問題分解——基于“自反抽象”的概念教學初探

[摘 要] 數學概念是構建數學知識體系的基石，是數學思維的核心和基本單位。幫助學生有效地掌握數學概念是數學教學順利進行的重要環節。由于中職學生的抽象思維能力整體偏弱，再加上教學缺乏手段，導致數學概念的教學面臨一系列的困難。探討如何改進和升華傳統的例題講解模式，通過對問題的分解，引導學生逐步建立完整的概念心理圖式。

[關 鍵 詞] 數學概念；心理圖式；自反抽象；建構

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）02-0036-04

一、問題的提出

練習和答疑在高職考數學復習課當中往往占有很大的比重，如何提高復習效率成為教學的當務之急。經常會有學生對我說“這道題我想不出來”。此時，我會詳細地告訴他正確的解題方法并且督促他對同類問題進行反復練習，可是效果往往不甚理想。問題出在哪里呢？

數學問題的求解，本質上是將題目所給的條件抽象為相關的數學概念，并且利用概念間的相互關系通過判斷推理計算尋找問題解決辦法的過程。之所以學生會很快把老師告訴他的方法遺忘是因為這是“老師的方法”，不是“他的方法”。可不可以讓他在自己的頭腦中生成“他的方法”？于是我想到了最開始的位置——數學概念的形成。數學概念的形成應該有區別于其他概念形成的獨到之處，這是造成數學這門課的學習方法有別于其他課程的根本原因。數學老師的價值應該體現在他能夠結合題目的要求和學生的具體情況設計出一種教學方法，這種方法可以促使學生自己完善他頭腦中的數學概念從而找到解決問題的辦法。中國有句古話叫“授人以魚，不如授人以漁”，這句話在數學教學中尤其適用。通過對相關理論的學習和一學年的教學實踐，我認為“問題分解”就是“授人以漁”的方法。

二、“自反抽象”開啟問題分解之門的鑰匙

想一想我們是怎么獲得“哺乳動物”這個概念的。我們可以從多種具體的哺乳動物身上抽象出一些共性，這樣，我們就把具有此類共性的動物統稱為“哺乳動物”了。這樣的抽象稱為“經驗抽象”，它是把事物或者現象作為原型，提取對象的共同特征的一種方法。但是大部分數學概念的形成與以上過程存在顯著的差別。例如“函數”的概念，就不可能以世界上某些具體存在的事物為原型進行直接抽象而獲得。因為“函數”概念的外延所涵蓋的對象本身往往也是一種對事物的抽象。所以，為了獲得“函數”的概念，個體必須對他所經歷的數學操作的內容、過程以及收獲作自我反思，并以活動旁觀者的視角進行客觀分析，最終獲得一些結論。著名的認知心理學家皮亞杰把這樣的抽象稱為“自反抽象”。皮亞杰的觀點反映了數學概念學習的“間接性”，揭示了數學概念的學習不僅可以把事物作為原型進行直接抽象，也可以把已構建得到的數學對象作為原型，進行間接抽象（抽象的抽象）。美國數學家、教育學家杜賓斯基在皮亞杰關于個體思維的自反抽象理論的基礎上于1991年提出了APOS理論。APOS是由英文Atcion（操作）、Process（過程）、Object（對象）、Scheme（圖式）的第一個字母組合而成。該理論認為，一個數學概念的形成是個體經歷操作、過程、對象三個不斷遞進而又不斷折返的螺旋式上升的階段進而形成概念圖式的過程。問題分解策略可以繞過概念的文字表述而用操作化的方式來呈現數學概念，從而促成“自反抽象”的發生。另外，對各類問題分解的過程中會使同一個概念以不同層次的形式重復出現，所以它又可以實現這個數學概念在個體的概念圖式中從操作階段到對象階段的循環往復而又不斷上升的運動，因此它又是符合APOS理論的。下面結合筆者實踐談一下問題分解策略。

