高中數學中導數的概念及導數的應用

◎謝楚舒

高中數學中導數的概念及導數的應用

◎謝楚舒

在我們數學的學習中，導數是非常重要的基礎內容。高中教材中導數的引入給我們解決數學上的問題提供了新的視野，導數應用在高中數學中的很多領域。導數對我們來說不僅是普通的數學知識，它也是我們手中的一把利劍，它讓我們對函數性質的研究、函數極值最值的探求、曲線斜率等的求解提供了解決的途徑。

高中數學導數的基本概念總結

當自變量的增量Δx＝x-x0，此時Δx→0時函數增量Δy＝f（x）-f（x0）與自變量增量之比的極限是存在并且有限的，我們就可以稱函數f在x0點是可導，稱之為f在x0點的導數（變化率)。函數y＝f（x）在x0點的導數f'（x0）的幾何意義：表示函數曲線在P0［x0，f（x0）］點的切線的斜率（該函數曲線在這一點上的切線斜率就是該導數的幾何意義）。

一般情況下，我們判斷函數的增減性是利用函數的導數，設y＝f(x )在（a，b）內可導。如果在（a，b）內，f'（x）＞0，則f（x）在這個區間是單調遞增。如果在（a，b）內，f'（x）＜0，則f（x）在這個區間是單調遞減的。因此，當f'（x）=0時，y＝f(x )有極大值或極小值，極大值里最大的數就是最大值，極小值中最小的數就是最小值。對導數求解的步驟，一般如下：求函數y=f(x)在x0處導數的步驟： ① 求函數的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) ；② 求平均變化率；③ 取極限，得導數。

導數的應用

幾何方面的應用

在掌握導數概念的前提下，在函數圖像的基礎上來對導數的幾何意義進行研究是導數相關概念的擴展，也是導數內容中重要的知識。微積分中重要的基本概念就是導數，假設自變量的增量趨近于零，是因變量的增量比上自變量的增量的極限。假設一個函數可導或可以微分，那么這個函數一定是存在導數的。可以求導的函數一定是連續的，但是不連續的函數一定是不可以求導的。在幾何解析中，我們求曲線的切線時，我們只要知道曲線的方程y=f(X)和曲線上存在的任何一個點的坐標，我們來求這一點的切線方程時就可以對函數求導。求曲線的切線方程具體做法：第一，對導數進行求解，得到曲線在已知點的切線的斜率。第二，假設已知切線的斜率和對應切點的坐標，那么我們就利用點斜式來求切線方程。例如，已知曲線上點（1，2）和曲線y = xlnx，求此點所在的切線方程。解：對函數f(x) =xlnx求導得f'(x)=lnx+1，得到f(1) = lnl+1=1，所以在點(1，2)的切線方程為y-2=1(x-1)，即y=x+1，可得切線方程：y=x+1。從上題可以看出求解切線方程時，先求出函數y=f(x)在x=x0處的導數，就是曲線在已知點的切線斜率，在運用點斜式公式，就可得到切線方程。

在函數方面的應用

函數的單調性。判斷函數的增減性利用導數的符號，這是在對曲線變化規律進行研究時導數幾何意義的一個應用，數形結合的思想也被充分體現。一般情況下，假設在某個已知區間（a，b)內，假如f'(x)＞0，我們可以得到函數y=f(x)在（a，b）內單調遞增；同理，如果f'(x)＜0，那么函數y=f(x)在（a，b）內單調遞減。除此以外，還有f'(x)=0在某個區間恒存在，則f(x)則為常數函數。需要注意的是，在某個區間內f'(x)＞0是f(x)不是在此區間為增函數的必要條件，而是充分條件。如f(x)=x3在R內是增函數，但x=0時f'(x)=0。也就是說，如果已知增函數f(x)，答題就必須寫f'(x)≥0。對函數單調區間求解的步驟為：①確定f(x)的定義域；②求導數；③由解出相應的x的范圍。當f'(x)＞0時，f(x)在相應區間上是增函數；反之，當f'(x)＜0時，f(x)在相應區間上是減函數．

函數的極值。我們對函數極值求解的步驟一般是：第一要明確函數的定義域；第二求函數的導數；第三在定義域內求解所有的駐點與導數不存在的點，也就是求解方程的所有實根。第四，看駐點左右側的符號，如果左邊為正，右邊為負， f(x)的極大值就在這個根處。反之， f(x)極小值就在這個根處。

函數的最值。假設f(x)在［a，b］上的最大值（或最小值）是(a，b)內的一點，那么極大值（極小值）就是這個最大值（最小值），也就是說，它是 f(x)在(a，b)內所有的極大值（或極小值）中最大的（或最小的），但是在［a，b］的端點a或b處也能取得極值，極值與最值的概念是不同的。求f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的一般步驟為，第一求f(x)在(a，b)內的極值； 第二，將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中一個最大是最大值，最小的那個就是最小值。

利用導數解決實際優化問題。生活中經常遇到利用導數來求解實際的優化問題，比如說求最大利潤，最省用料、最高效率等，我們將這些問題稱為優化問題，其實就是最值問題。對這些問題進行解決是非常有現實意義的，這些問題一般都可以轉化成我們所學的函數問題，然后對函數的最大或最小值進行求解。

從以上的敘述中可以看出，在應對復雜的問題時使用導數，感覺比較容易，計算過程也比較簡便，其實這就是對求導公式和求導法則的考察。我們要掌握好關于導數的概念，將導數與其他知識相結合，來用簡單的方法解決復雜的問題。

（作者單位：湘陰縣第一中學）