如何把握新課程標準下的初中圖形與幾何教學

楊志堅

摘 要： 本文通過對初中幾何教學內容及要求從教學大綱到義務教育數學課程標準實驗稿及課程標準2011版的變化對比，結合新課標對“圖形與幾何”的要求，提出分別從“圖形的發展”和“推理的發展”兩條主線入手，組織成一個合理的教學體系，并通過準確、科學地把握相關內容教學要求進行數學課程標準下“空間與圖形”的幾何教學，力圖對新課標2011版下的初中圖形與幾何教學內容及要求進行較全面地認識和把握，以便當前數學教師參考和借鑒。

關鍵詞： 課程標準 初中圖形與幾何教學 圖形的發展 推理的發展

隨著新課程改革全面推進與深化，新課程標準下的數學教學從內容和要求上與以往相比發生了巨大的變化，其中初中幾何部分尤為突出。使幾何教學內容和教學要求的深廣度的把握成為當前課改推進中初中數學教師實施教學的一大難題。

新課改后，原來熟悉的幾何作為《標準》的四個領域之一——“空間與圖形”出現了。而且不再以歐幾里得幾何的公理體系為主線，也不是嚴格按照知識的邏輯順序呈現這個領域，而是以“圖形的認識、圖形與變換、圖形與坐標、圖形與證明”四個方面展開，并根據兒童的生理和心理特征，通過各學段相應的目標逐段遞進。而數學課程標準2011版第三學段則將上述課標幾何部分的四個方面變成三個方面，分別是圖形的性質、圖形的變化、圖形與坐標。首先是“圖形的性質”基本涵蓋原來圖形的認識和圖形與證明內容，除了對一些基本圖形的認識之外，還包含對圖形一些命題的證明，同時發展了學生的空間觀念和推理能力。第二方面“圖形的變化”，它的內容就比較豐富了，包含合同變換——圖形的軸對稱、圖形的平移、圖形的旋轉，以及圖形的相似（包括位似），由于和相似關系密切，因此直角三角形的邊角關系包含其中，還有一類變換是仿射變換，在標準中呈現的標題就是投影。這部分主要研究圖形之間的關系，特別從運動觀點和變化角度研究圖形，這一方法本身十分重要。第三方面“圖形與坐標”，包含坐標與圖形的位置，坐標與圖形的運動，用坐標的方法刻畫在圖形變換中熟知的軸對稱，圖形的平移，圖形的位似等。這三個方面引領學生逐步從直觀認識走向代數化，順應學生的認識規律和學習認知特征，同時讓學生認識問題的思維變得越來越深刻。

從結構形式看，大綱以擴展的歐幾里得幾何公理體系依知識的邏輯順序呈現，按照圖形由簡到繁的順序，呈現出幾何內容的直線式逐級上升。而兩個版本的課標則按四或三個方面展開，以學生的生理和心理特征為依據，把各部分內容交替螺線形呈現。

從內容看，與大綱相比，課標實驗稿強調了內容的現實背景，聯系學生的生活經驗和活動經驗，增加了圖形變換、位置的確定、視圖與投影等內容，加強了幾何建模及探究過程，重視量與測量，重視幾何直覺，加強了合情推理，削弱了演繹推理的要求。

而與實驗稿相比，2011年版課標則將演繹推理的開始從四邊形及相似三角形內容之后提前到三角形部分，提高了對演繹推理的要求，如在相似三角形部分，增加平行線分線段成比例公理，為證明相似三角形的判定定理提供依據，在平行線部分，把“兩直線平行，同位角相等”由公理改為定理，實際上是增加了學生接觸、理解反證法思想的機會。

如此巨大的變化，反復的新舊沖突，造成了初中數學教師極大的不適應，加上面對新課標數學教材中各章幾何內容的增減和呈現順序的改變，以及幾何證明要求的再次調整，更覺得難以把握教學深度和廣度。鑒于此，筆者結合對數學新課標2011版及新課標數學教材的理解，談談對“圖形與幾何”的具體內容和要求的粗淺認識，力圖對新課標2011版下的初中幾何教學內容及要求進行較全面地認識和把握，以便當前數學教師參考和借鑒。