三、串聯分解和并聯分解

問題分解，顧名思義就是把一個問題分解成幾個以核心概念理解為基礎的相互關聯的小問題的方法。教師在使用問題分解策略實施概念教學的過程中，只負責設計出學生在他能力范圍內能夠回答的問題而不參與問題的解答。由于將一個問題分解而產生的各個小問題之間有可能呈現出遞進或者并列的關系，我將問題分解的類型形象地分為兩種：串聯分解和并聯分解。

（一）串聯分解

當一個數學問題涉及的核心概念只有一個，而問題本身又是此概念的一種層次較高的呈現形式的時候適用串聯分解。串聯分解是將一個在問題中以較高級的形式呈現的數學概念，通過引入不同層次的關聯問題降低理解難度，從而使解題者重新經歷概念由低級到高級的建構過程，促使其“自反抽象”的發生進而完善對原概念的理解的一種方法。所以，用串聯分解將原問題分解成幾個小問題的時候通常需要滿足兩個條件：（1）這些問題必須具備由低到高的層次結構并以某個具體概念的理解作為解答的基礎，這里的層次結構是相對于APOS理論的四個階段而言的。這樣做的一個顯著好處是讓那些對某概念的理解層次較低的學生也可以找到切入點。（2）這些問題必須是環環相扣促人深思的，并且在邏輯上存在一種過渡關系。一個成功的串聯分解，應該讓學生在解答完一個問題后就發現這個問題和前面的問題有聯系。而這種發現聯系的過程，本質上就是一種“自反抽象”，也是對某概念的理解升級的過程。串聯分解的具體實施過程請見下圖：

■

（二）并聯分解

當支持某一數學問題求解的主要概念并不是單一概念，而是由多概念形成的一種層次較淺的圖式結構的時候適用并聯分解。此類問題所包含的各個概念之間往往并不存在直接的邏輯關系，只是因為原問題的求解過程中需要用到這些概念而使他們關聯起來。如果一個學生無法求解此類問題，那么問題很有可能會出在他無法將思維過程中的某個環節抽象為對某概念的理解，或者他對某概念的理解存在偏差。所以并聯分解的首要目的是讓此類問題所涉及的主要數學概念得以呈現。如果把呈現其中一個數學概念的分解稱為一條路徑，那么并聯分解是一種多路徑分解。但是由于多路徑問題涉及多個概念，對于解決某個具體問題而言，這些概念的呈現必然不是孤立的，而是一種相互聯系的網狀結構，這種結構便是概念圖式。多路徑并聯分解的另一個重要目的就是幫助學習者在提升單個概念的理解層次的基礎上建立概念的圖式結構。并聯分解的具體實施過程請見下圖：

■

四、問題分解舉例

例1.（串聯分解）已知f（x+2）=x2+4x+7，求f（x）

解題者對“函數”概念的理解層次決定了他能否正確解答此題。在采用串聯分解呈現“函數”概念時，我將原題分解成以下兩個層次的問題。

【第1層次問題】已知f（x）=x2+3，求：（1）f（2），f（-1），f（■）；（2）f（a），f（a+2）。

其中第（1）題的設計意圖是：通過重復操作，促使個體形成“自動化”動作，為個體對函數概念的認識向高級階段過渡積累感性素材。第（2）題設計意圖是：將前面問題中具體的數字用字母表示標志著抽象度的上升。告訴他們既然數字能代，那么字母也能代，既然字母能代，那么表達式也能代。將第二小問的答案設計成與原問題的條件一樣是希望他們將該問與原問題進行比較，促成“自反抽象”的發生。

【第2層次問題】已知f（a+2）=a2+4a+7求：（1）f（2），f（-1），f（■）；（2）f（x），f（a）。

解答：（1）f（2）=f（0+2）=02+4×0+7=7；

f（-1）=f（-3+2）=（-3）2+4×（-3）+7=4；

f（■）=f[（■-2）+2]=（■-2）2+4×（■-2）+7=5。

設計意圖：能否將操作逆轉，是個體對概念的認識是否已經上升的標志。此例為實現這一上升將設問方式反了過來，將上一題的結果變為條件。實際上所有問題的答案均與第1層次問題相同，這就是在提示他們這兩個問題所涉及的函數應該是同一個函數。

