基于多層次蒙特卡羅方法的巴黎期權定價

宋 斌，林則夫，張冰潔

(1.中央財經大學管理科學與工程學院 北京 100081；2.北京航空航天大學管理學院 北京 100191)

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基于多層次蒙特卡羅方法的巴黎期權定價

宋 斌1，林則夫1，張冰潔2

(1.中央財經大學管理科學與工程學院 北京 100081；2.北京航空航天大學管理學院 北京 100191)

巴黎期權是由障礙期權發展起來的一種復雜的路徑依賴期權，其允許期權持有者在標的資產價格滿足在某個給定的價格水平(障礙價格)之上或者之下連續或累計停留預先設定的一段時間的條件下，以預先約定的價格(執行價格)買入或賣出某種標的資產。目前巴黎期權定價的主流數值方法有二叉樹方法、有限差分法和蒙特卡羅方法。論文的研究結果表明，在給定的精度條件下，與標準蒙特卡羅方法相比，多層蒙特卡羅方法能夠將運算成本從O(ε-3)減少到O(ε-2(logε)2)；反之，在給定的計算成本條件下，相對于標準蒙特卡羅方法，多層蒙特卡羅方法能夠更快地收斂到真值附近。本文將其應用于巴黎期權的定價計算中，增加了巴黎期權的數值算法選擇范圍，并提高了巴黎期權定價的精度。

巴黎期權；標準蒙特卡羅算法；多層蒙特卡羅算法；計算成本

1 引言

巴黎期權是一種復雜的路徑依賴期權，根據持續時間類型，可以分為累計巴黎期權(Cumulative Parisian Option)和連續巴黎期權(Consecutive Parisian Option)和移動窗口巴黎期權(Moving Window Parisian Option)。目前巴黎期權的主要的研究方法有概率方法、偏微分方程(以下簡稱PDE)方法以及數值方法。概率方法最先是由Chesney、Jeanblanc和Yor[1]提出，該文得出了巴黎期權價格的拉普拉斯變換形式，但并沒有給出相應的逆拉普拉斯數值解Haber、Schonbucher和Wilmott[2]從PDE的角度給出了連續巴黎期權和累計巴黎期權的三維PDE，由于無法得到解析解，文章用顯性有限差分的方法對該PDE進行了數值計算。同樣，Vetzal和Forsyth[3]也使用了有限差分法對PDE進行求解，得出了相應結果并將該算法用在轉換期權(Switch Options)和階梯期權(Step Options)上。宋斌、周湛滿、魏琳和張冰潔[4]重新研究了巴黎期權PDE的邊界條件，運用方向導數寫出了新的PDE，并運用有限差分方法進行數值計算。Avellaneda和 Wu Lixin[5]提出了計算巴黎期權定價的三叉樹方法。Costabile[6]采用二叉樹(CRR)方法計算了具有常數障礙水平以及指數障礙水平的巴黎期權的價格。Anderluh[7]在連續時間框架下通過停時模擬的方法來計算累計巴黎期權和連續巴黎期權的價格。郭冬梅、宋斌和汪壽陽[8]給出了巴黎期權的倒向隨機微分方程表達式，并將其轉化為巴黎期權非線性定價的偏微分方程，并在金融市場收益率不確定的情形以及存貸利率不同的情形下進行定價和具體的數值分析。巴黎期權還可以應用于投資決策領域。譚英雙、衡愛民和龍勇[9]在不對稱雙頭壟斷期權博弈模型基礎上討論了利潤流現值和沉沒投資成本為梯形模糊數的情形并進行了擴展，構建了模糊環境下追隨者領導者的投資價值和投資臨界值的模糊表達式并進行數值分析。

與其他數值方法相比，蒙特卡羅方法一是具有算法靈活、易于實現和改進的優勢；二是模擬估計誤差及收斂速度與所要解決問題的維數有較強的獨立性，因而能夠較好地解決復雜衍生證券的高維定價問題。例如在連續時間框架下，移動窗口巴黎期權的PDE將是一個無限維PDE，而蒙特卡羅方法可以較好地解決高維定價問題。當運用蒙特卡羅方法計算路徑依賴期權等較為復雜的衍生工具時，會產生較大的估計方差，而傳統的方差減少技術也無法達到理想的效果。研究結果表明，在給定精度條件下，與標準蒙特卡羅方法相比，多層蒙特卡羅方法能夠有效降低運算成本，因此更適合應用于巴黎期權的定價。巴黎期權提高了交易者操縱股價的成本，保護了交易對手的利益，較好地克服了障礙期權的局限性。

