考慮維修服務質量的產品質保聯合決策

王 軒，劉麗文

(清華大學經濟管理學院，北京 100084)

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考慮維修服務質量的產品質保聯合決策

王 軒，劉麗文

(清華大學經濟管理學院，北京 100084)

在售后服務競爭日益激烈的大環境下，維修服務質量對于企業的意義越來越重要。經典的質保決策問題通常關心質保期和產品價格的聯合決策問題，本文在此基礎上進一步考慮了質保維修的服務質量問題。質保期、產品價格以及維修服務質量在產品生命周期內存在動態的關聯關系，目前同時考慮此三類因素的研究尚不多見。本文以具有重復購買行為的大眾消費品為研究對象，構建了包括成本模型、需求模型、利潤模型在內的最優控制模型，并應用最大化原理對模型進行求解分析，在此基礎上進一步對最優策略在靜態市場和動態市場的應用分別做了具體分析和數值試驗。

產品質保；服務質量；質保期；產品價格；重復購買；靜態與動態市場；最大值原理

1 引言

產品質保的相關研究中最為常見的是質保期和價格的聯合決策問題。然而，質保的屬性除了質保期長短之外還包括維修服務質量的好壞。同樣一年的質保期，一份質保在產品發生問題的當天就能給顧客維修或更換新產品，另一份質保在一周之后才能解決顧客的問題，這帶來的顧客滿意度顯然是有差別的。今天的商業環境下，產品競爭更加激烈，產品相關的售后服務市場競爭也變得更加激烈，顧客更加挑剔，更注重質保期內所享受到的質保服務。在此背景下，質保維修的服務質量正在成為企業發掘競爭力的新方向。

Dell電腦享有售后服務好的聲譽，其顧客在電腦發生故障時能夠很快的得到服務，其質保策略中有下一個工作日上門服務的條款。Suqare Trade Warranty是一家專門為消費者提供電子產品延保服務的公司，該公司提供的一個質保服務合同中規定：“保證5日內完成維修或者更換”。這兩個例子說明質保維修的服務質量已經得到企業重視，然而服務質量如何決策的問題尚缺乏研究。單純的決策質保期和價格已經不足以保證企業制定最佳的質保策略。在新的商業環境下，非常有必要在產品質保決策問題中考慮質保維修服務質量這一因素。

從產品生命周期的觀點來看，可以將質保決策的相關問題分為產品銷售環節和質保交付環節。產品銷售環節關注的焦點是產品價格和質保期，較低的價格和較長的質保期能夠促進產品銷售，然而較長的質保期會增加質保成本，給企業的未來經營帶來財務負擔，同時產品價格也不能過低，要能夠覆蓋產品的成本并保證一定的利潤。質保交付環節關注的焦點是質保維修的服務質量，良好的服務質量可以為企業贏得顧客滿意度，進而帶來品牌忠誠度和重復購買。服務質量的提升需要相應的投入，因此需要和價格、質保期進行聯合決策才能保證企業在產品生命周期內獲得最大的利潤，三者在產品的生命周期內存在動態關聯，有必要放在一起進行聯合決策。

大眾消費品的一個重要特點是有可能重復購買，本研究也擬考慮這一特點，因為好的服務質量能夠帶來更多的重復購買需求。王軒和劉麗文[1]已經將重復購買過程引入到質保期和價格決策模型中，做了一定的研究，這為本文繼續把質保維修服務質量的決策變量融入進來，考慮三個變量的決策問題提供了一個良好基礎，但是由于變量維度的增加，本文的研究難度也大大增加了。

本文主要涉及的研究文獻包括質保維修服務質量相關文獻以及質保期和價格聯合決策的相關文獻。目前關于質保維修服務質量問題的研究，大多集中于資本密集型產品，通過基于績效的合同(Performance Based Contract)加以保障。其原理是基于產品實際的正常運行時間來向供應商付費，而不是僅僅為零件、勞動及其他服務花錢。其核心思想就是把向供應商支付的費用與客戶所關心的業績捆綁起來以實現各方利益的一致[2]。關于大眾消費品的質保維修服務質量的研究相對較少，僅找到兩篇，其中Cohen等[3]構建了一個關于產品和售后服務質量的生命周期模型，模型中的決策變量是產品價格、售后服務質量以及售后服務價格，制造商和第三方的維修商在售后服務市場上形成競爭，制造商提供更好的服務同時收取更高的價格。Park等[4]設計了一種新的兩維質保策略，該質保策略包含兩個維度：質保期和質保維修的服務時間，后者可看作服務質量。此研究第一次將服務質量的概念引入二維質保策略，通過產品的故障時間和質保服務時間來估算質保成本。此文章側重于質保成本的估算并未考慮質保服務時間對產品需求的影響。