解答：（2）f（x）=f[（x-2）+2]=（x-2）2+4（x-2）+7=x2+3

f（x）=x2+3？圯f（a）=a2+3

設計意圖：同第1層次問題類似，在“數字”上發生的事情也可以在“字母”上發生，但是當這件事情發生的時候便意味著他們可以將前面的操作作為一個整體來處理了。這就是“換元”思想的萌芽。另外，最后一個小問題將x換成a的過程是希望告訴他們函數表達式是什么不取決于用什么字母來表示。

當以上兩個層次的問題被學生完整解答以后，大部分同學都可以比較順利的解答原題了。這是因為這兩個分解出來的問題促使很大一部分學生意識到了這么一個事實。f（x）就相當于一臺處理數的機器，函數的解析式就相當于這臺機器處理數的一種方式。這臺“機器”究竟會輸出什么數取決于向這臺機器放進什么數，放進去的數既可以是具體數，也可以是抽象的數，還可以是表達式，只要輸入和輸出保持一致就可以了。這樣建構的“函數”概念還欠完整，但是卻是學生“自己的”，是真正地可以幫助他思考和解決問題的。當然在后續學習中仍需一步步引導學生用“映射”的方式來理解“函數”概念。

例2.（并聯分解）如圖所示計算圓內陰影部分的面積，其中AC=BC=2■，∠ACB=■。

■

支持此例求解的主要概念不是單一的，而是由扇形的定義和面積、三角形的面積、圓心角和圓周角及他們之間的關系這三個核心概念組成的概念圖式。下面以這三個概念的呈現作為分解的三條路徑進行并聯分解。因為題目比較簡單，故略去解答，只說明設計意圖。

〖第一條路徑問題〗解決扇形的定義和扇形的面積公式的問題。

【第1層次問題】下列哪些圖形是扇形？

■

【第2層次問題】如果圓的半徑為r，圖中扇形的面積怎么算？第一個圖為半圓，第二個圖為■個圓，第三個圖為圓心角為？琢的任意扇形。

■

設計意圖：之所以設計這兩問是因為在操作中發現有不少學生將它直接當成扇形面積在計算。第1層次問題是希望學生通過對各個幾何圖形的觀察產生對扇形的“經驗抽象”從而提升對扇形定義的理解。在第2層次問題中，扇形面積的計算是從特殊到一般的。當學生想到最后一問的求解實際上是將前兩問中扇形面積占圓面積的比例用■來代替即意味著“自反抽象”的發生。

〖第二條路徑問題〗解決同弧所對應的圓心角和圓周角之間的關系問題。

【第1層次問題】什么是圓心角？什么是圓周角？

【第2層次問題】在下邊的圖中，∠1和∠2有什么關系？∠3和∠4有什么關系？∠ACB和∠AOB之間又有什么關系？

■

設計意圖：第1層次問題的設計是為了幫助學生回憶圓心角和圓周角的定義。在實際教學過程中經常利用畫圖來解決。第2層次問題的回答實際上是“同弧所對的圓心角是圓周角的兩倍”這句話的證明。這樣學生記住的不僅僅是這句話，而且明白了這句話為什么是對的。這也是對概念理解的層次升級的標志。

〖第三條路徑問題〗解決三角形的面積計算問題。

【第1層次問題】三角形的面積計算公式有哪些？他們都是怎么來的？

【第2層次問題】具體到原問題，若要計算等腰△AOC的面積有哪些可行的方法？在求面積的過程中可以算出圓的半徑嗎？

設計意圖：第1層次問題的重點在后面。要說明“怎么來的”這件事情，需要一位學生對三角形面積的計算進行深層次的回憶。第2層次問題需要學生將求面積的方法付諸實施，將抽象的方法應用于具體的問題，以此來深化對三角形面積的理解。

〖形成概念圖式并解答原題〗以上三個并聯路徑問題的關聯性在于原圖形雖然不是一個扇形，但是它包含一個扇形，并且在去除這個扇形以后剩下的圖形是兩個全等的等腰三角形。故只要依照所給的數據分別計算這三個圖形的面積并求和即可。