本文首次將多層蒙特卡羅算法用于巴黎期權，一方面在理論上拓寬了多層蒙特卡羅方法的應用領域。另一方面不僅提高了巴黎期權定價的精度，而且擴展了巴黎期權的數值方法選擇范圍，為巴黎期權的廣泛應用奠定了較好的數值方法基礎。

2 多層蒙特卡羅方法

2.1 基本原理

假設標的資產價格滿足式(2.1)所示的幾何布朗運動：

dS(t)=aS(t)dt+bS(t)dW(t),0

(2.1)

由風險中性定價原理可知，對于給定的S0，要計算的期權價格是f(S(T))的期望值。其中，f(S)作為終端支付函數具有一致的Lipschitz邊界。即存在常數c，使得對于任意U,V有|f(U)-f(V)|≤c||U-V||。式(2.1)的一個簡單的以h為時間間隔的歐拉離散表達形式是:

(2.2)

(2.3)

為了使均方誤差控制在O(ε2)內，即要求N=O(ε-2)，h=O(ε)，從而計算的復雜性即計算成本就是O(ε-3)。通過多層蒙特卡羅模擬方法，在保持偏差不變的情況下計算成本可以減少到O(ε-2(logε)2)。多層蒙特卡羅方法具有便于實現的優點，并且原則上可以與其他的方差減小技術結合使用從而進一步降低計算成本。

多層蒙特卡羅方法擴展了Kebaier[17]的研究，應用了一個有不同步長的幾何序列，hl=M-1T，l=0，1，…,L，其中整數M≥2，最小步長hL對應于最初的h。h決定了歐拉離散偏差的大小。這種多重網格，每個格在每個方向上都比前一個格纖細M倍。通過將精細的網格和較粗網格結合，從而既降低了計算成本，也得到了較高的精確度。多層蒙特卡羅方法的本質是即保留與最小步長關聯的偏差，但是用較大步長的計算結果降低計算成本，最終減少方差。

2.2 多層蒙特卡羅方法

(2.4)

(2.5)

對于l=1,…,L來說，有下式:

因此:

(2.6)

由上可知，雖然我們用不同的層數來估計E[f(X)]，且每層都有不同的離散誤差，最終結果的精度取決于最優的層數L。

(2.7)

(2.8)

(2.7)式右邊的第二項為偏差的平方，假設O(hl)對于每個l來說都是弱收斂，可以得到整個方法的偏差O(hL)=O(M-L)，為了得到想要的精度，我們希望誤差接近于ε，因此可以得到:

L=-logMε=logε-1(logM)-1=O(logε-1)

由上述估計，可以得到多層蒙特卡羅方法整體計算成本近似于:

(2.9)

顯而易見，當ε→0時，有ε-1?(logε)2。由此可以看出多層蒙特卡羅方法的計算成本比標準蒙特卡羅(C=O(ε-3))有顯著降低。

2.3 偏差估計

(2.10)

(2.11)

在后續研究中算法實現中所用的條件是:

(2.12)

這保證了基于兩個最優步長的殘差都在希望的誤差范圍內。

3 多層蒙特卡羅方法的數值分析

3.1 多層蒙特卡羅定價巴黎期權的算法思路

算法思路如下：

(2.13)

(4)如果L≥2，用等式(2.13)來測試收斂性；

(5)如果L≤2或者不收斂，令L=L+1并且回到步驟2；

3.2 連續型巴黎期權

假設股票為標的資產，以St表示標的資產價格，K表示執行價格，T表示合約存續期，r表示無風險利率，σ為標的資產波動率，Wt為標準布朗運動。其中St滿足以下幾何布朗運動(風險中性測度下):

dSt=rStdt+σStdWt

由伊藤引理可得:

(3.1)

其中Δt=T/m。巴黎期權與歐式期權最大的差異在于巴黎期權具有持續時間D的條款，而標的資產價格路徑仍然滿足式(3.1)。令τ表示標的資產價格在障礙水平之上(下)連續時間的長度，那么對于向上的障礙，我們可以如下定義τ:

τ(t)=t-sup{t′≤t|S(t′)≤B}

(3.2)

同理對于向下的障礙，τ為:

τ(t)=t-sup{t′≤t|S(t′)≥B}

(3.3)

若以向下敲出看漲巴黎期權為例，任取一條標的資產價格路徑，此時累計持續時間τ滿足(3.3)，當τ(t)≥D時，期權敲出，該條路徑期權到期支付與歐式期權相同。根據以上討論再結合標準蒙特卡羅的求解步驟，可以得到連續型向下敲出看漲巴黎期權定價如式(3.4)所示，其樣本路徑生成和選取方式的具體選取方法見上述的算法步驟。