質保維修服務質量包含的范疇比較廣，服務人員的態度，維修站點的便利性，維修成本的高低，維修效果的好壞都會影響服務質量。在商業領域，售后服務的服務質量一般通過一定時間段內的故障件滿足率來衡量。究其本質，維修服務與其他服務的不同之處在于顧客希望服務時間越短越好，因此我們將質保維修服務質量定義為故障件的維修響應時間。維修響應時間越短說明質保維修的服務質量越高。好的服務質量有利于保持顧客忠誠度，但是相應的要付出成本，因此廠商需要在提高服務質量和因此增加的成本之間進行權衡。我們這里定義的維修響應時間本質上等同于傳統的服務競爭研究中的交付時間(Delivery Time)或反應時間(Response Time)。關于反應時間競爭的研究并不局限于質保服務，此類研究在傳統的服務競爭研究中很常見，例如：Li[5], Lederer等[6], So等[7], So[8]。基于反應時間的服務競爭為本文定義質保維修服務質量提供了借鑒。

關于質保期和價格聯合決策的相關文獻，首先是關于質保期影響產品需求的內在機理研究[9]。同樣條件下產品質量低的制造商會承擔更高的質保成本，因而只有產品質量更高的制造商才會提供更長的質保期，顧客通常不能直接觀察到產品質量水平的高低，因此可以把質保期作為產品質量高低的有效信號。Glickman等[10]是關于質保期和價格決策的早期經典研究，模型假設產品需求隨價格和質保期分別呈指數變化。Mesak[11]將價格和質保期作為決策變量引入創新品擴散模型，分析了壟斷廠商在規劃期內的最優定價和質保期策略，根據價格和質保期影響需求的原理，提出了四種需求模型。Huang Hongzhong等[12]在Glickman模型的基礎上，研究了新產品的價格、質保期和產品質量水平選擇的聯合決策問題。Manna[13]引用Glickman模型構建了以制造商利潤最大化為目標的價格和質保期決策模型。

Lin Peichun等[14]研究了價格和質保期的聯合決策問題，其中需求受到價格、質保期、累計銷量的影響。Wu等[15]研究了免費更換質保策略下的最優價格和和質保期決策，假設產品故障服從正態分布且價格和質保期在規劃期內都是動態變化的。Wu等[16]進一步分析了在免費更換和按比例賠付相結合的質保策略下如何確定最優的質保期和老化時間(Burn-in Time)使得生產成本和質保成本最低。所謂老化時間是指在產品出廠前的燒機測試時間，用來降低上市產品的故障率。Wu等[17]在前兩篇文章的基礎上又引入產品的生產率作為決策變量分析了靜態市場下壟斷廠商如何選擇最優的價格、質保期以及產品生產率。Wu等[18]利用電池的實際銷售數據對質保期、價格和生產率的決策問題做了實證研究。

Lin Peichun等[19]同樣以價格、質保期、生產率為決策變量分析如何使得規劃期內廠商利潤最大化，他們還在模型研究的基礎上開發了決策支持系統。Zhou Zhefang等[20]在免費維修質保策略的背景下研究了如何確定最優的質保期和價格使得廠商生命周期內的利潤最大化。他們對生命周期的定義是從產品上市到最終退出市場。王軒和劉麗文[1]考慮了具有重復購買需求的質保期和價格的聯合決策問題，用累計銷量乘以重復購買率定義的重復購買需求。

2 基本決策模型

2.1 建模的假設

本文通過建模的手段分析制造商在產品生命周期內的維修服務質量、質保期和價格的最優聯合決策。決策目標是制造商在產品生命周期內獲得最大的利潤。在構建需求和成本模型時有如下假設：

