3.78787……的循環節是什么

覃祝書

近段時間有老師在教學五年級上冊《循環小數》一課時，爭論這樣的一個問題：3.78787……的循環節到底是78還是87呢？

認為3.78787……的循環節是87的老師觀點認為：現在這個小數的小數部分重復、完整寫出的是87，因此循環節就是87；如果它再寫一個8，這個小數寫成3.787878……，那它的循環節就變成了78。

認為3.78787……的循環節是78的老師觀點為：

1、從概念定義判斷。教科書對“循環小數”是這樣定義的：一個小數的小數部分，從某一位起，一個數字或者幾個數字依次不斷重復出現，這樣的小數叫做循環小數。尋找“依次不斷重復出現”的“一個數字或者幾個數字”，是要從“一個小數的小數部分”的“某一位起”開始找，即從小數點后第一位（十分位）從左往右開始找有無“依次不斷重復出現”的“一個數字或者幾個數字”。（ “依次不斷重復出現”包含從左往右這樣的順序，不會有人認為也可以從后往前“重復出現”吧？）

2、從知識點生成索源。在除法中，當“被除數”不能被“除數”整除（即除不盡）時，商會出現兩種情況：①不斷出現余數，且余數各不相同毫無規律，于是商是無限不循環小數；②不斷出現余數。但余數總是一個或幾個有規律地反復出現，于是商是（無限）循環小數。第2種情況在除的過程中，商“依次不斷重復出現”的“一個數字或者幾個數字”，就是從小數點后從左往右出現的。

3、從數字的本質歸原。出現這樣的教學異議或爭議，主要是老師們糾結在：3.7878……的循環節毫無爭議地是78，而3.78787……多寫了一個數字7，哪循環節該是什么？我們不妨先來問答三個問題：①在除法算式（豎式）中，如果算式一的商是3.7878……，算式二的商是3.78787……，你認為這兩道除法算式（豎式）是完全一樣嗎？②3.7878……和3.78787……兩數大小比較，是不是相等呢？③3.7878……和3.78787……這兩個小數的小數點后第20位（或第100位……）的數字是不是相同的呢？相信你的答案都是肯定的。這兩個數字本質上就是同一個小數，因而它的內部結構或特征都是一樣的，循環節也是這樣的一個小數中的一個固定不變的內部結構或特征之一。從眾多不同中歸納相同之規律，從眾多變化中尋找不變之本質，是數學學習的本質根源。應用到社會生活，那就是：不管你換了多少身馬甲，你還是你。

我個人認同第二個觀點。尋找一個循環小數的循環節時，要從小數點后第一位開始判斷，小數點后第一位不是的，緊接著判斷小數點后第二位，依此類推。比如循環小數0.3333……，我們必須確認它從十分位就開始循環的，而且標注循環點時必須標注在十分位的3上方，這體現了數學的最簡化性思想。

第一個觀點違背了數學知識系統的前后關聯性、承接性，是毫無根據可言的，是形而上學的教學法，只能導致學生解決問題看表象，不深究內在關聯。為免這樣的教學方法發展成教學觀，故撰此文。

研為教而研，在教學中完成育人目標。這是我所理解的“教書育人”。教學要爭論。膚淺之見，望廣大數學教師展開大討論，并不吝賜教！