幾何類專題復習課五度教學模式例析

韋麗云

本節課是在學生學習了三角形中位線定理，平行四邊形、矩形、菱形、正方形等特殊四邊形的性質和判定定理之后安排的一節專題復習課，把對以上知識的復習融會貫通到“中點四邊形”的探究活動當中，讓學生在經歷觀察、探究中點四邊形形狀與原四邊形狀關系的過程中，進一步體會這些知識在實際中的應用，并在經歷探索和證明中點四邊形的特殊性質的過程中深刻體會證明的必要性，進而豐富對圖形的認識和感知.

專題復習課通常用于第二輪復習，按照五度教學模式進行問題設計.

一、問題呈現有效度

本課從生活中的方案設計問題入手，以學生熟悉的平行四邊形作為學習的起點，開啟對中點四邊形形狀及性質的探究之旅，既體現了數學來源于生活，又為后續的研究做好了鋪墊.

問題1：學校有一塊平行四邊形的空地，打算用空地面積的一半來建造一個花壇，其余部分進行綠化.為求美觀合理，學校決定在學生中征集設計方案.敏敏同學的設計方案是先定出平行四邊形四條邊的中點，順次連接這四個中點后得到一個新的四邊形，用這個新的四邊形做花壇，其余部分作為綠化區域.請問，敏敏同學的設計是否符合要求，你能判斷方案中得到的新四邊形的形狀嗎？

【片段實錄】

師：為了解決這一問題，我們需要把生活問題數學化.我們先按照敏敏的設計方案，畫出圖1，其中的E、F、G、H分別為平行四邊形ABCD四條邊的中點，然后思考問題（1），四邊形EFGH的面積等于平行四邊形ABCD面積的一半嗎？

生1：四邊形EFGH的面積等于平行四邊形ABCD面積的一半.

生2：可以連接HF（如圖2），于是S△EHF=S?ABFH，S△GHF=S?DCFH，所以S?EFGH=S?ABCD.

生3：這是利用了平形四邊形和三角形同底等高的原理得出了圖形面積之間的關系.

師：現在我們思考問題（2）.如果我們把順次連接四邊形四條邊的中點所得到的四邊形稱為“中點四邊形”，那么，中點四邊形EFGH會是什么形狀呢？

生4：從圖形上看，它像平行四邊形.

生5：在圖2中，再連接EG，可以證明HF與EG相互平分，因此中點四邊形EFGH是平行四邊形.

生6：可以連接BD，如圖3.∵EH為△ABD的中位線，∴EH∥BD且EH=BD.同理可證FG∥BD且FG=BD.于是EH∥FG且EH=FG，四邊形EFGH為平行四邊形.

師：剛才同學們經過積極思考和熱烈討論，很好地解決了以上方案設計中的問題，還用上了兩種不同的方法來說明中點四邊形EFGH是平行四邊形，而且兩種方法都添加了輔助線、都關注了圖形的對角線、都把新出現的圖形轉化成了已經學過的圖形來研究.像這種把新問題轉化為可以利用已經學過的知識來解決的“老問題”的解題方法，是我們數學學習中一種很重要的方法.

從學生身邊的實際問題入手，可以自然地激發學生的學習興趣和探究熱情，進而引發學生的數學思考；從學生熟知的平行四邊形知識出發，讓學生探究中點四邊形與原圖形之間的面積關系，在這個過程中學生很自然地用到了已經學過的平行四邊形的性質和判定定理，并由此過渡到了對中點四邊形形狀的探究.由此可見，問題1的呈現是有充分效度的.

二、問題變式有梯度

按照圖形變式的思路，以“平行四邊形→矩形→菱形→正方形”為主線設計一組變式題，這是從一般到特殊，問題逐層深入，可以讓學生逐漸認清“改變原四邊形的形狀，其對應的中點四邊形形狀也會發生相應改變”這個事實.

變式1：如圖4，若E、F、G、H分別為矩形ABCD四條邊的中點，請判斷中點四邊形EFGH的形狀，并說明理由.

變式2：如圖5，若E、F、G、H分別為菱形ABCD四條邊的中點，請說明中點四邊形EFGH兩條對角線的關系.

變式3：如圖6，若E、F、G、H分別為正方形ABCD四條邊的中點，且AB=4cm，請判斷中點四邊形EFGH的形狀，并求出四邊形EFGH的周長和面積.

通過對以上幾個特殊四邊形的探究（教學過程略），我們發現：當原四邊形的形狀變化時，其中點四邊形的形狀也會發生相應的變化，對應情況如表一.

在這個教學環節，每一個學生都能自覺地投入到本節課的學習活動中，積極參與討論，大膽發表見解，得出了很多有價值的結論.我們按照“平行四邊形→矩形→菱形→正方形”的主線設計三個變式題，引導學生從中點四邊形的形狀、中點四邊形兩條對角線的關系、中點四邊形的周長與面積幾個維度進行探究，有利于學生形成研究問題的思路，順勢復習相關的特殊四邊形的知識，提高課堂效率.

