工程計算中拉格朗日插值的誤差評價

摘 要：工程計算中，許多系數都是由物理實驗得出的。這些系數取值時，需要進行插值。嚴格來講，插值公式形式應該取決于物理量之間的內在聯系，由理論分析確定。尚不能用理論分析手段確定其具體形式時，拉格朗日插值多項式是常用的插值形式。與此相關，仍不時存在著插值多項式次數愈高精度愈高的誤區。由于物理實驗數據本身不可避免存在誤差，這些誤差也是隨插值次數的升高而增大。插值多項式的次數應該是適度的。當物理實驗數據足夠充分時，分段線性插值應該是首選的插值形式。當插值多項式有其他特殊要求時，如一階或二階導數連續等，則采用相應的更高一階多項式形式。科學評價拉格朗日插值多項式的誤差，對提高相關工程計算精度有著重要的意義。

關鍵詞：工程計算；實驗數據；插值；誤差評價

通常情況下，水力學實驗控制實測量相對誤差小于5%，此時認為是比較精確的。如相對誤差達到20%～25%，則認為精度差，誤差大。如若相對誤差在40%～50%，則插值計算已幾無價值。如若相對誤差達80%～100%，則結果就是荒謬的。由表中數據可以看出，自變量外延一個數據間隔，三、四次插值結果精度已很差，八次插值已幾無價值；若外延兩個數據間隔，二次插值結果已存在很大誤差，三次插值結果已幾無價值，四、五次插值結果則完全是荒謬的；若外延三個數據間隔，即使是線性插值即已存在較大的誤差，二次插值結果已幾無價值，三次插值結果就已經是荒謬的。

4 結束語

通過上述分析可知：（1）誤差隨著數據外延間隔的增大，其放大倍數增長迅速，所以在保證精度的基礎上物理實驗數據要盡可能的充分。在插值時盡量不作大間隔的外延計算。（2）在數據足夠充分的情況下，分段線性插值是相對最精確的。只有當需要一階導數連續時，才有必要進行二次插值；需要二階導數連續時，才有必要進行三次插值；依此類推。如無特殊要求，盡量采用低次插值。

參考文獻

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作者簡介：李占松（1965-），男，漢族，河南長葛人，副教授，博士，主要從事計算水力學及工程水力學方面的研究。

師冰雪（1991-），女，漢族，河南漯河人，水利水電工程專業碩士研究生。