基于似然估計的零售商庫存魯棒均值-風險模型

邱若臻,苑紅濤,黃小原

(東北大學工商管理學院，遼寧 沈陽 110169)

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基于似然估計的零售商庫存魯棒均值-風險模型

邱若臻,苑紅濤,黃小原

(東北大學工商管理學院，遼寧 沈陽 110169)

針對具有風險厭惡的零售商，建立了權衡期望利潤和條件風險值(CVaR)的均值-風險庫存優化模型,給出了離散需求分布不確定條件下能實現帕累托最優但具有較高保守性和非帕累托最優但具有較低保守性的兩種魯棒對應。針對不確定需求分布,在僅知歷史需求樣本數據情況下，應用統計推斷理論構建了滿足一定置信水平的基于似然估計的需求概率分布不確定集。在此基礎上，運用拉格朗日對偶理論，將上述兩種魯棒對應模型轉化為易于求解的凹優化問題，并證明了其與原問題的等價性。最后，針對實際案例進行了數值計算，分析了不同系統參數和樣本規模對零售商最優庫存決策及其運作績效的影響，并給出了零售商期望利潤和條件風險值兩個目標權衡的帕累托有效前沿。結果表明，采用基于似然估計的魯棒優化方法得到的零售商庫存策略具有良好魯棒性，能夠有效抑制需求分布不確定性對零售商庫存績效的影響。而且，歷史需求樣本規模越大，魯棒庫存策略下的零售商運作績效越接近最優情況。進一步，通過對比發現，兩種魯棒對應模型雖然保守性不同，但在最終庫存策略上保持一致。

庫存；不確定性；均值-風險模型；魯棒優化；似然估計

1 引言

作為供應鏈管理領域的基礎之一，零售商庫存控制問題長期以來一直是供應鏈建模與優化研究關注的重點[1-3]。然而，市場環境的復雜多變和產品生命周期的縮短，使得企業運作過程中的不確定性日益增加，這種不確定性一方面加劇了經營者對市場需求預測的難度，另一方面也對企業制定最優庫存策略提出了挑戰。傳統庫存方面的研究大多假設模型中需求參數服從某一已知分布，通過優化期望利潤或成本方式獲取最優策略。然而，在現實中通常難以獲得精確的需求分布信息，特別是對于短生命周期產品。Roy[4]指出，對于模型參數的任一錯誤假設，都可能引起最終績效的嚴重偏差。這就促使企業決策者在日常運營中采取一種具有魯棒性的策略來應對不確定性擾動。

作為有效解決不確定性問題的建模方法，魯棒優化近年來廣受關注[5-6]。在庫存管理領域，Scarf[7]最早嘗試處理庫存控制問題中的需求分布自由(Distribution Free)問題，給出了僅知需求均值與方差條件下，基于最小最大魯棒建模準則的零售商訂貨策略。在此基礎上，Perakis和Roels[8]在知道需求部分信息(區間、均值、方差等)下，采用最小最大后悔值準則研究了魯棒訂貨策略。Zhang Muhong[9]采用同樣的方法研究了需求屬于區間不確定集下的魯棒訂貨批量問題。最近，Qiu Ruozhen等[10]采用魯棒優化方法研究了離散需求概率分布隸屬于區間和橢球不確定集下的風險厭惡報童訂貨問題。然而，無論是不確定參數相關矩信息還是不確定集的精確指定，通常需要企業決策者具備專業的知識，從而降低了其應用性。近十年來，作為大數據革命的重要組成部分，數據可得性問題在運作研究領域受到人們的普遍關注[11]。在這種日益增加的數據可得性驅使下，一些學者開始在運營管理領域應用數據驅動方法進行研究。Klabjan等[12]將數據擬合和庫存優化集成，提出了一種最小最大魯棒模型，給出了最優庫存控制策略。Ben-Tal等[13]針對僅知需求歷史數據的報童問題，借助φ-散度函數構建了一定置信水平下的未知參數的不確定集，給出了多物品報童魯棒優化模型。Levi等[14]針對報童模型，在考慮抽樣成本基礎上，采用樣本平均近似方法分析了需求分布未知下的報童策略。由于在處理不確定性方面的有效性，魯棒優化被廣泛用于具有有限需求信息的庫存控制問題[15-16]。