三、問題開放有廣度

在變式探究的基礎上，問題2需要從特殊回到一般：一般四邊形的中點四邊形又會是什么形狀呢？決定中點四邊形形狀的關鍵要素到底是什么呢？為了揭示這個本質問題，我們把問題2設計成下面的一組開放性問題，讓學生多角度思考、探究，自主得出更能揭示問題本質的結論即“中點四邊形的形狀取決于原四邊形兩條對角線的數量關系及位置關系”.

問題2：已知E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊的中點.

（1）如圖7，請判斷中點四邊形EFGH的形狀，并說明理由.

（2）如圖8，請添加一個條件：當____________時，中點四邊形EFGH為菱形.

（3）如圖9，若中點四邊形EFGH的形狀為矩形，則原四邊形ABCD的對角線應該滿足的條件是___________.

（4）如圖10，若中點四邊形EFGH的形狀為正方形，則原四邊形ABCD的對角線應該滿足的條件是___________.

【片段實錄】

生7：可以用之前生6所說的方法，連接對角線BD，用三角形的中位線定理證出四邊形EFGH是平行四邊形.

生8：當四邊形ABCD為矩形時，中點四邊形EFGH為菱形；

生9：當四邊形ABCD為等腰梯形時，中點四邊形EFGH也是菱形；

生10：我發現，只要四邊形ABCD的對角線AC=BD，它的中點四邊形就一定是菱形.

師：看來，決定中點四邊形形狀的關鍵要素不是原四邊形的形狀，而是原四邊形兩條對角線的關系.抓住了這個本質，問題（3）、（4）就迎刃而解了.那么，我們來總結一下，中點四邊形的形狀取決于原四邊形兩條對角線的數量關系及位置關系，它們之間的對應關系是——

師板書，與學生合作完成下面的表二.

問題2呈現的是一組開放性問題，從對特殊四邊形的探究轉化為對一般四邊形的探究，引發學生的深度思考，使學生的思考逐漸觸及問題的本質，進而得出本節課的核心知識——“中點四邊形的形狀取決于原四邊形兩條對角線的數量關系及位置關系”.

四、問題拓展有深度

在問題2的基礎上，把問題3設計成組合圖形問題，對學生提出了更高的要求.要綜合調用相關知識，學生需要具備一定的分解、綜合與推理能力.

問題3：如圖11，四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且ACBD，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點，得到四邊形A2B2C2D2……如此進行下去，得到四邊形AnBnCnDn.請完成下列問題：

（1）四邊形A2B2C2D2的形狀是___________；

（2）四邊形A3B3C3D3的形狀是___________；

（3）四邊形A5B5C5D5的周長為___________；

（4）請求出四邊形AnBnCnDn的面積.

問題3的探究，涉及中點四邊形的形狀、周長和面積三個方面，學生只有對中點四邊形有了全面深刻的認識，才能在這個環節駕熟就輕.因此，問題3是本節課的升華，可以讓學生的綜合能力得到很大的提升.

從設計的角度講，問題3既是與問題1的呼應，又是對問題1的深化；既能讓學生應用已有的知識和經驗去解決問題，又能讓問題更具挑戰性.對問題3的層層追問、步步探究，可以讓學生深入感受數學變化的規律與奇妙.（教學過程略）

五、問題歸納有高度

本節課的問題歸納分兩步走，一是探究過程中的即時歸納，二是探究結束的課堂總結.即時歸納有利于探究結果的即時生成，同時為后續學習、探究起到橋梁作用；課堂總結采用網絡圖的形式，對本節課的數學知識和數學思想進行提煉概括，可以起到畫龍點睛的作用.

總結環節由學生唱主角，讓學生談談對這節課的收獲和體會，教師根據學生的發言進行整理，引導學生從數學知識和數學思想方法兩個視角得出如下網絡圖，充分體現了學生學習的主體地位.（教學過程略）

本節課緊緊圍繞教學目標，設置了三個問題讓學生探究，每個問題中都設置了相應的題組，各題之間相互銜接，層層深入，突出了教學重點，突破了教學難點，把變式教學的思想“知識呈現問題化，問題呈現系列化，問題變式層次化，問題解決方法化”落到了實處.教師注重學生的探索過程，讓學生動手操作、觀察、猜測、驗證，對學生在探究過程中的即時生成給予充分關注，及時引導學生自主歸納、概括出自己的發現.課堂中，學生在老師的引導下自始至終處于積極思維、主動探究的學習狀態，在主動探究、自主發現知識和規律的過程中深切體會到了參與數學活動的樂趣.本節課在師生互動、生生互動的合作交流中圓滿完成了教學任務.

（責編 白聰敏）