草量（即15×6=90頭牛吃一周的草量）即為牧場原有草量。

所以牧場上原有草量為27×6-15×6=72頭牛一周的吃草量（或者為23×9-15×9=72）。

現有21頭牛，牧場上的草用這些牛幾周才能吃完？我們現在把21頭牛分成兩部分，一部分用15頭牛專吃完每周新生長的草，另一部分為剩余的6頭牛（21-15=6頭牛）吃原有的草。原有的草（72頭牛吃一周的草量）可供6頭牛吃72÷6=12（周）。原有的草吃完了，同時專吃新生長草的15頭牛也就沒草吃了。所以牧場上的草夠21頭牛吃12周。

對此問題也可以進行如下分析解決。

圖示原有草量一定，每周草均勻生長，我們可以用方程的方法解決。

設原有草量為X頭牛一周吃的草量，每周新生長的草量為Y頭牛一周吃的草量。則得到下面的二元一次方程組：

x+6y=27×6x+9y=23×9

利用加減消元法解得，

x=72y=15

若21頭牛吃n周時，從而得到 72+15×n=21×n 解得：n = 12 所以，可供21頭牛12周吃完。

若把牧場上原有的草換為水庫中原有一定的水量，每天生長量換為河水每天均勻入庫的水量。把牛換為抽水機，則原題可變成下列實際應用題：一水庫原有一定量的水，河水每天均勻入庫。27臺抽水機連續6天可抽干，若改用23臺同樣的抽水機可連續9天抽干。現用21臺同樣的抽水機（不能少于1 5臺，否則永遠抽不干），可連續幾天抽干？若要求8天抽干，則需要幾臺同樣的抽水機？

綜合以上分析過程，分析解決此類問題時，關鍵先要解決原有量和新生長量，然后把“牛”分成兩部分：專“吃”原有量和專“吃完”每天（周）新生長量。只要把握這些環節，這類問題將會迎刃而解。

參考文獻：

[1]鐘 書 小學奧數舉一反三 吉林教育出版社 2016