數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用

白永慶

【摘要】數(shù)學(xué)作為理科之首，其最為講究的是計(jì)算的思維和方法，不同于研究人文社會(huì)、富有內(nèi)斂的漢語言文化，數(shù)學(xué)更多的展現(xiàn)的是對現(xiàn)實(shí)世界客觀的、科學(xué)的衡量。漢語言文化的研究很多時(shí)候都偏向于主觀，但是數(shù)學(xué)最根本的價(jià)值原則就是客觀的追尋世界的一般規(guī)律，而在尋找這個(gè)規(guī)律的方法之一就是數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法對于數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展來說起著絕對的推動(dòng)作用。實(shí)際上從古至今人們一直在通過數(shù)學(xué)歸納法的方式在推演著人類社會(huì)的發(fā)展進(jìn)程，只不過在上古時(shí)代沒有數(shù)學(xué)歸納法這樣的名詞罷了。隨著現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展和進(jìn)步，人們對于數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用越來越得心應(yīng)手，重視程度也就越來越高，特別是在數(shù)學(xué)教育方面，數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)競賽中被廣泛應(yīng)用，可以說為國家培養(yǎng)了很多具有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)歸納法 ?數(shù)學(xué)競賽 ?數(shù)學(xué)教育

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）32-0159-02

一、數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)競賽中的價(jià)值

一直以來數(shù)學(xué)歸納法都是我國中學(xué)數(shù)學(xué)教育非常重要的教學(xué)內(nèi)容，而且當(dāng)學(xué)生有效的掌握數(shù)學(xué)歸納法實(shí)際上也就踏入了數(shù)學(xué)研究的門檻。數(shù)學(xué)歸納法主要有兩個(gè)核心的內(nèi)容，一個(gè)是起點(diǎn)驗(yàn)證，而另一個(gè)是歸納推理，不過在這兩點(diǎn)中，歸納推理的難度相較于起點(diǎn)驗(yàn)證來說要更難一些，這主要是因?yàn)闅w納推理考驗(yàn)的是學(xué)生的思維能力和邏輯能力，在一些數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)常會(huì)設(shè)置一些需要用到數(shù)學(xué)歸納法的題型來綜合性的考驗(yàn)學(xué)生的實(shí)際能力。而反之學(xué)生也可以參照數(shù)學(xué)競賽的這種設(shè)置來不斷的提升自身對數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用的熟練度，從而在數(shù)學(xué)競賽中脫穎而出。

二、數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)競賽實(shí)題中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)競賽中常被應(yīng)用，所以以數(shù)學(xué)競賽實(shí)題來作為本文研究數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用是最好不過的例子。

在某年的數(shù)學(xué)競賽中有一題是：設(shè)正整數(shù)n≥6，需要證明單位正方形可以剖分為n個(gè)小正方形。其實(shí)當(dāng)看到這道題的時(shí)候?qū)W生首先就應(yīng)該對這道題可能的考查點(diǎn)有一個(gè)明確的判斷，此題除了給出了n的范圍之外給出的唯一的條件就是正方形。眾所周知正方形的四條邊是具有相等的獨(dú)特性的，所以該題必然是一道考量一般規(guī)律的題，也就是說其會(huì)用到數(shù)學(xué)歸納法，所以在這個(gè)時(shí)候?qū)W生就應(yīng)該從數(shù)學(xué)歸納法的角度上去看這道數(shù)學(xué)競賽題。首先以數(shù)學(xué)歸納法的第一個(gè)條件，起點(diǎn)驗(yàn)證來確定這道題目的正確性，當(dāng)n分別等于6、7、8的時(shí)候，我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)單位正方形是可以利用田字格的方式將其劃分為四個(gè)小正方形，因此使用跳躍式數(shù)學(xué)歸納法該命題是成立的。

那么如果該題的n=k是成立的話，那么對于n=k+3也應(yīng)該成立。在n=k的命題研究中我們將一個(gè)小正方形分成了四個(gè)小正方形，從而獲得了n=k+3個(gè)小正方形。

因此從數(shù)學(xué)歸納法的角度上來說，該題的題目是得到了驗(yàn)證的。其實(shí)從本題的本質(zhì)上來看，這僅僅是一道簡單的跳躍式數(shù)學(xué)歸納法，但是縱觀近幾年的中學(xué)數(shù)學(xué)競賽，這種題型屢見不鮮，這也就意味著我國的數(shù)學(xué)教育正在逐步的提高數(shù)學(xué)歸納法在其中的占比，希望能夠培養(yǎng)出更多的具有專業(yè)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，擁有良好思維能力和邏輯能力的高素質(zhì)人才。本文選擇的例子是數(shù)學(xué)競賽中比較常用的但是在難度上相對較低的數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用題型，還有許多應(yīng)用到數(shù)學(xué)歸納法的題型要比上述例題更加的復(fù)雜。譬如說設(shè)整數(shù)n≥4，證明可以將任意一個(gè)三角形剖分為n個(gè)等腰三角形。雖然乍看上去這道題的題型與上述中的例題非常相似，但是實(shí)際上由于等腰三角形具有獨(dú)特的圖形特質(zhì)，因此盡管同屬于數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用的題型，但是在驗(yàn)證上，這道題的驗(yàn)證過程要比上一道題的驗(yàn)證過程復(fù)雜得多。因?yàn)橐腧?yàn)證這道題首先必須要驗(yàn)證任意一個(gè)直角三角形是可以剖分為兩個(gè)等腰三角形的，然后還要驗(yàn)證任意一個(gè)三角形是可以剖分為k個(gè)直角三角形的，其中k是≥2的，最后還要驗(yàn)證一個(gè)等腰三角形可剖分為四個(gè)等腰三角形。只有先將這三個(gè)引理驗(yàn)證清楚才能夠借此回歸到原題去證明當(dāng)n≥4的時(shí)候，可以將任意一個(gè)三角形剖分為n個(gè)等腰三角形。這實(shí)際上就是數(shù)學(xué)歸納法的綜合性應(yīng)用，它需要學(xué)生能夠考量到的多方面的因素，從而通過數(shù)學(xué)歸納法去驗(yàn)證自己的想法。

三、結(jié)束語

一直以來數(shù)學(xué)歸納法都是我國數(shù)學(xué)教育的重中之重，不過在應(yīng)試教育的壓迫下，數(shù)學(xué)歸納法雖然得到重視，但是學(xué)生的自我思考能力也逐漸的被磨滅，所以隨著我國新課改進(jìn)程的逐漸推進(jìn)，素質(zhì)教育更多的是強(qiáng)調(diào)通過數(shù)學(xué)歸納法來樹立學(xué)生的思維邏輯，而不是讓他們更多去應(yīng)付考試，本文覺得這才是數(shù)學(xué)歸納法存在的意義與價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

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