一、組織成一個合理的教學體系是實現圖形與幾何教學目標的關鍵。

（一）把“圖形的發展”作為一條主線，按圖形與幾何的三個方面（圖形的性質、圖形的變化、圖形與坐標）教學內容的邏輯關系構建一個合理的內容體系。從簡單圖形的認識開始，通過豐富的實際例子認識有關圖形的知識與實際事物的廣泛聯系，了解學習空間與圖形知識的必要性，然后依次討論相交線與平行線的基本性質，引入平面直角坐標系為研究與描述圖形及其變化提供工具，討論、探究三角形、全等三角形、直角三角形的基本性質及相關識別條件，再結合等腰三角形研究圖形的軸對稱性，進而對圖形的平移、旋轉、圖形的相似及四邊形、多邊形和銳角三角函數展開學習，最后學習圓、視圖與投影的知識。這樣，圖形與幾何不僅僅是圖形知識的堆砌，借助圖形的直觀性，組織成邏輯性較強的教學體系，有利于學生掌握圖形與幾何知識，提高思維能力，建立良好的空間觀念。

“圖形與幾何”的三個方面都以圖形為載體，圍繞圖形和空間問題展開，以培養空間觀念、幾何直覺、推理能力，以及更好地認識與把握生存現實空間為目標。

1.對于圖形的性質，從圖形的認識開始，不僅進一步提高學生對圖形的感性認識，通過折紙、測量、畫圖等實踐活動進行，還隨著對圖形認識的深入發展，引導學生通過推理認識圖形的性質及識別條件。在實施中，要很好地完成從具體事物到圖形知識的抽象過程，尤其是在一些基本圖形概念的形成過程中更要注意這個問題，從學生的生活經驗出發，使學生認識圖形與幾何知識與現實世界的密切聯系，以及知識在實際中的廣泛應用。對圖形的性質探究，加強合情推理，控制演繹推理的難度和數量；強調“理解證明的必要性”，以及“言之有理、落筆有據”，清晰且有條理地表達、交流，合乎邏輯地討論、質疑等。在實施中注意引導學生探索圖形性質，并在與他人合作交流等活動過程中不斷發展合情推理，進一步學習有條理地思考與表達；引導學生憑借積累的數學活動經驗和探索得到的圖形性質，從幾個基本事實出發，證明有關三角形、四邊形的一些基本性質，從而體會證明的必要性，理解證明的基本過程，掌握演繹推理的基本格式，初步感受公理化思想。

2.對于圖形的變化，要注意到變換不僅是探索圖形性質，認識、描述物體形狀和空間位置關系的必要手段，還是解決現實具體問題，進行交流的重要工具。但要注意《標準》并不要求從嚴格的幾何變換定義出發研究變換的性質，從而研究圖形的性質，而只要求“通過實例認識變換”，借助圖形的直觀探索軸對稱、平移、旋轉的基本性質，以及一些基本圖形的性質，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小，并利用圖形變換設計、欣賞圖案。在實施中要緊密聯系學生熟悉的實例，使學生認識“生活中的圖形變換”，以觀察、動手操作為主要方式組織學生開展實踐活動，切實把握好“圖形的變化”的具體目標，以及要求的“度”。

3.對圖形與坐標，以直角坐標系為工具確定點（圖形）的位置，以及圖形變換后點的坐標的變化，既學習刻畫點和圖形的位置，又討論點的坐標的變化與圖形變化之間的關系，從而把“形”與“數”緊密地聯系在一起。在實施中要把握這部分內容的關鍵——在直角坐標系中“點”的位置的確定，在同一直角坐標系中，感受圖形變換后點的坐標的變化”，把坐標思想與圖形變換的思想聯系起來，并利用直角坐標系對圖形進行軸對稱、平移、位似等變換，使學生通過操作和計算體會數與形之間的對應關系。

