基于最小二乘原理的影子定位分析

摘 要：文章利用與太陽(yáng)照射相關(guān)的若干角度參數(shù)，分析在太陽(yáng)照射下，直桿的影子長(zhǎng)度變化及影子軌跡，進(jìn)而確定直桿所處位置。首先建立了以直桿長(zhǎng)度，測(cè)量地的經(jīng)緯度，測(cè)量時(shí)間為參數(shù)的影子長(zhǎng)度的變化模型。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合最小二乘原理，建立了一個(gè)影子定位模型來(lái)確定測(cè)量地的經(jīng)緯度。

關(guān)鍵詞：太陽(yáng)角度；影子長(zhǎng)度；定位分析；最小二乘原理

1 問(wèn)題描述

日照形成的影子會(huì)隨著太陽(yáng)光線的變化而發(fā)生變化，而太陽(yáng)對(duì)地球的照射會(huì)因照射時(shí)間、照射地點(diǎn)的經(jīng)緯度的不同而不同。通過(guò)分析太陽(yáng)照射下直桿影子的長(zhǎng)度和位置變化，可以得出太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而確定出直桿所處的地理位置。

2 太陽(yáng)角度相關(guān)量說(shuō)明和計(jì)算公式[1]

3.2 影子長(zhǎng)度變化規(guī)律

從上述所建立的模型中可以看出，影子的長(zhǎng)度直接與直桿的高度h和太陽(yáng)高度角有關(guān)，可得到以下結(jié)論：

（1）對(duì)于同一地點(diǎn)，同一時(shí)刻，桿子越長(zhǎng)，影子的長(zhǎng)度越大；（2）對(duì)于同一直桿，同一緯度地區(qū)，影子長(zhǎng)度變化軌跡相同，且越往東，影子出現(xiàn)最短的時(shí)刻越早；（3）對(duì)于同一直桿，同一地點(diǎn)，同一日期，時(shí)刻越靠近正午，影子長(zhǎng)度越小。（4）對(duì)于同一直桿，同一時(shí)刻，在太陽(yáng)直射點(diǎn)處的桿子影子長(zhǎng)度最小，影子長(zhǎng)度隨著桿子位置向南北兩側(cè)遞減。

這都符合日常客觀規(guī)律。

4 影子定位模型[4]

很多情況下，我們想知道某次影子測(cè)量的測(cè)量地點(diǎn)，但是我們只知道測(cè)量時(shí)間和影子的頂點(diǎn)坐標(biāo)，且不明確影子頂點(diǎn)坐標(biāo)系的建立規(guī)則。因此，我們建立一個(gè)影子定位模型來(lái)確定影子的測(cè)量地點(diǎn)。

4.1 基于最小二乘的影子定位模型

在這個(gè)模型中，已知：某直角坐標(biāo)系下影子n個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)（x[n]，y[n]）；影子頂點(diǎn)坐標(biāo)測(cè)量時(shí)間間隔為t0，影子開(kāi)始測(cè)量時(shí)間為北京時(shí)間t1，影子結(jié)束測(cè)量時(shí)間為北京時(shí)間t2。

4.2 實(shí)例說(shuō)明

4.2.1 實(shí)例介紹

有一組數(shù)據(jù)[5]坐標(biāo)系以直桿底端為原點(diǎn)，水平地面為XY平面。直桿垂直于地面。測(cè)量日期：2015年4月18日。

4.2.2 約束范圍確定

在北京時(shí)間14：42到15：42測(cè)量地點(diǎn)處于白天。由于時(shí)區(qū)之間的差異得到經(jīng)度范圍在西經(jīng)0.5度到東經(jīng)169度之間，且在北京時(shí)間14：42到15：42測(cè)量地點(diǎn)的影子長(zhǎng)度是在逐漸增加的，可以得出，此時(shí)當(dāng)?shù)貢r(shí)間已經(jīng)過(guò)了正午12點(diǎn)，則當(dāng)當(dāng)?shù)貢r(shí)間為正午12點(diǎn)時(shí)，北京時(shí)間t<14.7，根據(jù)公式（2）可得經(jīng)度大于東經(jīng)79.5度，則測(cè)量地點(diǎn)：E79.5°<？準(zhǔn)

4.2.3 測(cè)量地點(diǎn)確定

利用基于最小二乘的影子定位模型，得：

根據(jù)地圖查找，該點(diǎn)處于南海區(qū)域。考慮到測(cè)量的實(shí)際操作性，以及模型存在的誤差，我們將范圍擴(kuò)大到了距離該點(diǎn)最近的沿岸區(qū)域。將直桿所在地點(diǎn)大致定在中國(guó)海南樂(lè)東黎族自治縣的鶯歌海鎮(zhèn)，立國(guó)鎮(zhèn)等地區(qū)（N18.52°，E108.69°）或越南順化峰牙-已傍國(guó)家公園（N17.34°，E106.76°）。

5 結(jié)束語(yǔ)

在影子長(zhǎng)度變化模型中，建立以正北方向?yàn)閄軸，正東方向?yàn)閅軸的平面直角坐標(biāo)系，利用太陽(yáng)高度角？茁和太陽(yáng)方位角？琢，確立了長(zhǎng)為h的直桿的影子的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并進(jìn)一步確定了直桿長(zhǎng)度變化計(jì)算公式。

在直桿影子定位模型中，由于如何建立XY直角坐標(biāo)平面未知，不能直接以arctan的值來(lái)當(dāng)作實(shí)際測(cè)得的？琢值，因此，通過(guò)利用兩個(gè)測(cè)量時(shí)間之間的影子夾角建立了基于最小二乘的影子定位模型。

參考文獻(xiàn)

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[5]2015年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題附件[Z].