(3.4)

圖1 層數l與方差之間的關系

圖1中Pl為標準蒙特卡羅方法的方差，Pl-Pl-1為多層蒙特卡羅方法的方差，由圖1中可知，隨著l增加，多層蒙特卡羅的方差比標準蒙特卡羅的方差明顯減小，這說明多層蒙特卡羅能夠明顯減少方差。

圖2則說明了層數l與每層新增路徑條數ΔNl之間的關系，由圖2可知，隨著層數的增加，每層增加的路徑條數相應減少，即相應增加一層，只需要增加ΔNl條路徑即可完成計算，因此計算成本也相應的降低。從圖2中還可以看出，當ε減小時，每層新增路徑數ΔNl是增加的，這是因為當精度提高時，相應的計算成本增加。在此參數下，由多層蒙特卡羅方法計算得出的連續型巴黎期權價格為3.5563。

圖2 層數l與每層新增路徑條數ΔNl之間的關系

3.3 累計型巴黎期權

(3.5)

同樣取S0=30，K=28，B=29，r=0.04，T=1，σ=0.25，D=0.1，ε=0.001，多層蒙特卡羅計算出累計型巴黎期權的價格為3.1846，而使用標準

蒙特卡羅方法計算出的累計型巴黎期權價格為3.2049。圖3是采用多層蒙特卡羅方法計算出的累計巴黎期權精度分析中的相關參數。

由圖2可知，在精度一定的條件下，隨著計算層數l的增加，多層蒙特卡羅方法的方差逐步減小，遠小于標準蒙特卡羅方法的方差。并且隨著層數l的增加，每層所需計算的新增路徑條數ΔNl減少，計算成本也隨之明顯下降。即在給定的精度條件下，多層蒙特卡羅方法的相應的計算成本遠低于標準蒙特卡羅方法。隨著精度要求的提高，每層需要新增加的路徑條數ΔNl也相應增加，即對精度要求的提高自然增加了計算成本。

圖4對比了多層蒙特卡羅方法與標準蒙特卡羅方法的計算成本，由圖4可知，在精度都為0.01的情況下，使用標準蒙特卡羅方法的計算成本為10左右，而使用多層蒙特卡羅方法的計算成本為10-1左右，多層蒙特卡羅方法計算成本遠小于標準蒙特卡羅方法的計算成本，由此可知使用多層蒙特卡羅方法可以有效地降低計算成本。

3.4 移動窗口巴黎期權

圖3 累計巴黎期權的精度分析示意——多層蒙特卡羅

由此可知，移動窗口向下敲出看漲巴黎期權的價格為:

(3.6)

圖4 多層蒙卡與標準蒙卡計算精度對比分析

移動巴黎期權的多層蒙特卡羅計算結果和相關精度分析與前兩種巴黎期權趨勢基本相同。移動窗口巴黎期權除了上述參數之外， 還需要一個窗口期

C，這里給定窗口期C=0.2。下面將比較分析采用多層蒙特卡羅方法和標準蒙特卡羅方法計算的三種巴黎期權的價格，從而進一步展示多層蒙特卡羅方法的正確性和優勢。

3.5 多層蒙特卡羅方法與標準蒙特卡羅方法計算結果對比

圖5中左圖為標準蒙特卡羅方法計算得到的巴黎期權價格，右圖為由多層蒙特卡羅方法計算得出的巴黎期權價格。由于移動巴黎期權的窗口期等于0.2，因此當徘徊時間D等于0.2時，移動窗口巴黎期權退化為連續型巴黎期權。無論是從圖5還是從表2的數值計算結果都表明，這兩個期權的價格在D等于0.2是價格曲線是交于一點的，從而側面驗證了多層蒙特卡羅方法計算巴黎期權的正確性。當然這一關系對于標準蒙特卡羅方法也是成立的。由圖5中還可以看出，巴黎期權價格趨勢基本相同，但是可以清晰看出多層蒙卡計算結果繪出的價格曲線要比標準蒙特卡羅方法所得到的價格曲線平滑很多，說明多層蒙特卡羅方法明顯提升了計算的精度和效率。

表1、表2則分別給出了用標準蒙特卡羅方法和多層蒙特卡羅方法計算的三種巴黎期權價格的具體數值結果。

圖5 三種巴黎期權的價格對比分析——標準蒙卡和多層蒙卡

表1 標準蒙特卡羅計算的三種巴黎期權價格

表2 多層蒙特卡羅計算的三種巴黎期權價格

4 多層蒙特卡羅方法的優勢

下面主要從與標準蒙特卡羅方法的對比總結中闡述多層蒙特卡羅方法的優勢。

4.1 計算精度方面的優勢

由圖6中的上圖可知，當標的資產價格路徑為100,000條時，采用標準蒙特卡羅方法得到的計算結果仍然在4.6-4.7之間震蕩，此時的計算精度大約為0.1，而從圖6中的下圖對應的多層蒙特卡羅方法來看，在100,000條路徑時，相應的精度已達到0.0002范圍內，其精確度與起標準蒙特卡羅方法有大幅提升。