另外，“圖形與幾何”還把平面幾何和立體幾何的內容采用直觀和非形式化的手段進行整合，使教學內容更緊密聯系學生生活和社會發展，讓學生通過直接感受理解和把握空間關系。

（二）把“推理的發展”作為一條主線，按“合情推理—學會說理—感受證明的必要性—演繹推理—綜合運用”的線索，從教學內容上呈現出推理發展的這五個層次。在圖形由簡到繁的發展過程中，加強合情推理，讓學生通過直觀感知、操作確認、歸納類比等方式認識幾何圖形的特征與性質，學會識別方法。在合情推理貫穿始終的同時，注意逐步學習數學說理與演繹推理。從對頂角相等，平行線中一些結論開始就滲透簡單的數學說理。在學習圖形的全等時開始出現較為簡單的三段論演繹推理格式，在學生積累了一定的形式化推理經驗后，單獨開展幾何證明的內容，體會證明的必要性，讓學生體驗公理體系的思想，發展初步的演繹推理能力，最后，在四邊形和相似三角形學習中，把兩者有機結合起來，在每個內容開始部分運用合情推理得出數學結論，再用嚴格的演繹推理證明結論，并將所得結論作為進一步解決數學問題的依據。在教學實施中注意把握圖形的觀察—發現—說理；圖形的操作—發現—說理；圖形的變化—發現—說理，使合情推理與說理及初步演繹推理有機結合起來，把推理能力的培養建立在可操作的序列上。自然地、有意識地培養學生有條理地思考、表達和交流，逐步訓練學生相對嚴格的說理過程和初步的推理能力，使學生逐步掌握簡單幾何推理的基本步驟，了解推理的各種表示（包括不嚴格的語言表示）。特別地，有意識地引導學生自覺用一定的活動表達對有關概念、結論的理解，自覺地用自己的語言（即使是不規范的語言）說明操作過程，并利用說理和簡單的推理印證結論的真實性.從而在“圖形的證明”學習中達到義務教育階段對證明——演繹推理的教學要求。

可以看出，“圖形的發展”與“推理的發展”這兩條主線各成一脈，又緊密聯系、相輔相成、相互交融，它們在圖形認識中逐步學會推理，在推理發展過程中深化對圖形的認識。

二、準確、科學把握相關內容的教學要求是實現圖形與幾何教學目標的保證。

在具體教學實踐中，教學要求的把握直接影響學生負擔的輕與重，從而直接影響學生是否能夠全面發展。要注意到《標準（2011版）》繼承了我國數學教學的優良傳統，關注基礎知識學習和基本技能訓練，但控制了教學內容范圍和教學要求。我們應注意到新課標（2011版）削弱了單純的平面圖形面積、體積、周長等計算，把這類計算融于幾何直觀和反映空間觀念的問題之中。用九條“基本事實”證明數十條結論；與大綱相比在一定程度上淡化幾何證明的技巧，降低了論證過程形式化的要求和證明的難度。我們還應在關注削弱演繹推理的同時，關注加強合情推理。尤其2011版課標在重視直觀實驗的同時，不降低對邏輯推理的要求，使學生逐步形成從感性到理性的思維習慣和嚴謹科學的方法。強調“空間和圖形”內容緊密聯系學生的生活經驗和活動經驗，拓寬幾何學習的背景。

（一）循序漸進地培養推理能力，做好由實驗幾何到論證幾何的過渡。

直觀與推理的結合。使推理成為學生觀察、實驗、探究得出結論的自然延續，逐步養成嚴謹的思維習慣。同時，推理論證不僅是證明或推翻猜想，還是發現新結論的重要手段。教學中，不僅要求學生通過觀察、實驗、探究得出一些有關圖形的結論，還要求學生對這些結論進行證明，使推理證明成為學生探究得出結論的自然延續，進一步體會證明的必要性。

（二）逐步提升，落實好推理與證明的關鍵部分內容。

在“相交線與平行線”中，結合實例從“說理”到“簡單推理”，并正式出現“證明”（讓學生看到完整的證明，不要求學生完整證明，要求學生會填空完成一些關鍵步驟和填理由），注意循序漸進，推理的步驟控制好長度。正式出現“證明”之前，循序漸進給出嚴格的推理符號語言。教學中可以具體的問題為載體，先引導學生分析由已知推出結論的思路，由教師示范證明的格式，再逐步要求學生獨立分析、寫出完整的證明過程。同時注意根據教學內容及時安排相應訓練，讓學生切實提高推理論證能力。突出圖形性質定理和判定定理的探索與發現過程，通過合情推理發現結論，形成猜想，運用演繹推理證明猜想。強調從數學本身提出問題，通過圖形性質定理的逆命題，提出判定圖形是否成立的命題，運用演繹推理證明這些命題的真偽，給出圖形的判定定理，進一步明確圖形的性質定理與判定定理之間的關系。