不確定性是一個與風險息息相關的概念。根據Simangunsong等[17]，不確定性用來描述不知道確切產出的狀態，而風險則是度量這一不確定性帶來的不利情況的概念。不確定性導致風險，風險屬于不希望不利產出發生的可能性[18]。為了應對供應鏈運作中的風險問題，不少學者給出了相應的度量方法和應對策略[19]。實證研究也進一步表明，決策者實際采用的運作策略并不總是與基于期望利潤或成本的策略一致[20]。這一觀點驅動決策者采用一定的風險測度對不確定性導致的風險進行建模。在風險度量方面，條件風險值滿足一致風險測度所要求的單調性、次可加性、平移不變性和正齊次性，近年來受到許多學者關注。Hanasusanto等[21]研究了多峰需求分布下基于CVaR的多物品魯棒訂貨問題，并給出了有效求解算法。Wu Meng等[22]研究了考慮隨機缺貨成本的報童問題，與基于風險值(VaR)約束的訂貨量相比，CVaR準則將導致更低的訂貨量。Wu Meng等[23]通過研究CVaR準則下具有數量和價格競爭的報童問題發現，訂貨量、銷售價格和期望利潤隨著風險厭惡程度的增加均呈下降趨勢。

對不確定性及其導致的風險問題的關注，引發了供應鏈風險管理框架下的魯棒優化問題研究。魯棒優化研究的關鍵是針對原問題產生易于求解的魯棒對應，這通常涉及到不確定性描述方法。與傳統采取7不確定參數矩信息或事先指定的不確定集描述方法不同，本文在歷史需求數據基礎上，采用基于似然估計的統計推斷方法構建隨機需求概率的似然魯棒分布集合，在均值-CVaR準則下研究零售商庫存控制問題，進一步將問題轉化為易于求解的數學規劃，分析系統參數對零售商庫存決策和運作績效的影響。

2 不確定需求概率下基于均值-CVaR的零售商庫存魯棒對應模型

考慮單周期環境下，銷售某一易逝品的風險厭惡零售商庫存控制問題。零售商作為庫存管理者，面臨不確定的隨機市場需求d。在銷售季節開始前，零售商以單位價格c向制造商訂購q單位產品；銷售期開始，零售商以單位價格p出售產品；在銷售期末，對于未滿足市場需求的部分，零售商將招致單位缺貨損失h；而對于超出市場需求的部分，零售商以單位殘值s將其處理。不失一般性，假設p>c>s。

π(q;d)=pmin(q,d)+s(q-d)+-h(d-q)+-cq

(1)

其中，△+=max{△，0}。

在風險中性條件下，零售商的最優訂貨量為q*=argmax{E[π(q;d)]}(E[·]是期望算子)。本文考慮具有風險厭惡態度的零售商，采用均值-CVaR衡量其績效。對于給定訂貨量q，零售商利潤π(q;d)不低于閾值α的概率為：

ψ(q,α)=Pr{π(q;d)≥α}

(2)

在給定水平1-β∈(0,1)下，零售商利潤的風險值為：

VaRβ(q)=sup{α∈R|ψ(q,α)≥1-β}

(3)

式(3)表明零售商利潤將以不低于1-β的概率高于某一數值α。在式(3)基礎上，零售商利潤的條件風險值定義為：

CVaRβ(q)=bVaRβ(q)+(1-b)CVaRβ(q)+

(4)

(5)

在均值-CVaR準則下，零售商優化問題為：

(6)

其中，λ(λ∈[0,1]為悲觀系數，λ越低，反映了決策者傾向于獲得高利潤。注意到，當λ=0時，式(6)等價于期望利潤最大化問題；當λ=1時，式(6)等價于條件風險值最大化問題。為了給出不確定需求分布下式(6)的魯棒對應，定義最壞分布下的條件風險值和期望利潤分別為：

(7)

(8)

其中，Φ為不確定概率p的集合。則不確定概率分布下，問題(6)的魯棒對應為：

(9)

式(9)體現了最壞情況條件風險值和最壞情況期望利潤之間的權衡，因此，該決策準則下的最優策略滿足帕累托最優。需要注意的是，對應于最壞條件風險值和最壞期望利潤的概率分布p可能并不相同。在不同參數λ下，可以計算出相應的帕累托有效邊界。由于式(9)分別考慮了對應于條件風險值和期望利潤的最壞需求概率分布，因此，依此得到的最優策略具有較高的保守性。進一步，可以考慮下述具有較低保守性的問題(6)的魯棒對應：

(10)

