基于數(shù)據變換和背景值優(yōu)化的GM(1,1)模型

李昌興，謝笑娟，李思齊，黃艷虎(1.西安郵電大學a.理學院;b.通信與信息工程學院，西安71011;.興業(yè)銀行 西安分行西長安街支行，西安71011)

基于數(shù)據變換和背景值優(yōu)化的GM(1,1)模型

李昌興1a，謝笑娟1a，李思齊2，黃艷虎1b
(1.西安郵電大學a.理學院;b.通信與信息工程學院，西安710121;2.興業(yè)銀行 西安分行西長安街支行，西安710121)

文章為了提高GM(1,1)模型的預測精度，提出一種基于數(shù)據變換和背景值優(yōu)化的GM(1,1)模型。考慮通過弱化緩沖算子得到原始數(shù)據序列的緩沖序列，并對緩沖序列進行對數(shù)變換，而后對GM(1,1)模型的背景值進行優(yōu)化。實例結果表明新建GM(1,1)模型降低了誤差，提高了預測精度。

GM(1,1)模型；數(shù)據變換技術；弱化緩沖算子

0 引言

灰色系統(tǒng)理論自創(chuàng)立以來，在教育、地質、經濟、農業(yè)、管理等眾多領域得到了廣泛應用[1,2]。GM(1,1)模型作為灰色系統(tǒng)理論的核心內容，許多學者對其進行了深入而廣泛的研究。如何提高GM(1,1)模型預測精度，一直是學者們關注和研究的重點[3-5]。譚冠軍、李星毅、王洪國等在已有背景值的基礎上，重構出不同背景值的GM(1,1)模型，使其適應于高、低指數(shù)增長序列建模，并用算例結果的精度表明此方法的有效性和優(yōu)越性[6,7]。黨耀國等分別建立了以x(1)(n)或x(1)(m)為灰色微分模型的初始條件，對GM(1,1)模型進行改進，并通過實例驗證模型的可靠性與實用性。曹昶、劉解放、崔立志等通過正弦函數(shù)變換、余切函數(shù)變換、對數(shù)函數(shù)變換等數(shù)據變換技術，改善了原始數(shù)據序列的光滑度，并給出了此類方法的理論證明，最后通過實例說明此方法的實用性和有效性[9-11]。

以上對GM(1,1)模型提出的改進方法對模型的預測精度有所提升，但GM(1,1)模型自身存在的缺陷尚未得到有效改進。本文在分析GM(1,1)模型傳統(tǒng)背景值選取的基礎上，提出一種基于數(shù)據變換和背景值優(yōu)化的GM(1,1)模型。首先，通過弱化算子弱化原始序列隨機性以擴大模型的適用范圍。其次，通過數(shù)據變換技術以提高數(shù)據序列的光滑性。最后，對GM(1,1)的初始值和背景值進行優(yōu)化降低總體誤差、提高預測精度，并通過實例予以驗證。

1 GM(1,1)模型誤差產生原因分析

1．1 GM(1,1)模型過程

設非負原始數(shù)據序列為：

X(1)記為X(0)的一次累加序列，即：

由X(1)構造背景值序列：

其中：

GM(1,1)模型的灰微分方程為：

式(1)的解為：

參數(shù)a和b的最小二乘估計為：

其中：

還原為原始數(shù)據：其中：

1．2 誤差原因分析

由上述建模過程可知，發(fā)展系數(shù)a、灰色作用量b以及待定常數(shù)c是影響模型預測精度的重要因素,其中a和b的值取決于原始序列和背景值的構造，c的值取決于

1.2.1 背景值的構造

關于真實背景值，在區(qū)間[k-1，k]對式(1)兩邊取積分可得：

進一步可得：

由式(3)和式(5)可知，真實背景值為：

用式(2)代替式(6)是產生誤差的主要原因。

定理1[12]：真實背景值等價于x(1)(k)， x(1)(k-1)和參數(shù)α的線性組合，即存在α∈[0，1]，使：

其中k=2，…，n.

