單比特壓縮感知理論及應(yīng)用研究

王 妃, 熊繼平, 蔡麗桑

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江 金華 321004)

單比特壓縮感知理論及應(yīng)用研究

王 妃, 熊繼平, 蔡麗桑

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江 金華 321004)

單比特壓縮感知是量化壓縮感知的極限形式，該方法采集的是觀測值的符號，僅需要1個比特單元來記錄這個值，因此在硬件實施上成本低，運行速度快。目前，單比特壓縮感知技術(shù)已經(jīng)成為一個研究熱點。本文首先介紹了單比特壓縮感知的發(fā)展和研究現(xiàn)狀，然后從檢測和不檢測觀測符號兩個方面對重構(gòu)算法進(jìn)行了分析，接著從單比特壓縮感知的成像領(lǐng)域、無線傳感器網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域、醫(yī)學(xué)圖像領(lǐng)域和信號傳輸領(lǐng)域四個應(yīng)用領(lǐng)域進(jìn)行分析，最后對單比特壓縮感知技術(shù)進(jìn)行了總結(jié)和展望。

單比特壓縮感知；壓縮感知；重構(gòu)算法；應(yīng)用

0 引言

壓縮感知是一種新興的采集、處理信號的理論。該理論表明，通過采集少量的測量值就可以實現(xiàn)精確重構(gòu)稀疏或可壓縮信號。在這一過程中使用了隨機化、線性、非自適應(yīng)測量，然后通過非線性的方法恢復(fù)原始信號。

在實際應(yīng)用中，壓縮傳感的測量值必須量化，這是數(shù)字化的必經(jīng)階段。量化是一個不可逆的過程，不可避免地引入了量化誤差。處理量化誤差的方法之一是把它當(dāng)作加性測量噪聲，并采用適當(dāng)?shù)闹貥?gòu)算法減小其影響。除此之外，一個恰當(dāng)?shù)臏y量模型可以明顯改善量化對恢復(fù)效果的影響。在壓縮感知的體系中，文獻(xiàn)[1]首次詳細(xì)地描述了量化框架。

研究表明，當(dāng)測量值量化至一個比特，即只用一位二進(jìn)制數(shù)來表示測量值的符號時，仍然可以精確、穩(wěn)定地恢復(fù)原始信號[1]。這一特性在實際應(yīng)用中有很多好處：

(1)大大減少了傳輸和存儲過程中所需的比特數(shù)。許多場合的優(yōu)化目標(biāo)是減少總的比特數(shù)，而不僅僅是總的測量數(shù)。

(2)一比特量化器可以用一個簡單、高速的比較器實現(xiàn)。因此，降低采樣復(fù)雜度可以通過減少表示每個測量值的比特數(shù)，而不是測量數(shù)來實現(xiàn)。

(3)一比特量化對非線性失真不敏感，魯棒性能好。

1 單比特壓縮感知

2008年，Petros T.Boufounos 第一次系統(tǒng)地闡述了壓縮感知體系中的一個全新的測量模型[1]——單比特壓縮感知模型。

在單比特壓縮感知中，觀測得到的測量值被量化到單比特，即只用一個二進(jìn)制比特位來表示測量值大于零還是小于零，然后從這些正負(fù)號中恢復(fù)原信號。實驗結(jié)果表明，在能量限定的條件下，僅僅依靠測量值的符號，就可以完全恢復(fù)出原始信號[1]。

后來，Laurent Jacques等人在2011年對單比特壓縮感知從數(shù)學(xué)上進(jìn)行了證明，奠定了單比特壓縮傳感的理論基礎(chǔ)。

2013年Jacques等人提出了單比特壓縮感知的理論框架，主要得到了兩個結(jié)論：(1)在無噪聲情況下單比特壓縮感知的重構(gòu)誤差界。(2)通過構(gòu)造“二值ε穩(wěn)定嵌入”(Binaryε-Stable Embeddings, BεSE),證明了當(dāng)觀測矩陣Φ滿足類似RIP的特點性質(zhì)時，即使觀測噪聲使得觀測符號發(fā)生了變化，該重構(gòu)方法仍然穩(wěn)定。

1.1 壓縮感知

假設(shè)一長度為N的實信號x，如果它是K稀疏的，即至多有K個元素非零，那么該向量可以通過包含它的M<

y=Φx

上式中，Φ是M×N維測量矩陣。

信號稀疏恢復(fù)可通過如下問題求解：

限制等容量條件(Restricted Isometry Property, RIP)為利用上式重構(gòu)信號提高了理論保證。

定義1 (限制等容量條件)稱一測量矩陣Φ滿足具有參數(shù)(K,δ)，δ∈(0,1)的限制等容量條件(RIP)，如果對所有的K稀疏向量x，有下列式子成立：

凸優(yōu)化是一種有效的壓縮感知恢復(fù)方法，除此之外，還有其他一些恢復(fù)算法，貪婪追蹤算法就是最常用的一種。RIP條件也為貪婪追蹤算法恢復(fù)信號提供了理論保證。