式(10)雖然要求存在一種最壞分布使得條件風險值和期望利潤加權之和目標最小，但由于這種最壞分布及對應的條件風險值和期望利潤將隨參數λ的變化而變化，因此，式(10)并不是帕累托有效的決策準則。后面數值計算表明，通過優化式(9)和式(10)，可以得到相同的最優庫存策略。因此，本文選擇式(9)這一具有較高保守性，但能實現帕累托最優的決策準則。式(9)等價于如下問題：

ui≥α-π(q;di),i=1,…,n

ui≥0,i=1,…,n

(11)

其中，(q,θ,α,u)∈R×R×R×Rn。注意到，問題(11)中含有未知概率向量p，難以直接求解。下一節將結合統計學中的似然估計原理，針對不確定需求概率，構建滿足一定置信水平的置信域，從而將問題(11)轉化為易于求解的數學規劃問題。

3 基于似然估計的不確定需求概率的置信域構建

對于問題(11)第一個約束條件中的未知參數p，已有研究大多采用不確定集(區間、橢球或多面體等)進行描述，這需要對不確定集的精確指定。本文借助隨機需求的歷史數據，結合似然估計原理，構建滿足一定置信水平的不確定需求概率的置信域。

(12)

其中，p=(p1,p2,…,pn)T。隨機變量ε概率分布的極大似然估計可通過下面優化問題得出：

(13)

然而，基于問題(13)的概率(極大似然)估計并不能保證與真實的概率分布一致。為了解決這一問題，定義包含真實概率分布的似然魯棒分布集如下：

(14)

其中，參數r的合理選取將使得式(14)具有統計學意義。Wang Zizhuo等[26]分析了式(14)所示似然魯棒分布集在統計學上的漸進屬性，并給出了參數r最優選取標準為

(15)

從而使得隨機變量ε的真實概率分布以1-φ的置信度落在式(14)集合內，即

(16)

企業的合并重組，通常會對其經營模式帶來改變，其財務管理機制也將受到影響。例如，生產型企業與銷售型企業合并后，新企業的經營范圍將大幅擴展。若生產型企業占據了主導地位，則財務部門的管理范圍將向銷售、儲運等環節延展。反之亦然。但在這一過程中，財務資源會密集交接，人員變更將更為頻繁。傳統的財務管理機制，無法應對規模擴大、審核延長等管理體系的變化。

4 基于似然估計的零售商庫存魯棒優化模型

假設零售商僅觀測到n個可能的需求情景d1,d2,…dn，并且得到關于需求情景的N個樣本，N=N1+N2+…+Nn，Ni(i=1,2,…,n)表示情景di發生的次數。根據式(14)，在置信水平1-φ下構建需求概率分布p的置信域如下：

(17)

下述引理1給出了問題(11)中最小化約束條件的等價描述。

引理1：在式(17)需求概率置信域下，問題(11)約束中兩個最小化問題，即：

s.t. p∈ρ

(18)

和

s.t. p∈ρ

(19)

分別等價于如下問題(20)和(21)，即：

(20)

(21)

證明：對于問題(18)，其拉格朗日定義為：

相應的拉格朗日對偶函數為：

考慮如下優化問題：

ui≥α-π(q;di),i=1,…,n

ui≥0,i=1,…,n

w≥0,φ≥0.

(22)

其中，(θ,q,α,u,w,η,φ,ζ)∈R×R×R×Rn×R×R×R×R。

性質1：如果利潤函數π(q;d)是一個凹函數，則問題(22)是一個凹優化問題。

下述定理1表明，求解不確定需求概率分布下的零售商庫存魯棒均值-風險問題(11)等價于求解問題(22)。

為了比較式(9)和式(10)兩種不同的魯棒對應模型，根據朗格朗日對偶，將問題(10)轉化為如下等價性問題：

ui≥α-π(q;di),ui≥0,i=1,2,…,n

e≥0

(23)

5 數值算例與分析

為了驗證基于似然估計的魯棒庫存均值-風險模型在處理需求概率分布不確定性方面的有效性，以某生鮮食品超市的某類海鮮產品為例，對問題(22)和(23)進行數值計算。模型中相關參數取值如下：p=37，c=20,h=6,s=15,φ=0.05。根據超市提供的銷售記錄，隨機需求情景d={56,66,72,79,82,93,108,111,125,150}，即n=10。在歷史需求數據基礎上估計概率向量為p0=(0.0684,0.1285,0.0567,0.0547,0.1395,0.1433,0.1356,0.1255,0.0567,0.0911)T。為了比較基于文中方法得到的庫存策略的魯棒性，不失一般性，假設p0為真實概率分布。

