銅仁市控制紅綠燈車行時(shí)間的數(shù)學(xué)模型

摘 要：文章針對(duì)銅仁市北門十字路口處的交通流運(yùn)用調(diào)查法、分析法、模擬法、對(duì)比法等進(jìn)行研究，用MATLAB繪制出該處的車流密度與時(shí)間的變化圖像。結(jié)合統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)，整理后利用上述函數(shù)解出銅仁市北門十字路口處在高峰期時(shí)車隊(duì)由堵塞狀態(tài)到正常狀態(tài)所需的時(shí)間在33到60秒之間，在非高峰期時(shí)所需的時(shí)間在13到45秒之間；并且此處交通信號(hào)燈車行時(shí)間安排在72到78秒之間是合理的。進(jìn)而推斷銅仁市對(duì)紅綠燈車行時(shí)間的安排是合理的。

關(guān)鍵詞：交通流；堵塞狀態(tài)；MATLAB；銅仁市

1 概述

英國(guó)專家經(jīng)過調(diào)查，得出“行人在過馬路時(shí)，等待時(shí)間最大限度為60s”而中國(guó)很多城市的交通信號(hào)燈（紅燈）的時(shí)間幾乎都超過了60s。銅仁市也不例外，文章針對(duì)此問題結(jié)合銅仁市的實(shí)際情況進(jìn)行了探討。

2 交通流的基本函數(shù)

我們將同一車道上的所有車輛看成一個(gè)連續(xù)的流體，即交通流。在車道上選定一個(gè)點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，記為x=0，以車流運(yùn)動(dòng)的方向作為x軸的正方向。因此車道上的任意一點(diǎn)都可以用x軸上的點(diǎn)表示，于是對(duì)于每一點(diǎn)x和每一時(shí)刻t引入三個(gè)基本函數(shù)：

（1）車流流量函數(shù)（q（x，t）），它表示時(shí)刻t在單位時(shí)間內(nèi)通過x點(diǎn)的車輛數(shù)

（2）車流密度函數(shù)（ρ（x，t）），它表示時(shí)刻t點(diǎn)x處單位長(zhǎng)度內(nèi)的車輛數(shù)

（3）車流速度函數(shù)（v（x，t）），它表示時(shí)刻t通過點(diǎn)x的車流速度

以上三個(gè)函數(shù)有著密切的關(guān)系——單位時(shí)間內(nèi)通過x點(diǎn)的車輛數(shù)等于單位長(zhǎng)度內(nèi)的車輛數(shù)與車流速度的乘積[1]，即q（x，t）=ρ（x，t）v（x，t）

于是，知道車流速度v與車流密度ρ是成反比的，而實(shí)際生活中也確實(shí)如此。

為了便于研究，假定初始狀態(tài)是平衡狀態(tài)。比如：銅仁市北門十字路口處在初始狀態(tài)下，車流密度為0.2輛/每米左右。我們可以假定ρ是v的線性函數(shù)，即

顯然，q的極大值點(diǎn)為ρ*=。也就是說(shuō)，當(dāng)車道沒有阻礙時(shí)車流密度達(dá)到此車道上的最大密度的一半時(shí)，車流流量最大[4]。

3 間斷交通流模型

然而，實(shí)際生活中車流密度函數(shù)ρ（x，t）是會(huì)出現(xiàn)間斷的。它可能有一個(gè)，也可能有多個(gè)甚至無(wú)窮多個(gè)間斷點(diǎn)，但由于每個(gè)間斷點(diǎn)都有相同的性質(zhì)，所以文章只討論一個(gè)間斷點(diǎn)的情況。假設(shè)該間斷點(diǎn)xs（t）存在于區(qū)間[x1，x2]上，那么在區(qū)間[x1，xS（t））和（xs（t），x2]上三個(gè)基本函數(shù)還是連續(xù)、可微的[3]，于是有