（三）從感性到理性，從靜態到動態地提高對圖形的認識能力。

實驗與推理結合，適當運用坐標與圖形的變化，加強“圖形的性質”和“圖形的變化”“圖形與坐標”等之間的聯系，從多種角度認識圖形的性質。教學中，充分利用圖形的軸對稱、旋轉、平移不改變圖形的形狀和大小，借助此性質可以探索線段、角、等腰三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、圓的一些性質，有助于學生發展幾何直觀能力和空間觀念。而幾何圖形的直觀為運用圖形運動的方法研究圖形性質提供了有利條件，再跟圖形的性質、圖形與坐標相結合。通過建立平面直角坐標系，在直角坐標系中確定圖形的位置，如用坐標描述點的位置、刻畫一個簡單圖形的位置等。進而在直角坐標系中進行圖形的運動，并描述運動后圖形的位置及其對應頂點坐標之間的關系，讓學生逐步體會研究圖形性質可以有不同方法。如通過操作、觀察、實驗等活動，對現象進行歸納類比，運用合情推理發現圖形的性質；通過圖形的運動過程中變與不變的關系發現圖形的性質；通過演繹推理發現圖形的性質。

（四）靈活運用數形結合，體現研究方法的聯系。

除了借助平面直角坐標系研究圖形位置、用坐標研究圖形的運動變化之外，還可對圖形的一些性質進行數量刻畫展開研究。比如，對“與圓有關的位置關系”的處理：實驗探究——點和圓的位置關系；直線和圓的位置關系；研究的對象——兩個圖形間的位置關系；研究的方法——將兩個圖形間的位置關系分類，從幾何、代數兩方面分析特性。①幾何特性：交點個數及區域分布；②代數特性：“兩圖形間的距離”與半徑的比較。從數形結合兩個方面討論。

重視滲透數學思想方法。如轉化的思想，正多邊形的有關計算→直角三角形；正多邊形的畫圖→等分圓周。分類的方法，對圓周角定理的討論，點與圓、直線與圓的位置關系。

數學課程標準2011版還強調內容呈現方式的多樣化，突出數學活動的過程，提倡個性化學習方式和策略，以及問題的開放性，這都為學生富有個性地發展提供了充分的時間和空間。另外，還加強了“圖形變化”和“位置的確定”的有關內容。強調從不同角度觀察、認識方向和描述物體的位置、繪制圖案和制作模型等活動，增強學生用坐標、變換、推理等多種方式認識現實空間和處理幾何問題的感受，體會并掌握刻畫現實世界空間關系和認識圖形特征的工具。加強幾何建模及探究過程，強調幾何直覺，培養空間觀念。突出“圖形與幾何”的文化價值，重視量與測量，并把它融合在有關內容中，加強測量的實踐性。

特別注意的是，在推理教學的深廣度把握上，既不能像大綱時期那樣過分追求邏輯嚴謹和體系形式化，束縛學生思維活力；又不能像實驗稿時期某些教師理解的那樣，將合情推理泛化，對學生思維的條理性和嚴謹性絲毫不作要求，致使大量學生缺乏應有的分析能力和洞察力，不能剖析表象下掩蓋的問題實質，養成看到即是、思維膚淺的不良習慣。而應該貼合學生實際，采取多樣化的活動，讓學生多經歷“猜想—證明”及“猜想—推翻”的過程，發展學生的合情推理和演繹推理能力。

在數學新課程改革推進的過程中，前面的路還很長，需要數學教育工作者不斷實踐、反思和完善，在解決諸多問題和困難的過程中前行。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制訂.全日制義務教育《數學課程標準》（實驗稿）.北京師范大學出版社，2001.7，（1）.

[2]劉兼，孫曉天，主編.數學課程標準研制組編寫.全日制義務教育《數學課程標準》（實驗稿）解讀.北京師范大學出版社，2002.5，（1）.

[3]中華人民共和國教育部制訂.義務教育數學課程標準（2011年版），北京師范大學出版社，2012.1，（1）.

[4]史寧中，主編.教育部基礎教育課程教材專家工作委員會組織編寫.義務教育《數學課程標準》（2011版）解讀.北京師范大學出版社，2012.2，（1）.