表1 真實需求分布p0下，不同參數λ和β下的最優訂貨量

表2 真實需求分布p0下，不同參數λ和β下的均值-風險績效

表3 不同參數樣本規模N和λ下魯棒訂貨量

(1) 對于真實需求概率分布p0，在不同參數λ和β下，通過優化求解式(6),得最優庫存策略和均值-風險績效分別如表1和表2所示。由表1可以看出，在給定β下，最優庫存策略隨著參數λ的增加總體上呈現下降趨勢，λ越大，說明決策者越悲觀，因此會持有較低的庫存量。然而，這種庫存量決策在某些λ和β數值下變化并不明顯，例如當λ≤0.5時，最優庫存量并不受參數λ和β的影響，這是由于在較低的λ下，決策者將更高的權重賦予期望利潤表達式，而零售商期望利潤明顯高于其條件風險值，在這種情況下，零售商最終訂貨決策不受條件風險值度量CVaRβ(π(q;d))影響。在較高的λ(λ≥0.6)下，發現最優庫存策略隨將受參數β影響，說明此時CVaRβ(π(q;d))表達式在整個決策中將起主要作用。由表2可以看出，在給定參數β下，整個系統績效隨λ的增加呈降低趨勢，這是由于λ越大，決策者更傾向于獲得較低的績效；而在給定參數λ下，系統績效隨參數β的增加而增加，注意到，在條件風險值度量準則下，β衡量了決策者的風險厭惡程度，β越小，決策者風險厭惡程度越高，越傾向于獲得較低的績效，反之亦然。特別地，λ=0時，對應于期望利潤最大化問題，此時系統績效將不受參數β影響。

(2) 在不確定需求分布條件下，根據真實需求分布p0，在歷史銷售記錄基礎上隨機產生不同規模的需求樣本N，N=50, 100, 200, … ,1000。在不同規模的樣本下，通過求解問題(22)，分別計算了β=0.01和β=0.05，λ=0.3和λ=0.7時的零售商訂貨量及相應系統績效，結果如表3和圖1-圖2所示。

圖1 β=0.01時不同樣本規模下的系統績效

圖2 β=0.05時不同樣本規模下的系統績效

由表3可以看出，在給定參數β下，λ值越大，零售商越傾向于依據條件風險值這一風險厭惡度量指標進行決策，因此訂貨量越小，反之亦然。特別地，在較大樣本規模N下，零售商訂貨量接近于真實分布下的最優訂貨量(111和82)。由圖1和圖2可以看出，在相應的β數值下，λ越大，系統績效越低。隨著樣本規模N的增加，系統績效變化趨勢趨向平穩。特別地，對比表2發現，N越大，在真實需求分布下，采取魯棒訂貨決策時的系統績效越接近最優情況(1189.22和931.95)，說明樣本規模的增加能夠顯著提高決策的精確度。進一步，由于式(9)魯棒對應是滿足帕累托最優的決策準則，為了獲得條件風險值和期望利潤兩個指標之間權衡的帕累托有效前沿，針對問題(22),計算了樣本規模N=100，β=0.05下，當λ在[0.1，0.9]范圍內變動時的條件風險值和期望利潤，從而得到帕累托有效前沿如圖3所示。圖3中曲線上的任意一點對應的決策都是帕累托最優的。圖3同樣表明，隨著λ的增加，零售商利潤的條件風險值越大，而對應的期望利潤越低。根據文[24]，零售商利潤的條件風險值總是低于其期望利潤，因此，λ越大，條件風險值和期望利潤的加權之和越小，即系統總績效越低，與圖1和圖2結果一致。

圖3 條件風險值和期望利潤權衡的帕累托有效前沿

(3)根據前文分析，式(9)魯棒對應雖然是帕累托最優決策準則，但同式(10)相比，同樣具有較高的保守性。為了說明這一點，對式(10)的等價性問題(23)進行求解。假設樣本規模N=100，β=0.05，λ在[0,1]范圍內取值。與問題(22)的對比性結果如表4所示，其中，q22和q23分布表示問題(22)和(23)的最優訂貨量決策,θ22和θ23分別表示問題(22)和(23)的最優績效。由表4可以看出，式(9)和式(10)兩種魯棒對應下的訂貨量決策相等，但式(9)得到的系統績效θ22要低于式(10)的系統績效θ23，與前文分析一致。

