“方程的意義”教學賞析

周瑩

對教材中呈現的列方程法解決問題的例題，學生感受不到方程的優勢，反而總感覺它書寫過程煩瑣，沒有明確要求時不愿列方程，更喜歡用算式法解決問題，要求列方程解決問題時，出現用算術思路思考問題，再在等號后面寫“x”。很多一線教師常被這些問題困擾著……

我跟隨京、蘇、粵、浙四省市中小學卓越教師培訓班來到廣州中山，有幸聽到了廣東省著名特級教師劉燕老師執教的“方程的意義”，使我茅塞頓開，在此與各位同仁分享。

片段一：喚醒思維，悟本質

師：數學難不難啊！一起來看一看。（出示下圖）

師：難嗎？會嗎？

生：不難，很容易的，8-2=6。

師：一年級有個小朋友叫小芳，她也是這樣做的。還有一個叫小明，他想呀想，“要列一個怎么樣的算式才能表示籃子里的球呢？”他順著算式的意思，籃子里的球不知道是幾個，他就空著，又拿來兩個他就……

生：加2。

師：現在籃子里有……

生：等于8。

師：看著算式發現方框里有6個球，就寫下了這樣一道算式（6+2=8）。他終于做出來了，不過遇到一個麻煩，你知道是什么麻煩嗎？

生：這樣列算式別人不知道誰是答案了。

師：你能幫小明想想辦法嗎？

生1：用括號表示不知道的數，算式寫成“（ ）+2=8”。

生2：把未知數改成x，算式寫成“x+2=8”。

師：還可以用什么符號表示未知的“6”呢？

生：問號、方框、圓圈，隨便什么符號都可以的……

師：古代有個數學家也選擇了用x表示未知數，我們把這個方法寫下來。

師：（出示：原來盤子里有一些蘋果，吃掉了7個，還剩3個，原來盤子里有多少個蘋果？）這個問題怎么解決？

生：7+3=10（個）。

師：小明又不知道怎么才能等于盤子里的蘋果了。他順著題目的意思列了一道有x的式子。猜一猜他的式子是怎么樣的？

生1：7+3=x。

生2：x-7=3。

師：你覺得哪個更可能是小明的式子？你是怎么想的？

生：x-7=3，盤子里有一些蘋果，小明就用x表示，吃掉了7個就是減7，還剩3個就等于3了。剛好是順著題目的意思。

師：（出示：爸爸今年36歲，小紅年齡的3倍剛好和爸爸的年齡一樣，小紅今年多少歲？）小芳會怎樣做？

生：36÷3=12。

師：小明又請來x，他會寫一道怎樣的算式？

生：x×3=36。

師：小明是怎么想的？

生：用x表示小紅的年齡，她年齡的3倍就是x乘3，也就是爸爸的年齡等于36。

師：一轉眼，他們讀到了三年級。（出示：一個數加上31、減去56等于320，這個數是多少？）

師：小芳和小明各自會怎么做？把算式寫下來，只列式不計算。

（教師巡視，兩名學生板演小芳和小明各自的做法。）

師：（指“x+31-56=320”）認為對的同學請舉手，容易判斷嗎？怎么判斷？

生：順著題目，“一個數”就用x表示，加上31減去56等于320。很簡單，一點不用動腦筋的。

師：再來看看小芳的方法，她是怎么想的？

生：原來減去56就把它加回來，原來加上31就要把它減下去。

（學生輕聲說：“小芳是學霸。”）

師：大家對小芳表示很欽佩！他們讀呀讀，讀到了……

生：四年級。

師：（出示：某風景區兒童票價格的2倍多5元，剛好是成人票的價格145元再加10元。兒童票的價格是多少元？）

師：小明的方法？

生1：x×2+5=145+10。

師：同意的給他掌聲，x表示……

生：x表示兒童票價格。

師：再來看看小芳的方法。

生1：（140-5）÷2+10。

生2：這個做法不對，應該是（145+10-5）÷2，因為……

師：你覺得這題目誰的算式比較容易想？

賞析：把“未知”當作“已知”，順著題目的意思列算式，正是方程法解決問題的思考方式。這種跟問題情境表達一致的順向思考方式，卻隨著算術法解決問題經驗的增加與訓練的加強，漸漸地被學生遺忘了。教師從一年級的看圖解決問題開始，喚醒順向思維，突顯方程順向表達數量關系的事實。在猜測“小明會怎么做？”的過程中，激發這種因習慣于算術法而“被深埋”的思考方式，引導學生一步一步找回按照順向思維列算式的記憶。隨著題目難度的逐步加深，學生終于發出“小芳是學霸！”的感嘆，真切地感悟到了列方程算式在思維上的便捷。讓學生真正從心里喜歡上了方程，從而樂學、學好方程這一新知。