1)需求由初次購買需求和重復購買需求構成。

2)初次購買需求與產品價格負相關，與產品的質保期正相關。

3)重復購買需求由初次購買的累計銷量乘以重復購買率得到，同時與產品價格負相關，與質保維修的服務質量正相關。

4)質保成本與產品的質保期和故障率正相關。

5)服務質量保障成本是服務質量的凸增函數。

與以往的研究不同，本文分析了質保維修的服務質量對利潤的影響。模型背后的假設是好的服務質量會增大產品的重復購買需求。

2.2 符號說明

s(t)：t時刻的維修服務質量。

p(t)：t時刻的產品價格。

w(t)：t時刻的產品質保期。

f(t)：t時刻初次購買過程帶來的需求量。

N(t)：t時刻由初次購買帶來的累計銷量。

r(t)：t時刻重復購買過程帶來的需求量。

M(t)：t時刻重復購買過程帶來的累計銷量。

q(t)：t時刻的產品需求量。

Q(t)：t時刻的產品累計銷量。

Λ：重復購買率。

N0：反映過去生產經驗和銷售經驗的參數。

NM：初次購買的市場容量。

cs：服務質量保障成本。為保障服務質量需要的庫存成本、物流投入和管理費用。

cr：故障產品的維修成本。本文采用最常見的免費維修質保策略，每次維修所需要的人工、材料成本是固定值。

δ：產品故障率。

η：折現率。

L：產品生命周期。

π：產品生命周期內的折現總利潤。

2.3 需求模型

需求函數由初次購買需求和重復購買需求兩部分構成。初次購買需求由產品價格、質保期和擴散效應共同決定。初次購買需求模型我們引用Huang Hongzhong等[12]的研究成果：

事實上這個初次購買需求模型由Glickman等[10]的質保期-價格模型和Bass[21]的創新品擴散模型組合形成的，下面分別介紹。

需求模型的前半部分k1(w(t)+k2)αp(t)-β來自Glickman模型。模型假設需求與價格負相關，與質保期正相關，k1>0，k2≥0，0<α<1，β>1。k1是放大系數，k2是個時間系數以保證質保期為0時模型依然成立，α和β是質保和價格的需求彈性系數。模型的后半部分來自Bass 模型，體現了擴散效應對需求的影響。這里N(t)是t時刻的初次購買累計銷量，NM是初次購買的市場容量，ψ是創新者的影響，N(0)=N0，N0表示規劃期開始以前的初次購買累積銷售量，或表示銷售經驗。Bass模型將人群分為創新者和追隨者，創新者帶來的需求與尚未購買該產品的總人數正相關，即與NM-N(t)正相關。追隨者帶來的需求不僅與NM-N(t)正相關，還會受到已經購買了該產品的顧客影響，即與N(t)正相關。

已經發生了初次購買的顧客可能由于多種原因發生初次購買。王軒和劉麗文(2014)[1]對重復購買過程進行建模，認為重復購買帶來的需求等于初次購買累計銷量N(t)乘以重復購買率Λ，同時重復購買過程受到價格的影響。

r(t)=ΛN(t)h1(p)

這里h1(p)是重復購買過程對價格的反應函數，表明產品價格對重復購買過程的影響。這里我們采用指數形式描述：

H1(p)=e-χp(t)

其中χ>0表示價格彈性系數，這種指數形式的需求函數在很多研究中被采用，例如Mesak等[22]。

本文的重要假設是提高服務質量會促進顧客的重復購買行為。因此重復購買需求建模的關鍵是建立服務質量與重復購買過程之間的聯系。根據假設，重復購買需求是服務質量s(t)的增函數。

綜上，本文對重復購買帶來的需求r(t)建模如下：

r(t)=ΛN(t)h1(p)h2(s)

這里h2(s)是重復購買需求對服務質量的反應函數，是關于s的增函數，即dh2(s)/ds>0。不妨假設為h2(s)=(s(t)+k3)γ,k3≥0,1>γ>0。其中k3是調節參數，保證服務質量為0時模型依然有意義。γ表示重復購買對于服務質量的敏感度。

對重復購買需求積分可以得到重復購買累計銷量：

需要說明的是，質保期影響需求的內在機理是其對于產品質量的信號示意功能，顧客在初次購買的時候不了解產品質量的信息，需要把質保期作為產品質量的有效信號。在顧客做重復購買的決策時，顧客已經對產品質量有了充分的了解，因此質保期失去了信號示意的功能，因此在本模型中重復購買不受到質保期的影響。

至此我們得到需求模型：

q(t)=f(t)+r(t)

2.4 成本模型

對制造商來說每件產品的成本包括生產成本、質保成本和服務質量保障成本。本文模型中產品的生產成本是固定值，因此可以將其歸一化，模型中的價格可以理解為減去了生產成本的價格。我們只討論質保成本和服務質量保障成本。

