有限差分法不同邊界條件下的數值模擬

摘 要：文章介紹了地震數據處理中所使用的數值模擬法，對采用有限差分法所使用不同邊界條件處理方式進行了數值模擬，通過波場快照直觀的得出了不同的邊界吸收條件的吸收效果，對結果進行了對比，分析總結了各種方法的優缺點。

關鍵詞：數值模擬；有限差分；邊界條件

隨著近年來國家宏觀經濟調控，經濟增長的速度逐步減緩，能源行業受此影響最為嚴重，許多煤礦是在虧損的情況下生產，直接導致了地質行業投入的減少。物探行業壓力也越來越大，物探行業應該抓緊發展先進技術，提高能源勘探的效率。

在物探行業中，地震勘探作為一個重要的手段，發揮著巨大的作用。數據處理作為地震勘探的一大重要環節，所采用的各種方法和技術手段也一直在更新和進步。在地震勘探處理方法研究中，地震數值模擬技術可以在室內完成地震數據模型的建立，并對其地震數據進行各種方法的處理，查看處理方法的效果和數據的好壞，另一方面，地震數值模擬進行正演獲得的數據也可以作為反演的基礎進行比對。

在地震數據處理的過程中，如何模擬地震波的傳播便是需要解決的問題。在二十世紀70年代開始采用顯示差分格式來模擬地震波的傳播。由于有限差分法適用條件廣，計算速度比較快，占用計算機內存少，編程比較容易實現，模擬精度相對較高而得到廣泛應用。

但是有限差分法模擬地震波場時，由于計算機運算核心的限制，有限差分方法只能得到有限的數據點，地震波動方程只能是在有限差分方程中求得近似解，這時就考慮到人工邊界問題，如果不對邊界進行處理，波在通過邊界時會產生反射，因此我們希望對添加的邊界進行處理來消除這些反射。

在20世紀70年代，地球物理學界陸續采用了不同的邊界條件來實現削弱地震波在通過邊界時的反射，比如reynold邊界、clayton邊界、cerjan邊界，以及后來提出的PML層邊界條件，每種邊界條件都在不同程度上實現了地震波通過邊界時的衰減。

為了驗證以上邊界條件在數值模型的效果，在文章中，我們設計了一些簡單的數值模型，給出了不同的邊界條件，通過波形在通過不同邊界條件時反射進行比較，觀察每種方法衰減反射的效果。

1 reynold邊界條件

文章首先采用的邊界條件為reynold邊界條件。這是ALBERT C.REYNOLDS于1978年提出的一種邊界條件的處理方式。地下介質中地震波的傳播規律可以近似地用聲波方程描述，對于二維模型，首先我們給出二維情況下聲波方程，

在此方程中S（t）為震源函數，使用了雷克子波，其中時間域采樣間隔為0.001s，采樣點數為100點，總的時間長度為0.1s，則頻率域采樣間隔為10hz。v（x，z）為介質在點（x，z）處的縱波速度，u為描述速度位或者壓力的波場。震源函數波形如圖1：

建立的數值模型是一個均勻速度模型，其中網格數為300x300，速度vp=3000，其中上邊界采用自由反射邊界，其余三個邊界采用reynold邊界，可以由圖2得到的波場快照看出波在通過邊界時反射得到了有效衰減。

2 clayton and engquist邊界條件

采用同樣的模型參數，當下邊界使用自由反射界面，其余三面采用clayton and engquist邊界條件，得到的波場快照如圖3所示。

兩種邊界條件得到的單炮記錄如圖4所示。

由所得到的波場快照可以直觀的看出，兩種邊界處理方法都有明顯效果，當地震波通過未經過處理的邊界時，地震波的反射現象十分嚴重，產生一系列反射波并多次反射，對數據形成干擾，但是經過處理的邊界時反射得到了明顯的削弱。

3 Cerjan吸收邊界條件

下面所使用的數值模型是時間二階、空間二階精度二維彈性波模擬，采用的震源仍然是雷克子波，其時間域采樣間隔為0.001s，主頻為30。模型采用300x300的網格均勻常速度介質，其中P波速度Vp=2000，S波速度Vs=1400，邊界條件為上邊界采用自由反射邊界，其余邊界采用Cerjan邊界條件。圖5為全波震源得到的波場快照，上圖為x分量，下圖為z分量。

由波場快照可以看出，地震波在傳播時，由于縱波速度比橫波速度快，所產生的波形為兩個同心圓，外層為直達縱波，內層為直達橫波。在經過邊界時，由于上邊界采用了自由邊界條件，可以看出地震波的反射現象也是比較明顯，其他邊界由于添加了衰減吸收函數，所產生的反射比較微弱。同時由于該吸收采用的衰減函數比較簡單，計算時所需要的時候也比較少，計算起來速度比較快。

4 結束語

由以上圖可以看出，在進行地震模型數值模擬時，所采用的邊界條件都達到了一定了效果，但是也有一些不足，采用reynold邊界條件和Clayton條件時，其邊界吸收對比自由邊界效果比較明顯，但是仍然具有一定的反射，采用cerjan邊界時，波在邊界反射后產生的頻散也比較嚴重，除了以上方法之外，PML邊界條件是近年來提出的吸收效果比較好的一種邊界處理條件，其原理是在構建的地質模型外圍添加一層吸收邊界，這種邊界能迅速吸收邊界中的反射，效果比較好，所需要的計算量也比較少，使用也比較普遍。由于采用這種邊界的模型文獻較多，在此不再進行敘述。

參考文獻

[1]賈躍瑋.基于MATLAB的地震正演模型實現[J].石油工業計算機應用，2009，2：10-13+65.

[2]左瑩.基于高階交錯網格的有限差分地震波場數值模擬[D].長安大學，2009.

[3]王開燕，周妍，劉丹，等.有限差分波動方程正演模擬中的吸收邊界條件[J].當代化工，2014，5：752-755.

[4]李桂花，朱光明，馬德堂.井間地震數據處理方法——以大慶某采油廠井間地震勘探為例[J].石油地球物理勘探，2011，1：76-82+164+171.

[5]朱光明，李桂花，程建遠.煤礦巷道內地震勘探的數值模擬[J].煤炭學報，2008，11：1263-1267.

作者簡介：韓浩（1992-），男，山東濟寧人，在讀研究生，專業為地球探測與信息技術，主要從事地球物理勘探數據處理方法的研究。