柳暗花明又一村

張希杰

所謂構造的思想方法，就是指在對問題進行透徹地分析，對其實質進行深刻地了解的基礎上，借助于邏輯分析或長期積累的經驗，發揮高度的想象和創造性，將原來的問題從原來的模式轉化為更能反映其本質特征的新模式的思想方法。構造思想是一種很活躍的創造性思想方法，它能溝通數學各個不同的分支，甚至還能溝通數學與其他的學科，實現跨度極大的問題轉化，這是一種難度大、規律不易掌握的高層次的思想方法。歷史上有不少著名的數學家，如歐幾里得、歐拉、高斯、拉格朗日等人，都曾經用“構造法”成功地解決過數學上的難題。數學是一門創造性的藝術，蘊含著豐富的美，而靈活、巧妙的構造令人拍手叫絕，能為數學問題的解決增添色彩，更具研究和欣賞價值。近幾年來，構造法及其應用又逐漸為數學教育界所重視，在高考和數學競賽中有著一定的地位。其中以構造函數法、構造方程法、構造圖形法、構造模型法等最為常見。

一、構造函數求解

[例1]已知a>0，b>0，求證：a㏑（a+b）-b

分析：這是一個含有二元變量的對數不等式，似乎很難找到突破口，我們不妨將求證部分等價變形為a[ln（a+b）-lna]

二、構造方程求解

[例2]設實數a、b、c滿足a2-bc-8a+7=0b2+c2+bc-6a+6=0，求a的取值范圍。

分析：由已知得bc=a2-8a+7b+c=±（a-1），故構造方程x2±（a-1）x+a2-8a+7=0

∴△=[±（a-1）]2-4（a2-8a+7）≥0

即a2-10a+9≤0。

∴1≤a≤9

三、構造圖形求解

[例3]已知一個三棱錐相對兩棱兩兩相等，且棱長分別為5，，求此三棱錐體積（圖1）

分析：不妨作如圖所示三棱錐A-BCD，直接求體積顯然十分困難。因為圖形不特殊，但能否著眼于相對的棱相等來聯想有沒有類似這樣的新的圖形呢？于是想到構造長方體，長方體的面對角線有這種結構。

如圖：作長方體EFGH-E1F1G1H1由長方體的對稱性不妨設相對的兩條面對角線的長分別為5、則三棱錐G1-E1FH正好是符合題意的四面體，設長方體各棱長分別為x、y、z，則有：

四、構造模型求解

[例4]（哥尼斯堡七橋問題）18世紀哥尼斯堡為東普魯士首府，布勒爾河穿城而過，河中有一小島圖3。當地的居民常到這散步，“如何能不重復地一次走遍這七座橋而返回出發地呢？”許多人均未成功，這便產生了上著名的“七橋問題”。1735年 歐拉對該問題進行抽象，構造出圖論中的“一筆畫”模型（如圖4）才知該問題無解，這一模型的構造充分展示出歐拉超人的智慧

從以上各例不難看出，構造法是一種極富技巧性和創造性的解題方法，體現了數學中發現、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、探索、特殊化等重要的數學方法。運用構造法解數學題可從中欣賞數學之美，感受解題樂趣，更重要的是可開拓思維空間，啟迪智慧，并對培養多元化思維和創新精神大有裨益。構造法體現了數學發現的思維特點，“構造”不是“胡思亂想”，不是憑空“臆造”，而是要以所掌握的知識為背景，以具備的能力為基礎，以觀察為先導，以分析為武器，通過仔細地觀察、分析、去發現問題的各個環節以及其中的聯系，從而為尋求解法創造條件。最后還應指出，構造法并非是上述題型的唯一解法，并且構造法也不只限于本文提到的幾種，對于同一道題既能有幾種構造法，也可以用其它方法來解，應注意在學習研究的過程中注意對學生創新性思維的培養，使學生體會知識間的內在聯系和互相轉化，能創造性的構造解決問題的有力條件，巧妙地解決問題，從而獲得學習的愉悅感和成功的體驗。在數學競賽輔導過程中，需要長期給學生進行有針對性的數學思想方法的訓練。其中構造法解題的思想，就是一種值得推廣的解題思想方法。通過構造，可以建立起各種數學知識之間的聯系與相互轉化，讓學生在熟練掌握各種數學知識的前提下交互使用，融會貫通。