質保成本指質保維修發生時產品的維修材料和人工成本等基本費用，這部分費用是不可縮減的，否則廠家將承擔違約責任。假設產品發生兩次故障之間的時間服從指數分布，故障時間的累計分布律為F(t)=1-e-δt。其中t是產品使用時間，δ是產品故障率，單位產品在質保期w內的平均損壞次數可表示為ρ(w)=δw。假設每次故障維修成本固定為cr，單位產品的質保成本為：crρ(w)=crδw。

服務質量保障成本是指制造商為了保障一定的服務質量所付出的額外成本，具體指制造商為了盡量縮短故障件的維修時間而增加庫存水平、增加維修站點、提高管理費用等活動帶來的成本。服務質量保障成本與制造商的服務競爭策略密切相關，服務水平越高，這部分成本也越高。在研究質量的成本時，通常假設成本是質量的增函數且為凸函數(例如Teng等[23])，即dc(s)/ds>0,d2c(s)/ds2>0。基于這樣的假設我們對單位產品的服務質量保障成本建模：

cs=k4s(t)φ,k4>0,φ>1

其中s(t)是服務質量，k4是調節參數，φ表示服務質量保障成本對于服務質量的敏感度。0

2.5 利潤模型

在需求建模和成本建模的基礎上，我們得到制造商在規劃期內的利潤函數：

模型中T是規劃期，η是折現率，p(t)是t時刻的產品價格，w(t)是t時刻的質保期長度，s(t)是t時刻的維修服務水平。

3 模型求解

為了方便表示，在不引起歧義的情況下后文都省去各變量的時間參數，除非特別說明，p和p(t)表示相同的意思。

此模型是最優控制問題，模型包含三個控制變量和一個狀態變量，可以應用龐特里亞金最大值原理求解。這里需要引入一個被稱為協狀態變量的新變量，用λ表示，它的經濟含義是狀態變量N的邊際價值。

應用最大值原理首先需要構建漢密爾頓函數，用H表示：

H=(p-c(w,s))[f(p,w,N)+r(p,s,N)]+λf(p,w,N)

為了方便表示，可將函數中的變量省去，將H簡寫為下面形式：

H=(p-c+λ)f+(p-c)r

(1)

其中協狀態變量λ滿足下面微分方程：

(2)

相應的求解漢密爾頓函數關于狀態變量的偏微分HN：

HN=(p-c+λ)fN+(p-c)rN

(3)

將(3)式帶入(2)式進行化簡可得關于協狀態變量λ的微分方程：

(4)

式(4)是關于λ(t)的微分方程，通過求解此方程可以得到λ(t)，它反映了增加一單位的狀態變量所帶來的經濟價值。

根據龐特利雅金最大值原理，控制變量p(t)，w(t)和s(t)的最優控制路徑上的值，滿足下面條件：

(5)

(6)

(7)

并且漢密爾頓函數對應的海塞矩陣HM是負定矩陣：

(8)

由海塞矩陣負定還可以得到下列條件：

Hpp<0

(9)

Hww<0

(10)

Hss<0

(11)

(12)

(13)

(14)

已知Hp,Hw和Hs是包含下列五個變量的函數：p,w,s,N,λ，而這五個變量又是時間t的函數。如果對Hp求時間t的導數，依據鏈式法則需要先對每個變量求導，然后相應變量再對t求導。

針對(5)-(7)等式兩邊分別對時間t求導可得：

(15)

(16)

(17)

兩邊分別乘以海塞矩陣的逆矩陣可以得到三個控制變量的最優路徑表達式：

(18)

4 最優解討論

4.1 一階條件

下面我們通過分析最優解的一階必要條件得到制造商的最優策略的一些啟示。對漢密爾頓函數分別求偏微分可以將(5)-(7)式展開：

Hp=f+r+(p-c+λ)fp+(p-c)rp=0

(19)

Hw=-cwf-cwr+(p-c+λ)fw=0

(20)

Hs=-csf-csr+(p-c)rs=0

(21)

化簡(20)式可以得到：

(22)

化簡(21)式可以得到：

(23)

可得：

(24)

我們知道λ(t)>0，因此在產品生命周期內都有：cw/fw>cs/rs。這個不等式的經濟意義是，通過提高服務質量來促進需求比通過延長質保期促進需求更有效率。

將(22)和(23)帶入(19)可以得到：

(25)