1.2.2 弱化緩沖算子

a和b影響因素除背景值外，另一個為原始序列，而原始序列的隨機性是影響預測精度的關鍵因素。現(xiàn)實生活中，往往由于外界沖擊因素干擾的存在，從而加快(減緩)了原始序列的發(fā)展趨勢，使得數(shù)據失真，導致模型精度不高。劉思峰將該類系統(tǒng)稱為沖擊擾動系統(tǒng)，并提出利用緩沖算子解決沖擊擾動系統(tǒng)的預測問題，同時構建了較完善的緩沖算子公理體系[13]。在此基礎上，學者們分別構造了加權平均弱化緩沖算子、加權幾何平均弱化緩沖算子、幾何平均弱化緩沖算子等若干具有普遍意義的實用弱化算子。緩沖算子理論是對獲得的數(shù)據序列進行某種生成，弱化其隨機性，顯示其規(guī)律性，排除外在沖擊所帶來的干擾，得到能夠反映系統(tǒng)變化規(guī)律的數(shù)據序列。

定理2[14]：設非負原始序列為：

稱：

為X(0)的緩沖序列，其中：

則當X(0)為單調增長序列、單調衰減序列和振蕩序列時，D1皆為弱化緩沖算子。

1.2.3 數(shù)據變換技術

GM(1,1)建模的前提是滿足準光滑性、準指數(shù)性和級比檢驗，即可知原始序列的光滑性等也是影響預測精度的關鍵因素。數(shù)據變換就是對原始數(shù)據序列進行某種運算，從而使新的數(shù)據序列朝著提高數(shù)據序列的光滑性、有利于級比壓縮等方向進行，來提高預測精度。

2 數(shù)據變換與背景值優(yōu)化的GM(1,1)模型

第一步：以式(8)對原始數(shù)據序列進行弱化，弱化數(shù)據序列的隨機性；

第二步：將弱化后的數(shù)據序列進行數(shù)據變換，提高數(shù)據序列光滑性；

第三步：以數(shù)據變換后的序列來進行GM(1,1)建模，求解背景值式(7)中的α。

由式(3)和式(7)可得：

即：

取α*滿足

從而得到背景值：

再求待定系數(shù)c，取m*使得其中

第四步：數(shù)據變換技術的數(shù)據還原；

第五步：弱化算子數(shù)據還原

3 實例分析

為敘述方便起見,記原GM(1,1)模型為GM(1,1)①，記文獻[5]背景值和初始值同時優(yōu)化的GM(1,1)模型為GM(1,1)②，記文獻[11]經過對數(shù)函數(shù)變換的GM(1，1)模型為GM(1,1)③，記本文改進GM(1,1)模型為GM(1,1)④。這里用2004—2012年我國果蔬的消費量進行數(shù)據模擬。基于水果的消費量建立GM(1,1)①，GM(1,1)②,GM(1,1)③，GM(1,1)④，并求出時間響應式。

(1)GM(1,1)①模型的時間響應式：

(2)GM(1,1)②模型的時間響應式：

(3)GM(1,1)③模型的時間響應式：(c=5500)

對數(shù)函數(shù)數(shù)據還原：

(4)GM(1,1)④模型

將水果的原始數(shù)據序列進行弱化后，進行數(shù)據變換技術，這里用對數(shù)變換：

這里取c=5500，然后建立GM(1，1)模型。

由式(9)可得α*=0.0018時最優(yōu)，即背景值：

可得改進后GM(1,1)模型的時間響應式：

由式(11)進行對數(shù)函數(shù)還原；式(10)進行弱化算子還原。

水果消費量模型精度比較如表1所示。類似可求得蔬菜的消費量各類GM(1,1)模型的時間響應式以及模型誤差分析。蔬菜消費量模型精度比較如表2所示。

表1 水果消費量模型精度比較

表2 蔬菜消費量模型精度比較

4 總結

本文通過弱化算子、數(shù)據變換將原始數(shù)據序列進行優(yōu)化，用優(yōu)化后數(shù)據序列建立背景值優(yōu)化的GM(1,1)模型，不僅能夠有效地消除數(shù)據序列的隨機性，而且能提高數(shù)據序列的光滑度，減小背景值所帶來的誤差，從而提高模型的預測精度。對2004—2012年我國果蔬消費量實例的數(shù)據模擬驗證結果表明，本文的改進方法能較好地反映果蔬消費量信息，平均相對誤差較小，在時間序列預測方面有一定實用性。

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[15]2004—2012年中國統(tǒng)計年鑒[M].北京:中國統(tǒng)計出版社.

（責任編輯/浩 天）

N941.5

A

1002-6487（2016）24-0071-03

李昌興（1962—），男，陜西西安人，博士，教授，研究方向：智能計算與決策分析。

謝笑娟（1989—），女，陜西西安人，碩士研究生，研究方向：模糊統(tǒng)計與智能決策。