構造概率模型證明組合恒等式

張旭

摘要：排列、組合是學習概率論的重要工具。反過來，通過構造適當的概率模型又可以證明組合數學的一些重要性質。本文通過構造概率模型，證明了3類10個組合恒等式。

關鍵詞：組合恒等式；概率模型

一、引言

1、問題提出。組合數學是數學的一個重要分支，而組合恒等式的研究又是組合數學的一個重要內容之一。由于組合恒等式在概率中有著極為廣泛的應用，又是研究概率論的重要工具，因此我們同樣可以反過來構造適當的概率論模型去證明一些組合恒等式。從而使一些復雜的恒等式證明變得簡單易懂。

2、文獻綜述。文獻[1]用貝努里概率模型證明了組合恒等式，能夠使得一些看似復雜的組合恒等式證明變得更加容易。文獻[2，3，10]用“古典概率模型”中的抽球模型證明了組合恒等式，通過此模型對問題的解決，使我們得到了一個一般的概率思想方法。文獻[11]用幾何概率思想并運用了超幾何概率公式，全概率公式以及完備事件組性質證明了組合恒等式，而本文則通過三種模型的結合證明了組合恒等式，使概率的思想方法在組合恒等式的證明中得到了更充分的利用，并對恒等式證明進行了歸類，體現了學科與學科之間的相互應用。

二、三種模型的證明

1、構造抽球模型證明組合恒等式。抽球模型問題是概率論中“古典概率模型”的一類基本問題，我們可以構造抽球模型來證明一些組合恒等式。

2、構造幾何概率模型證明組合恒等式。對于組合數學中的一些恒等式，通過構造幾何模型進行證明能夠使得這些等式的證明變得更加清晰明了。下面就是三個通過構造幾何模型證明的組合恒等式。

3、構造貝努里概率模型證明組合恒等式。證明組合恒等式的方法有很多，而通過構造貝努里概率模型證明組合恒等式能夠使得一些看似復雜的組合恒等式更加便捷。

等式得證

此題利用幾何分布的性質，期望及方差得到證明。在這里我們運用上面的三種構造概率模型的方法證明了我們常見的十個組合恒等式。構造概率模型的方法還可以解決許多其它的組合恒等式如：

參考文獻

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