（6）式就是間斷交通流方程[3]，這對(duì)后面的解答非常重要。

4 銅仁市控制紅綠燈車行時(shí)間的數(shù)學(xué)模型

假定銅仁市北門廣場(chǎng)十字路口的交通信號(hào)燈處為原點(diǎn)，即此處x=0，當(dāng)t=0+時(shí)交通燈變?yōu)榧t燈，在t=σ時(shí)交通燈由紅燈變?yōu)榫G燈，當(dāng)t=tx時(shí)紅燈再次亮。那么紅綠燈時(shí)間應(yīng)該控制的哪個(gè)范圍內(nèi)才算合理，怎樣運(yùn)用基本函數(shù)的變化來(lái)描述？下面運(yùn)用車流密度函數(shù)就銅仁市北門廣場(chǎng)十字路口處的交通流的變化進(jìn)行描述，從而驗(yàn)證該處的紅綠燈車行時(shí)間是否合理。假定每次塞車都使車流密度達(dá)到了最大，速度減小到0。

4.1 銅仁市北門十字路口處交通流圖形

說(shuō)明：當(dāng)車隊(duì)行駛35S左右時(shí)，密度接近最大密度的一半，此時(shí)車流流量接近最大。根據(jù)（3）式知道，銅仁市北門十字路口處因紅燈形成的堵塞狀態(tài)在綠燈亮?xí)r大概需35秒才會(huì)消失。

4.2 銅仁市紅綠燈車行時(shí)間是否合理

通過統(tǒng)計(jì)知道銅仁市北門十字路口處的交通信號(hào)燈在高峰期時(shí)紅燈時(shí)間約σ1==72秒，綠燈時(shí)間約σ2==43秒。此時(shí)用ρ0/ρm=使堵塞狀態(tài)消失的車輛數(shù)/紅燈使所停下的車輛數(shù)來(lái)計(jì)算，知ρ0/ρm的最小值為5/11、最大值為14/17。用同種方法可算出在非高峰期時(shí)紅燈時(shí)間約為78秒，綠燈時(shí)間約為42秒，ρ0/ρm的最小值為1/6、最大值為7/12。

在高峰期時(shí)，結(jié)合數(shù)據(jù)以及（11）式，在運(yùn)用MATLAB可以繪制出圖2。

說(shuō)明：該圖可以很直觀的反應(yīng)出在現(xiàn)實(shí)生活中由于車流密度的不連續(xù)性，導(dǎo)致了td的波動(dòng)現(xiàn)象。

同樣，在非高峰期時(shí)也有圖3

說(shuō)明：和圖2比較知道車流在非高峰期時(shí)密度相對(duì)要穩(wěn)定。

事實(shí)上，在（11）式中，如果將td取為60秒（行人過馬路能忍受時(shí)間的最大限度），那么結(jié)合（11）式解得銅仁市北門十字路口處在高峰期的紅燈時(shí)間σ∈[108，330]（單位：秒），在非高峰期的紅燈時(shí)間σ∈[72，144]，而該處紅燈亮的實(shí)際時(shí)間（72秒、78秒）都接近108秒、72秒（上述理論區(qū)間的最小值）。所以，銅仁市北門十字路口處控制紅燈時(shí)間是合理的。

另一方面，由于當(dāng)交通燈由紅變綠時(shí)，密度由最大值ρm逐漸減小至初始值ρ0，并且在交通信號(hào)燈快變成紅燈，即t=σ-時(shí)，密度取得最大值ρm；之后密度才逐漸減小到初始值ρ0。又因?yàn)橐陨线@個(gè)變化過程所需要的時(shí)間就是車隊(duì)由堵塞狀態(tài)到正常狀態(tài)所需的時(shí)間，所以根據(jù)銅仁市北門十字路口處在高峰期時(shí)ρ0/ρm在[5/11，14/17]內(nèi)，并且紅燈時(shí)間為72秒，知道車流從堵塞狀態(tài)到正常狀態(tài)所需的時(shí)間在[33，60]。同理可算出在非高峰期時(shí)所需的時(shí)間在[13，45]；而該處在高峰期和非高峰期時(shí)綠燈亮的實(shí)際時(shí)間分別是43秒和42秒，都屬于上述兩個(gè)區(qū)間。由此知道，銅仁市北門十字路口處控制紅綠燈時(shí)間是合理的。

5 結(jié)束語(yǔ)

文章主要針對(duì)銅仁市北門十字路口處的交通流進(jìn)行了研究，得出了此處紅綠燈車行時(shí)間安排是合理的。但由于時(shí)間的限制，所以統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)不足，由此推斷出銅仁市的紅綠燈車行時(shí)間的合理性有些牽強(qiáng)，這也是本篇論文不足之處。

參考文獻(xiàn)

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