片段二：對比分析，明形式

師：他們的算式有什么相同和什么不同的地方？同桌之間先說一說。

師：（同桌互說后反饋）有什么不同？

生1：小明一直在用未知數x，小芳的算式里沒有未知數。

生2：小明的方法只要順著題目的意思寫出算式，不太會出錯。小芳的方法有時候有點難。

師：有什么相同？

生1：都用了已知條件。

生2：算出來的答案都是一樣的。

生3：都有等號。

師：哦！他們列出來的都是等式。

師：像小明的方法這樣，有未知數的等式我們叫方程。這節課就來學習方程的意義。（板書課題）

師：其實方程在很早之前就有了。

（出示數學史，講述方程的發展過程。）

師：未知數可以用x表示，還可以用……

生：用y，或者其他的字母都可以的。

賞析：教師借助小芳和小明兩組算式的對比，揭示方程的形式定義——含有未知數的等式叫方程。借助方程文化背景的介紹完善學生對方程的認識。有人這樣形容過數學史與數學教育的關系：“數學史與數學教育是使面包與黃油更加可口的蜂蜜。”這一環節中，方程發展過程的簡要介紹，用時不多，卻讓學生知道了無論是三千多年前的古埃及還是兩千多年前的中國，都有關于方程的記載，四百多年前開始使用字母來表示未知數，三百年前笛卡爾首次使用26個字母的后面幾個“x、y、z”表示未知數沿用至今。使學生進一步明確現在我們所看到的方程只是經過多年的改變一直沿用至今的一種外在形式。

片段三：圖符轉化，促理解

師：如果兩邊這樣放東西，你說天平會怎樣？做個手勢！

師：當天平左右兩邊放的重量是一樣的時候，和我們方程中左右相等的性質是一樣的……

師：當天平中有某一邊有物體的重量不知道，就和含有未知數的性質是一致的，人們很喜歡借助天平來認識方程。

師：看這個天平，你能根據這個天平來列一個方程嗎？

生：x+45=110+50。

師：把兩邊的物體對調一下，你能再列一道方程嗎？

生：110+50=x+45。

師：（出示下圖）這里有根據四個天平寫的四個式子，你覺得哪個是方程？

生：③號是方程。

師：你們都覺得③號是方程？為什么④號不是方程呢？

生：④號里沒有未知數。

師：①號和②號都有未知數，為什么不是方程呢？

生：因為它們左右兩邊不相等。

師：我給你一個方程，你能不能根據一個方程畫出天平？（教師示范畫第一個方程）

師：想表示哪一道？試試第三道“x乘3等于36”。

師：畫完的同學可以試試畫第五道……

賞析：本環節教師借助看天平寫方程和不等式以及對方程的判斷，鞏固方程的形式定義。使學生進一步明確方程形式定義的兩個要素，“等式”和“含有未知數”。在借助天平學習方程的過程中，教師設計了兩個層次，先由“圖”到“符號”再由“符號”到“圖”，在圖與符號相互轉化的過程中促進學生對方程等價屬性的理解。

片段四：左右變化，謀深化

師：現在我要出一道高難度的題目考考你，你能根據它（出示下圖）來列一道方程嗎？先和同桌說一下。

生：800+150+50=400+x+x+150+50。

師：這么難都行！再挑戰一下，從天平兩邊去掉一點東西，創造一個新的方程。

生：兩邊各去掉一顆草莓，方程是“800+150=400+x+x+150”。

生：把兩邊的梨也都去掉，方程是“800=400+x+x”。

師：還能再變嗎？

（學生沒有反應）

師：老師提示一下，你們可以把西瓜……

生1：把西瓜去掉一半，把菠蘿也去掉，天平還是平衡的。

生2：對的，可以的，這時候方程是400=2×x。

師：還能再去掉嗎？

生：把西瓜再去掉一半，方程是200=x。

賞析：這是一個課堂延伸的環節，本節課旨在理解方程的本質屬性，初步體會方程法解決問題的思考方式——“用數學的符號把兩件事情等價表達出來”。教師在課尾利用天平的直觀，以“從天平兩邊去掉一點東西，創造新的方程”這個問題引導學生加工目前的相等關系，在不破壞平衡的前提下改變，繼而寫出新的方程。而這正是應用等式的性質解方程的關鍵。因為有了天平的直觀，學生輕而易舉地想到了“兩邊各去掉一顆草莓”“把兩邊的梨也都去掉”，在單個的水果都拿掉以后，面對左邊只有一個西瓜的天平，學生的思維受挫，經過教師的提示，找到了解決策略。就這樣，教師借助寫新的方程，悄無聲息地領著學生體驗了一次解方程的過程。雖然教師沒有點破，這次體驗卻為后面解方程的學習積累寶貴經驗。