根據假設我們知道fw>0,fp<0,cw>0以及rs>0,rp<0,cs>0，因此(25)式是可以得到滿足的。此外(25)式也具有一定的經濟意義。fp表示提高價格對需求的抑制作用，體現為消費者的支付意愿，fw表示延長質保期對需求的促進作用， cw表示延長質保期的邊際成本。由此我們看到制造商在制定質保期時應該使得質保期增加帶來的成本等于消費者的支付意愿。同理制造商確定服務水平時也應該保證服務水平增加帶來的成本等于消費者的支付意愿。

4.2 二階條件

(9)-(11)三個不等式是最優解的二階必要條件，對漢密爾頓函數求二階偏導數：

(26)

(27)

Hss=-cssq-2csrs+(p-c)rss<0

(28)

上面三個不等式是最優策略的必要條件。經檢驗(27)和(28)總是成立。因此我們可以把(26)式作為檢驗最優策略的基礎條件。

下面我們分析三個變量的混合偏導數：

(29)

Hps=Hsp=rs-csqp+(p-c)rps

(30)

Hws=Hsw=-cwrs-csfw

(31)

(29)和(30)式不能看出明顯的結論，分析(31)式可知Hws<0，因此得到以下結論：

服務質量會減小質保期的邊際利潤，同時質保期也會減小服務質量的邊際利潤。

這個結論可以為制造商的決策提供一定的參考。結論表明在最優策略下質保期和服務質量是反向變化的，企業需要在質保期和服務質量之間進行權衡，要么選擇較長的質保期輔以較低的服務質量要么選擇較短的質保期輔以更高的服務質量。最優策略下延長質保期的同時需要相應的降低服務質量，提高服務質量的同時需要相應的縮短質保期。

4.3 最優策略

我們利用線性代數的知識得到了關于三個控制變量的最優解表達式，即(18)式。本節進行進一步討論。

帶入具體式子可得：

其中：

H3=-csffN-csfrN+(p-c)frsN

由于HM是一個對稱負定矩陣，因此HM-1可以等價變換成一個對角線矩陣，且對角線上的值都是負值。根據矩陣相乘的運算法則，我們知道等式左右兩側的列向量符號相同。由此我們得到定理1。

定理1：

5 最優策略的具體應用

到目前為止，我們對最優解的分析討論都局限于符號函數的層面，這保證了我們結論的通用性。建模部分我們對每個函數都給出了具體的表達式，本部分將函數的具體形式帶入通用解，分析靜態市場這一特殊情況，并通過數值試驗的方式討論動態市場的情況。

5.1 靜態市場分析

靜態市場是指口碑效應不明顯的產品市場，顧客的購買多為個人獨立決策，不太受到已經購買該產品的用戶的影響。此類產品多為價格較低的產品，例如一些價格較低的小家電?？紤]靜態市場下有：fN=0，η=0。

下面通過應用定理1分析靜態市場下價格、質保期和服務質量的變化規律。

H1=(1+(p-c)(β-χ))frN

根據定理1，若β>χ則H1>0，即應該提高產品價格。反之則降低價格。在靜態市場下，若初次購買的價格彈性大于重復購買的價格彈性，則制造商在產品生命周期內應該不斷的提高價格以獲得最大的利潤。若初次購買的價格彈性小于重復購買的價格彈性，則制造商在產品生命周期內應該不斷的降低價格以獲得最大的利潤?，F實生活中，重復購買的價格彈性往往大于初次購買的價格彈性，因而產品生命周期內的價格調整也以降價居多。

H2=-cwfrN-(p-c)fwrN

根據定理1，由于cw>0，f>0，fw>0，rN>0，顯然有H2<0。在靜態市場下，制造商為了在產品的生命周期獲得最大利潤，最優的質保期決策是開始給一個較長的質保期以促進銷售，然后逐漸的縮短質保期。

H3=fΛe-χp(s+k3)γ-1((p-c)γ-cs(s+k3))

根據定理1，若(p-c)γ>cs(s+ks)，則H3>0，即應該提高服務質量。反之則降低服務質量。其經濟意義是，若提高服務質量的邊際收益大于邊際成本，則應該提高服務質量，若提高服務質量的邊際收益小于邊際成本，則應該降低服務質量。

5.2 動態市場分析

動態市場是指存在口碑效應的市場，消費者的購買行為會受到其他購買者的影響。動態市場下的定理應用比較復雜，本節通過數值試驗描繪出價格、質保期和服務質量的最優變化軌跡。通過分析其變化軌跡，檢驗我們的結論。

