數學歸納法在數學競賽中的應用

白永慶

【摘要】數學作為理科之首，其最為講究的是計算的思維和方法，不同于研究人文社會、富有內斂的漢語言文化，數學更多的展現的是對現實世界客觀的、科學的衡量。漢語言文化的研究很多時候都偏向于主觀，但是數學最根本的價值原則就是客觀的追尋世界的一般規律，而在尋找這個規律的方法之一就是數學歸納法。數學歸納法對于數學科學的發展來說起著絕對的推動作用。實際上從古至今人們一直在通過數學歸納法的方式在推演著人類社會的發展進程，只不過在上古時代沒有數學歸納法這樣的名詞罷了。隨著現代社會的發展和進步，人們對于數學歸納法的應用越來越得心應手，重視程度也就越來越高，特別是在數學教育方面，數學歸納法在數學競賽中被廣泛應用，可以說為國家培養了很多具有良好的數學素養的學生。

【關鍵詞】數學歸納法 ?數學競賽 ?數學教育

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）32-0159-02

一、數學歸納法在數學競賽中的價值

一直以來數學歸納法都是我國中學數學教育非常重要的教學內容，而且當學生有效的掌握數學歸納法實際上也就踏入了數學研究的門檻。數學歸納法主要有兩個核心的內容，一個是起點驗證，而另一個是歸納推理，不過在這兩點中，歸納推理的難度相較于起點驗證來說要更難一些，這主要是因為歸納推理考驗的是學生的思維能力和邏輯能力，在一些數學競賽中經常會設置一些需要用到數學歸納法的題型來綜合性的考驗學生的實際能力。而反之學生也可以參照數學競賽的這種設置來不斷的提升自身對數學歸納法應用的熟練度，從而在數學競賽中脫穎而出。

二、數學歸納法在數學競賽實題中的應用

數學歸納法在數學競賽中常被應用，所以以數學競賽實題來作為本文研究數學歸納法在數學競賽中的應用是最好不過的例子。

在某年的數學競賽中有一題是：設正整數n≥6，需要證明單位正方形可以剖分為n個小正方形。其實當看到這道題的時候學生首先就應該對這道題可能的考查點有一個明確的判斷，此題除了給出了n的范圍之外給出的唯一的條件就是正方形。眾所周知正方形的四條邊是具有相等的獨特性的，所以該題必然是一道考量一般規律的題，也就是說其會用到數學歸納法，所以在這個時候學生就應該從數學歸納法的角度上去看這道數學競賽題。首先以數學歸納法的第一個條件，起點驗證來確定這道題目的正確性，當n分別等于6、7、8的時候，我們發現一個單位正方形是可以利用田字格的方式將其劃分為四個小正方形，因此使用跳躍式數學歸納法該命題是成立的。

那么如果該題的n=k是成立的話，那么對于n=k+3也應該成立。在n=k的命題研究中我們將一個小正方形分成了四個小正方形，從而獲得了n=k+3個小正方形。

因此從數學歸納法的角度上來說，該題的題目是得到了驗證的。其實從本題的本質上來看，這僅僅是一道簡單的跳躍式數學歸納法，但是縱觀近幾年的中學數學競賽，這種題型屢見不鮮，這也就意味著我國的數學教育正在逐步的提高數學歸納法在其中的占比，希望能夠培養出更多的具有專業數學素養，擁有良好思維能力和邏輯能力的高素質人才。本文選擇的例子是數學競賽中比較常用的但是在難度上相對較低的數學歸納法應用題型，還有許多應用到數學歸納法的題型要比上述例題更加的復雜。譬如說設整數n≥4，證明可以將任意一個三角形剖分為n個等腰三角形。雖然乍看上去這道題的題型與上述中的例題非常相似，但是實際上由于等腰三角形具有獨特的圖形特質，因此盡管同屬于數學歸納法應用的題型，但是在驗證上，這道題的驗證過程要比上一道題的驗證過程復雜得多。因為要想驗證這道題首先必須要驗證任意一個直角三角形是可以剖分為兩個等腰三角形的，然后還要驗證任意一個三角形是可以剖分為k個直角三角形的，其中k是≥2的，最后還要驗證一個等腰三角形可剖分為四個等腰三角形。只有先將這三個引理驗證清楚才能夠借此回歸到原題去證明當n≥4的時候，可以將任意一個三角形剖分為n個等腰三角形。這實際上就是數學歸納法的綜合性應用，它需要學生能夠考量到的多方面的因素，從而通過數學歸納法去驗證自己的想法。

三、結束語

一直以來數學歸納法都是我國數學教育的重中之重，不過在應試教育的壓迫下，數學歸納法雖然得到重視，但是學生的自我思考能力也逐漸的被磨滅，所以隨著我國新課改進程的逐漸推進，素質教育更多的是強調通過數學歸納法來樹立學生的思維邏輯，而不是讓他們更多去應付考試，本文覺得這才是數學歸納法存在的意義與價值。

參考文獻：

[1]王潔敏，沈瑞芝.中學數學學習的思維方法[M].北京：中國標準出版社，2013.

[2]華彤文，楊駿英，等.普通化學原理（第二版）[M].北京：北京大學出社，2014.