1.2 單比特壓縮感知

在單比特壓縮感知中，測量值量化至單比特，即只保留測量值的符號：

y=sign(Φx)

上式中，sign(yi)=yi/|yi|。由于每個測量值只用了一個比特，所以M不僅是測量值個數(shù)，還是獲得的比特個數(shù)。為了獲得更好的恢復(fù)效果，可以取更多的比特數(shù)，甚至多于信號的長度N，此時的M/N可認(rèn)為是原信號的“比特數(shù)/系數(shù)”。

可以利用一致性恢復(fù)概念重構(gòu)信號，因此，單比特壓縮感知要解決以下問題：

然而求解最小化l0范數(shù)問題也是一個NP難問題，因此可以利用等價的l1范數(shù)并通過凸優(yōu)化方法實現(xiàn)一致性恢復(fù)，從而重構(gòu)出信號。

2 基于單比特壓縮感知的重構(gòu)算法

本文對基于單比特壓縮感知的重構(gòu)算法進(jìn)行了調(diào)查研究并總結(jié)。從單比特壓縮感知的重構(gòu)算法的發(fā)展來看，算法大致可以分為兩個大類。

(1)不檢測觀測符號翻轉(zhuǎn)情況的重構(gòu)算法

文獻(xiàn)[1]中提出了單比特壓縮感知的概念，并提出一種單比特壓縮感知的重構(gòu)算法——1-bit FPC算法，并利用此算法進(jìn)行了仿真實驗。實驗結(jié)果表明，在僅知道測量值符號的情況下，此算法仍能準(zhǔn)確地恢復(fù)出原始信號。

文獻(xiàn)[2]中提出一個名為Soft Consistency Reconstructions(SCRs)的新算法。該算法是基于一致性標(biāo)準(zhǔn)的軟決策方法，而且優(yōu)于BIHT算法。該算法不需要噪聲的先驗知識，即不管有無噪聲的情況下都能夠精確地重構(gòu)出原始信號。

由于文獻(xiàn)[2]中的算法并不能保證得出的解為全局最優(yōu)解，所以，文獻(xiàn)[3]提出了一種基于CoSamp的匹配符號追蹤算法——Matching Sign Pursuit(MSP), 這種方法在稀疏度K已知的情況下重構(gòu)信號。該算法通過貪婪迭代算法，不斷尋找包含原始信號支撐集的指標(biāo)集，進(jìn)而求解一個小規(guī)模的優(yōu)化問題，最終獲得重構(gòu)信號。實驗證明，對于恢復(fù)單位長度的稀疏信號，該方法無論是重構(gòu)誤差還是符號一致性，都明顯優(yōu)于FPC和CoSamp。但是，在含有噪聲時，該算法卻不能精確地重構(gòu)出原始信號。

文獻(xiàn)[4]提出了一種新的算法——Restricted Step Shrinkage。這個算法的收斂性在數(shù)學(xué)上可以得到證明，并且優(yōu)于MSP算法，擁有更好的抗噪聲性能。這是一種類似于置信域的凸優(yōu)化算法，且該算法的收斂性不依賴于初始值的選取。

(2)檢測觀測符號翻轉(zhuǎn)位置的重構(gòu)算法

在單比特壓縮感知中，如果有一個觀測符號發(fā)生翻轉(zhuǎn)，那么這個觀測符號將會對整個重構(gòu)過程帶來較大的影響，如果能探測到發(fā)生翻轉(zhuǎn)的觀測符號，那么就能更正它們，從而大幅度提高重構(gòu)精確度。

針對上述問題，文獻(xiàn)[5]提出了一種穩(wěn)定的單比特壓縮感知方法自適應(yīng)異常值追蹤——Adaptive Outlier Pursuit(AOP)。該算法在稀疏度K已知的情況下，能夠探測到符號翻轉(zhuǎn)，并且當(dāng)發(fā)生大量觀測符號翻轉(zhuǎn)時，能夠以很高的精確度恢復(fù)信號。AOP的原理與傳統(tǒng)壓縮感知中處理脈沖噪聲類似，通過一系列的迭代過程自適應(yīng)地探測符號翻轉(zhuǎn)位置，同時不斷地更新觀測符號，求相應(yīng)子優(yōu)化問題的解，直到收斂。然而，在稀疏度K未知的情況下，AOP的表現(xiàn)不穩(wěn)定。

基于上述問題，文獻(xiàn)[6]提出了一種全新的重構(gòu)算法NARFPI。該方法與AOP不同之處在于：NARFPI方法在子優(yōu)化問題的罰函數(shù)中添加了l1范數(shù)，以加強其稀疏性。該方法對觀測符號翻轉(zhuǎn)的表現(xiàn)穩(wěn)定，更重要的是不需要稀疏度K的先驗知識。

文獻(xiàn)[7]中針對許多觀測符號同時發(fā)生翻轉(zhuǎn)的情況，提出了一種新的算法——Robust Binary Iterative Threshold(RBIHT)。此算法通過計算不一致符號的數(shù)量，可檢測出符號翻轉(zhuǎn)的位置，從而通過“corrected”測量矩陣重構(gòu)原始信號。該算法不需要關(guān)于噪聲的先驗知識，在測量噪聲和傳輸噪聲同時存在的情況下，也能擁有較高的精確度。