圖6 多層蒙特卡羅方法與標準蒙特卡羅計算效率比較

因此可知，當計算成本相同的情況下，多層蒙特卡羅方法克服了標準蒙特卡羅計算期權價格存在的收斂性較差的問題，從而能夠更快地達到相同的計算精度。

4.2 計算成本方面的優勢

在計算精度一定的情況下，標準蒙特卡羅的計算復雜性即計算成本就是O(ε-3)。而對于多層蒙特卡羅方法，計算成本可以減少到O(ε-2(logε)2)，降低了半個數量級左右，在計算規模較大時，就可以明顯體現出計算成本的優勢。圖7很好地說明了兩種蒙特卡羅方法同等精度條件下計算成本的優劣。

圖7 兩種蒙特卡羅方法計算成本對比

由此可知，多層蒙特卡羅方法最大的優勢在于：在給定的精度條件下，相對標準蒙特卡羅方法，多層蒙特卡羅方法能夠有效地將計算成本從O(ε-2(logε)2)降低到O(ε-3)；反之，在給定的計算成本條件下，相對標準蒙特卡羅方法，多層蒙特卡羅方法能夠更快的收斂到真實值附近。

5 結語

由于克服了維度詛咒問題，蒙特卡羅方法更適合給強路徑依賴期權定價；而多層蒙特卡羅方法能夠有效地改進標準蒙特卡羅方法，在給定的精度條件下，有效的降低了計算成本，將計算成本從標準蒙特卡羅方法的O(ε-3)降低到了O(ε-2(logε)2)；同時在給定的計算成本條件下，相對標準蒙特卡羅方法，多層蒙特卡羅方法的能夠更快地收斂到真實值附近。

但是該算法還有一些不確定性，首先，它并不能保證一定能得到一個值為O(ε2)的均方誤差。其次，每個層次的方差估計值的準確度取決于初始樣本集的大小。這將是論文未來研究方向。

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Pricing Parisian Option by Multi-level Monte Carlo Method

SONG Bin1, LIN Ze-fu1, ZHANG Bing-jie2

(1.School of Management Science and Engineering,Central University of Finance and Economics,Beijing 100081,China;2.School of Management,Beihang University,Beijing 100191,China)

Parisian option is a complex path-dependent option extended from the barrier options, which allows the holder buy or sell a certain underlying asset at a pre-specified price under the condition that underlying asset price above or below a given level of a continuous or cumulative occupation time before maturity. The numerical methods for pricing Parisian option include binomial tree method, finite difference method and Monte Carlo method. Compared with other numerical methods, Monte Carlo method is more flexible and easy to implement and improve; moreover, its estimation error and convergence speed has stronger independence with the dimensions of the problem to be solved, and thus can solve the target variable of high-dimensional derivative securities pricing better.In this paper the Parisian option is priced using the Monte Carlo method, and improves the standard Monte Carlo algorithm is improved to multi-level Monte Carlo algorithm. Our research results show that under the given accuracy, multi-level Monte Carlo algorithm can reduce the calculation costs fromO(ε-3) to O(ε-2(logε)2) comparing with the standard Monte Carlo method. On the other hand, under given calculation cost, multi-level Monte Carlo method can converge to the true value faster comparing with standard Monte Carlo method. Applying this method to Parisian option pricing not only expanses the choice scope of Parisian options’ numerical algorithms, but also improves the precision of Parisian option pricing, and lays a certain foundation for Parisian options’ application in the domestic market.

Parisian option; standard Monte Carlo method; multi-level Monte Carlo method；computation cost

1003-207(2016)02-0011-08

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.02.002

2014-12-16；

2015-09-17

教育部人文社會科學研究規劃基金(14YJA790048);國家自然科學基金資助青年項目(11301560)；國家自然科學基金資助青年項目(71301173)

簡介：宋斌(1971-)，女(漢族)，山西人，中央財經大學管理科學與工程學院投資系，系主任，研究方向：復雜衍生產品的定價與數值計算、倒向隨機微分方程在經濟與金融中的應用、利率市場微觀結構與訂單簿建模、利率期限結構建模，E-mail:selviasong@163.com.

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