將優化模型的具體函數形式帶入如下：

其中p，w，s，N均是隨時間變化的變量，這里為了方便表示，省略了時間參數。為了便于數值分析，將此模型離散化：

這里把規劃期離散成n期決策，其中：pi，wi和si分別對應第i期的價格、質保期和服務質量，Ni是到第i期為止初次購買的累計銷量。經過離散化，把最優控制問題轉化為有3n個變量的非線性優化問題。最優解即反映了價格、質保期以及服務質量的最優控制軌跡。

為了完成數值試驗，需要對參數進行賦值。由于我們引用了Huang Hongzhong等[12]的初次購買需求模型，我們也采用他們的參數設定：

此外還有一些變量和參數是本文新增的，其中包括：重復購買率Λ，服務質量的需求參數k3和γ，服務質量的成本參數k4和φ以及重復購買需求的價格彈性系數χ。這些參數我根據模型的假設條件可知其取值范圍：

重復購買率：Λ>0。

服務質量的需求參數：k3≥0,1>γ>0。

服務質量的成本參數：k4>0,φ>1。

重復購買需求的價格彈性系數：χ>0。

假設進行5期決策，利用Lingo11可以求解此問題，優化結果如下：

表1 最優服務質量、價格和質保期

三個控制變量的最優變化軌跡如表格1所示，價格和質保期呈現先增后減的變化規律，服務質量呈現先減后增的變化規律。質保期和服務質量的變化規律也符合我們利用結論1的判斷。

6 結語

本文針對大眾消費品的質保決策問題，構建了一個以質保期、價格和質保維修服務質量為決策變量的最優控制模型。在以往的研究中常常忽視質保維修服務質量這一因素的決策和控制。本文假設提高質保服務質量能夠帶來更多的重復購買，并以此為基礎構建了需求模型和成本模型。在完整建模的基礎上，應用最大化原理對模型進行了求解，并且對求解結果進行了應用討論。

研究結果顯示質保服務質量與價格、質保期是聯動的決策變量，需要進行聯合決策，以往的研究中忽視質保服務質量是不夠準確的。質保期和質保服務質量存在相背關系，制造商需要在較長的質保期和較高的服務質量之間進行權衡。另一方面，本文還對制造商的調整決策提供了三個指標，在制定決策的同時應該結合產品的市場反應情況，不斷檢查當前的策略是否正確，如果出現決策失誤應該及時調整。

本文將維修服務質量問題引入到質保策略決策的研究中，將研究的視角從單純的產品擴展到產品和服務的組合包中。現實生活中，單純的產品或單純的服務都比較少見，而產品和服務的組合存在大量的例子，因此本研究具有一定的現實意義。本研究通過模型的優化求解可以得到最佳的服務質量控制策略，這對企業的管理實踐具有一定的指導作用，具有應用價值。

本研究存在若干可以繼續研究的方向，本文考慮的質保期、價格和服務質量反映了產品生命周期的中產品投向市場之后的過程，而沒有考慮產品投向市場之前的研發設計環節。產品的研發設計直接決定了產品的故障率，進而影響產品的質保策略和質保成本，將產品質量相關的因素引入我們的模型，構建產品全生命周期優化決策模型是我們下一步的工作。

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Joint Warranty Decisions Research Considering Warranty Service Quality

WANG Xuan, LIU Li-wen

(School of Economics and Management, Tsinghua University, Beijing 100084,China)

Service quality becomes more and more important as after-sale service competitions become fierce in modern business. Scholars usually consider the joint decisions of warranty length and product price. In this paper, service quality decisions based on traditional warranty length and price optimization researches are concerned. Better service quality and warranty length can promote sales and raise the price. These three dimensions have dynamic relationship in product lifecycle, but few scholars consider them jointly. The market of consumer goods and developed optimal control problems including cost models, demand models and profit model were investigated in this paper. Manufactures’ profit is optimized by choosing optimal service quality, price and warranty length jointly. The maximum principle method is used to obtain solutions. The optimal policies for static market were further investigated and Lingo11 was used to do some numerical tests for dynamic market. This research can help manufactures make better warranty policy and give consumers better warranty service.

warranty；service quality；warranty length；price；repeated purchase；static and dynamic market；maximum principle

1003-207(2016)02-0047-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.02.006

2014-08-24；

2015-03-05

國家自然科學基金資助項目(70972030)

簡介：王軒(1985-)，男(漢族)，河南人，清華大學經濟管理學院，博士生，研究方向：管理科學與工程，E-mail:wangx3.11@sem.tsinghua.edu.cn.

C931

A