此例的分解雖然很簡單，但是我們可以看到，在每一條并聯路徑的內部都有兩個層次的分層問題。也就是說在并聯分解的內部存在串聯分解。實際上大部分問題的分解，都不是單純的串聯或并聯分解，而是這兩種方式的相互嵌套。特別是對于一個復雜的數學問題而言，要使得分解產生良好的教學效果，需要我們精心設計分解的結構。

五、基于問題分解的概念教學實施過程

當學生無法解答某個數學問題的時候，教師既對問題所涵蓋的數學概念胸有成竹，又要猜到學生頭腦中概念圖式可能存在的問題，但是并不直接告訴學生這道題目該怎么做。首先，將原問題分解成幾個相互關聯的小問題，用串聯分解反映問題所涵蓋的概念的深度，用并聯分解反映問題所涵蓋的概念的廣度。然后，教師向學生提出第一個小問題。由于問題覆蓋了原來學生概念圖式中的思維斷層，所以只要學生回答正確了，他就會意識到小問題當中蘊含的信息可能和原問題有關，于是“自反抽象”發生的契機就成熟了。這個時候只要稍加引導，學生就可以認識到他原來概念認識上存在的問題，從而填平思維斷層解出原題。如果學生對第一個小問題的回答還是存在困難，那么說明分解的深度或者廣度不夠，無法和學生頭腦中已有的概念圖式對接。于是繼續對問題進行第二層分解，向學生提出第二個小問題，如此不斷進行，直到分解出的問題可以觸發學生的自反抽象，使其頭腦中的概念圖式得到完善。這整個過程和蘇格拉底的詰問非常相似。

另外，用問題分解策略實施概念教學的真實過程是和學生的反饋情況完全匹配的，因而它是隨機應變的。如在“例二”的三條并聯分解路徑中，若有老師認為三角形面積問題學生已經基本掌握，便可以將這條路徑舍去。當然，如果在任意一條路徑的某個層次問題上還存在困難，那么也可以考慮將該層次問題繼續用串聯或并聯的方式進行分解，從而將分解的路徑延長。總之，對問題進行分解的主要目的只有一個，就是盡量不直接告訴學生這道題目該怎么做，而是用提問的方式讓問題和他們頭腦中已經具備的知識對接起來，從而加深對數學概念的理解。這樣形成的數學概念，是由學生在自己的頭腦中建構的，而不是教師強加的。以這樣的方式建立起來的概念體系的各個結點之間不是相互孤立的，而是一張由聯系和發展所構成的巨大網絡。它既可以統攝，又可以在必要的時候還原為具體。這樣學到的知識才是真正可以解決問題的知識。

六、效果評估

一般來說，一個班級學業成績的進步不能只看考試的平均分，因為平均分很大程度上受試卷難度的影響。但從分數的結構看，通常考分的進步會來自于成績在中等或者中等偏下一點的學生，因為他們的進步空間最大。如果他們的分數得到有效提高，而成績優秀的同學又保持穩定，那么會出現班級的平均分上移而方差收窄的情況。下表反映了高職三（2）班各次月考和最后高考的平均成績和標準差。

在以上樣本中刪除了一次考試難度較大而使得平均分和標準差同時大幅下降的樣本。這樣我們可以看到，數據呈現出了標準差明顯下降而平均分逐級上移的情況。由此可見，問題分解策略對學業成績處于中等或中等稍偏下一些的學生最為有效。

參考文獻：

[1]何小亞，姚靜.中學數學教學設計[M].北京：科學出版社，2008.

[2]劉華祥.中學數學教學論[M]武昌：武漢大學出版社，2003.

[3]任樟輝，馬忠林.數學思維理論[M].南寧：廣西教育出版社，2003.

[4]濮安山，史寧中.從APOS理論看高中生對函數概念的理解[J]數學教育學報，2007，16（2）.

[5]張殿宙，宗乃慶.數學教育概論[M].北京：高等教育出版社，2009.

[6]喬連全.APOS：一種建構主義的數學學習理論[J].全球教育展望，2001，30（3）：16-18.