表4 不同魯棒對應下的訂貨量和系統績效

6 結語

對于銷售單一商品的風險厭惡零售商，在均值-CVaR準則下研究了離散需求分布不確定條件下的零售商庫存優化問題，給出了能實現帕累托最優但具有較高保守性和非帕累托最優但具有較低保守性的兩種魯棒對應模型。對于不確定需求分布，在僅知需求歷史數據基礎上，運用統計推斷理論構建了滿足一定置信水平的基于似然估計的需求概率不確定集。通過拉格朗日對偶理論，將上述兩種魯棒對應模型轉化為易于求解的凹優化問題?；趯嶋H案例的數值結果表明，需求分布不確定性雖然會導致零售商庫存績效損失，但損失值很小；隨著需求樣本規模增加，魯棒訂貨決策下的系統績效越接近最優情況。進一步，當比較分析兩種具有不同保守性的魯棒對應模型時發現，滿足帕累托最優的魯棒對應雖然具有較高的保守性，但其訂貨量決策與具有較低保守性的魯棒對應模型一致。上述結果表明：①當庫存決策者缺乏精確的需求分布信息時，文中提出的魯棒優化方法將有助于庫存管理者制定有效的庫存策略，從而抑制不確定性對庫存績效的影響；②在日常經營過程中，企業應注重對需求數據的記錄，確保獲得足夠規模的樣本，從而實現改進庫存策略的目的；③針對式(9)和(10)兩種魯棒對應，管理者可選擇式(9)作為決策準則，雖然其保守性較高，但依此做出的庫存策略與式(10)一致，并且通過優化式(9)得到的任何一組期望利潤和條件風險值都是pareto最優的。未來，可以考慮多產品銷售情況，結合相應的資金約束，或者考慮市場需求服從某一未知連續分布，構建基于似然估計的魯棒優化模型。此外，考慮多周期環境下的庫存動態運作問題也是未來的研究方向。

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RobustMean-Risk Model for Retailer Inventory Problem Based on Likelihood Estimation

QIU Ruo-zhen, YUAN Hong-tao, HUANG Xiao-yuan

(School of Business Administration, Northeastern University, Shenyang, 110819)

The problem of inventory optimization for a risk-averse retailer with uncertain discrete demand distribution is studied in this paper. A mean-risk inventory model which can balance the retailer’s expected profit and the conditional value-at-risk (CVaR) of the profit by a pessimistic coefficient is developed. To overcome the difficulty of obtaining an inventory policy caused by the demand distribution uncertainty, two robust counterparts based on max-min robust criterion are proposed. The former which maximizes the trade-off between the worst-case expected profit and the worst-case CVaR is pareto efficient but more conservative; while the latter optimizes the worst-case trade-off between the expected profit and the CVaR, and then is non-pareto efficient but less conservative. For uncertain demand distribution, only some historical demand data are assumed to be known. Using statistical inference theory, an uncertain set to which the unknown demand probability belongs is constructed with a certain confidence level based upon the likelihood estimation. Such an uncertain set is then integrated into the above two robust counterparts and regarded as a constraint. By Lagrange dual theory, the two robust counterparts with an uncertain set constraint are transformed into two tractable concave optimization problems which can be solved efficiently. Moreover, a proof is presented to show the equivalence of the transformed tractable models with original ones. At last, some case-oriented numerical examples are executed to analyze the impact of the different system parameters and the demand sample size on the optimal inventory strategy and the operational performance of the retailer. A Pareto frontier between retailer’s expectation profit and its conational value-at-risk is also proposed. The results show that the uncertainty in demand distribution will inevitably lead to the inventory performance loss, however, the loss value is relatively small, which indicates the retailer’s inventory strategy based on the likelihood estimation is robust, and can effectively restrain the impact of the uncertain demand distribution on the retailer inventory performance. Besides, the more the historical demand samples, the closer the retailer’s operational performance under robust inventory strategy to its optimal level. Furthermore, it can be found that the optimal inventory strategies for the above two robust counterpart models are qualitatively equal, although they are different in conservation.

inventory; uncertainty; mean-risk model; robust optimization; likelihood estimation

2015-04-07；

2015-12-23

國家自然科學基金資助項目(71372186)； 中央高校基本科研業務費資助項目(N150604005)

簡介：邱若臻(1980-), 男(漢族), 山東青島人, 東北大學工商管理學院副教授, 博士， 研究方向: 供應鏈管理與魯棒優化，E-mail: rzqiu@mail.neu.edu.cn.

F253.4

A

1003-207(2016)08-0123-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.08.015