劉春晗

(齊魯師范學院 數學學院 山東 濟南 250013)

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一類含臨界指數雙調和方程非平凡解的存在性

劉春晗

(齊魯師范學院 數學學院 山東 濟南 250013)

利用山路引理，討論了一類含臨界指數的雙調和方程，獲得了方程的非平凡解．

山路引理； 臨界指數； 雙調和方程

0 引言

研究方程

(1)

在文獻[1]中研究了方程(1),主要用到了如下條件：

本文利用山路引理,研究了一類含臨界指數的雙調和方程(1)非平凡解的存在性.考慮的是g(x,t)在無窮遠處為漸近線性的情況，所得的結論對文獻[2-3]中相應定理進行了推廣.

在空間H中討論

定義1[5]設Φ∈C1(E,R),若對于任意滿足Φ(vn)→c，(1+vn)Φ′(vn)→0,(n→∞)的數列{vn},均存在收斂子列，則稱Φ對于每一個c∈R滿足(C)c條件; 如果Φ對于每一個c∈R滿足(C)c條件，則稱Φ滿足(C)條件.

(2)

引理2[1]如果2

引理3[1]λn→+∞,n→∞.

1 主要結果

定理2 假設g(x,v)滿足條件(F1)～(F4)，則存在β*>0,當0<β<β*時，方程(1)至少存在一個非平凡解.

證明 首先證明泛函Φ滿足(C)條件.可以先證{vn}有界. 假設vn滿足

(1+vn)Φ′(vn)→0,Φ(vn)→c.

(3)

因為0<α<λ1(2*/2-1),所以矛盾.{vn}在H中有界.故{vn}在H中有弱收斂子列，仍可記為{vn}，弱收斂為v，使得當n→∞時，有vn?v于H,vn→v于Lq(Ω) (1

由Brezis-Lieb引理、Vitali定理以及文獻[6]中的結論可知

(4)

∫Ω[G(x,vn)-G(x,v)-G(x,vn-v)]dx=o(1);∫Ω[g(x,vn)vn-g(x,v)v]dx=o(1).

(5)

[1] WANG Y J，SHEN Y T．Multiplicity of solutions for nonlinear biharmonic equation involving critical parameter and critical exponent[J]．Chinese quarterly journal of mathematics，2011，26(3):317-324．

[2] 劉春晗，王建國．一類漸近線性橢圓方程非平凡解的存在性[J]．鄭州大學學報(理學版)，2014，46(1)：5-9．

[3] 伍蕓,何少通,沈堯天.一類漸近線性雙調和方程非平凡解的存在性[J]．數學學報，2011，54(1)：9-14．

[4] ADIMURTHI G M， SANTRA S．Optimal Hardy-Rellich inequalities, maximun principle and related eigenvalue problem[J]．Journal of functional analysis，2006，240(1)：36-83．

[5] ZHANG Z．Variational，topolocical，and partial order methods with their applications [M]．Berlin：Springer，2013．

[6] SCHECHTER M，ZOU W．Infinitely many solutions to perturbed elliptic equations [J]．Journal of functional analysis，2005，228(1)：1-38．

(責任編輯：方惠敏)

Existence of Nontrivial Solutions for a Class of Biharmonic Equations Involving Critical Exponent

LIU Chunhan

(SchoolofMathematics,QiluNormalUniversity,Ji’nan250013,China)

By using the Mountain pass Lemma, a class of biharmonic equations involving critical exponent were discussed .The existence of nontrivial solutions was proved.

mountain pass lemma； critical exponent； biharmonic equation

2016-06-22

國家自然科學基金資助項目(10971179)；山東省自然科學基金資助項目(ZR2016AB04);齊魯師范學院青年教師科研基金項目(2016L0603，2014L1001)．

劉春晗(1981—)，男，山東武城人，副教授，主要從事非線性泛函分析及其應用研究，E-mail: chh-liu1981@163.com.

劉春晗．一類含臨界指數雙調和方程非平凡解的存在性[J] ．鄭州大學學報(理學版)，2016，48(4)：27-29．

O175.25

A

1671-6841(2016)04-0027-03

10.13705/j.issn.1671-6841.2016648