文獻(xiàn)[8]中提出了NARSS(Noise-Adaptive Restricted Step Shrinkage)算法。在稀疏度K未知、時間是變量和二進(jìn)制測量矩陣存在噪聲的情況下，此算法都有很好的表現(xiàn)。在重構(gòu)表現(xiàn)、算法的復(fù)雜度和算法的收斂速度等方面，與其他的算法相比，該算法都有一定的優(yōu)勢。

3 單比特壓縮感知的應(yīng)用

單比特壓縮感知技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域比較廣泛[9]，本文對此進(jìn)行了分析與總結(jié)。

(1)成像領(lǐng)域

文獻(xiàn)[10]中，在合成孔徑雷達(dá)成像(SAR)領(lǐng)域中使用了單比特壓縮感知技術(shù)。在最大后驗估計的框架中[11]，作者提出了SAR圖像重構(gòu)問題，并且此問題在運用了單比特壓縮感知技術(shù)后得到了很好的解決[12]。實驗結(jié)果證明，此種方法可以提高信號重構(gòu)算法的信噪比，同時可以有效地抑制噪聲的影響。

(2)無線傳感網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域

文獻(xiàn)[11]中，將單比特壓縮感知技術(shù)運用于無線傳感網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)收集。在此文中，作者還提出了一種新穎的算法——Blind 1-bit CS。在WSN的環(huán)境中，該算法與其他算法相比擁有一定的優(yōu)勢。在真實的傳感數(shù)據(jù)庫中進(jìn)行實驗后，發(fā)現(xiàn)此算法效率很高，且能夠大幅度地減少每個傳感節(jié)點的負(fù)擔(dān)，從而提高工作效率。

(3)醫(yī)學(xué)圖像領(lǐng)域

臨床醫(yī)學(xué)上可通過EEG(腦電圖)檢查進(jìn)行腦部診斷，而EEG可以通過單比特壓縮感知技術(shù)獲得。文獻(xiàn)[13]中，在單比特壓縮感知的基礎(chǔ)上建立了一個全新的模擬信息轉(zhuǎn)換器的體系結(jié)構(gòu)，用于醫(yī)學(xué)上的EEG檢查。實驗結(jié)果證明，這個新結(jié)構(gòu)能提高EEG的效率和質(zhì)量。

(4)信號傳輸領(lǐng)域

文獻(xiàn)[14]中，在單比特壓縮感知的基礎(chǔ)上建立了一個名為Turbo CS 的編解碼模型用于信號的傳輸，Turbo CS是迭代方法的一種。本文是在高斯白噪聲信道的環(huán)境下進(jìn)行傳輸信號實驗的，結(jié)果證明Turbo CS的抗噪聲性能強，重構(gòu)精確度高。

總的來說，關(guān)于單比特壓縮感知應(yīng)用研究的論文并不是很多。

4 總結(jié)

目前單比特壓縮感知算法的研究較多，但是還存在繼續(xù)研究的空間。比如，高信噪比和高精確度同時擁有并且不需要稀疏度K的先驗知識，這樣的算法較少。而且對單比特壓縮感知技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域的研究并不多，因此，此應(yīng)用領(lǐng)域的研究可能是將來的一個重要研究方向。

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A survey of 1-bit compressed sensing theory and application

Wang Fei, Xiong Jiping, Cai Lisang

(College of Mathematics, Physics and Information Engineering, Zhejiang Normal University, Jinhua 321004, China)

1-bit compressed sensing which acquires the signs of the measurements is the limit form of quantized compressed sensing. Therefore, it is appealing in hardware implement and works very fast. So, 1-bit compressed sensing has become a research focus. First, this paper describes the development and research status of 1-bit compressed sensing. Next, from two aspects of testing or no testing the observation symbol, the reconstruction algorithms are analyzed. Then, from four aspects of imaging, wireless sensor network, medical image and signal transmission, the 1-bit compressed sensing applications are described. At the end of the paper, we conclude our survey and point out the possible future research directions.

1-bit compressed sensing；compressed sensing (CS)；recovery algorithm；application

TP3-0

A

1674-7720(2016)05-0012-03

王妃,熊繼平,蔡麗桑．單比特壓縮感知理論及應(yīng)用研究[J] .微型機與應(yīng)用，2016,35(5)：12-14.

2015-12-03)

王妃(1992-)，女，本科，主要研究方向：壓縮傳感、計算機視覺、網(wǎng)絡(luò)、信息安全及信號處理。

蔡麗桑(1991-)，女，本科，主要研究方向：壓縮傳感、計算機視覺、網(wǎng)絡(luò)、信息安全及信號處理。

熊繼平(1981-)，男，博士，副教授，主要研究方向：壓縮傳感、計算機視覺、網(wǎng)絡(luò)、信息安全及信號處理。