《數字信號處理》中存在的難點問題解析

王海鵬　叢瑜　王萌

摘要：《數字信號處理》這門課程中，概念多，公式復雜，許多難點問題成為了學生學習過程中的絆腳石，如線性卷積、周期卷積和圓周卷積的概念，三種傅里葉變換的概念及相互之間的關系等。本文在具備大量教學經驗基礎上，針對難點問題進行解析，讓學生能夠理清思路，撥開云霧，以此激發學生的積極性。

關鍵詞：數字信號處理； 卷積； 傅里葉變換

中圖分類號：G434文獻標志碼：A文章編號：2095-9214（2016）12-0083-02

數字信號處理[1]作為信息處理、電子工程等專業的專業基礎課程，有很強的理論性和實踐性，對于學生從事電子類的工作和繼續深造電子信息類專業，都有不可低估的基石作用。但是由于這門課程公式繁雜、理論性強、很抽象，所以學生在學習過程中顯得有些力不從心。為了能夠解決學生在學習中普遍遇到的一些難點問題，本文做了詳細的解析。

一、線性卷積、周期卷積和圓周卷積

卷積[2]是數學運算中的一種重要運算，也是信號處理中的一個重要理論。在線性系統中，如果輸入信號是x（n），系統的沖激響應是h（n），則輸出信號為x（n）和h（n）的卷積。卷積描述了信號通過系統后的變換，反映了線性時不變系統中輸入和輸出的關系，但是在數字信號處理中出現了三種卷積，線性卷積、周期卷積和圓周卷積，這三種卷積往往使學生感到很迷惑，容易混淆。

線性卷積：y（n）=x（n）h（n），x（n）的長度為N1，h（n）的長度為N2；

周期卷積：（n）=（n）（n），（n）和（n） 的周期為N ；

圓周卷積：y（n）=x（n）h（n），x（n） 和 h（n）的長度均為N，不足者補零。

首先三種卷積針對的對象不同，線性卷積針對的序列x（n）和h（n）是任意的兩個序列，而周期卷積針對的是兩個周期序列和，而且周期同樣都為N。圓周卷積針對的對象是有限長序列（n） 和（n），而且圓周卷積和周期卷積沒有本質的區別，它和周期卷積的過程是一樣的，只不過結果只取了主值區間而已。其次三種卷積后的序列的長度有所不同。假設輸入序列x（n） 的長度為 N1，h（n）的長度為N2，則線性卷積后序列的長度L為N1+N2-1。周期卷積后的序列依然是一個周期序列，而且周期跟輸入序列的周期一樣都為N。圓周卷積后序列的長度也為N，注意這里的N是周期序列的周期，N可能大于L，也可能小于L。當N≥L時，線性卷積和圓周卷積的結果是一樣的，當N≤L時，N點的圓周卷積是線性卷積的結果以N點為周期的周期延拓序列的主值序列。如果學生能夠從這兩個方面對三種卷積進行比較的進行學習，將會使得對問題的理解更容易些。

二、離散時間傅里葉變換（DTFT）、離散傅里葉級數（DFS）和離散傅里葉變換（DFT）

在教學過程中，需要對學生強調的是，本門課程的重點是離散傅里葉變換。DTFT和DFS實際上是學習DFT之前的預備知識，DFT才是數字信號處理的核心知識。所以在學習過程中，一定要遵循既要相互區別又要相互聯系的學習方法，才能真正地理解所學知識點[3]。

傅里葉變換是法國數學家和物理學家傅里葉在1807年發表了一篇論文，提出任何連續周期信號的都可以由一組適當的正弦曲線組合而成，從而開辟了分析信號的另一個領域——頻域。傅里葉變換顯然是時域和頻域的對應關系，在理解DTFT、DFS和DFT時，顯然要弄清楚這三種變換在時域和頻域的相同點與不同點。

首先在時域上，離散時間傅里葉變換（DTFT）的研究對象是任意一個序列，例如正弦序列，離散傅里葉級數（DFS）研究的對象是周期序列，如復指數序列ejωn，而離散傅里葉變換（DFT）的研究對象是有限長的序列，如矩形序列RN（n）。

其次在頻域上，離散時間傅里葉變換的頻譜是連續且周期的函數，周期為2π。傅里葉技術的頻譜是離散且周期的函數，周期為N。離散傅里葉變換的頻譜是離散且非周期的，長度為N。

在區別DFS和DFT的時候，一定要記住，DFS和DFT沒有本質的區別，DFT只不過是時域和頻域均取了一個周期的值而已。在DTFT和DFT的區別中，DFT是DTFT進行離散化后的取值。

三、z變換、拉普拉斯變換和離散時間傅里葉變換

z變換在離散時間系統中的作用如同拉普拉斯變換在連續時間系統中的作用一樣，它把描述離散系統的差分方程轉化為簡單的代數方程，使得求解大大的簡化。由于數字信號是又連續時間信號采樣得到的，故數字信號的z變換與被采樣的連續信號的拉普拉斯變換有密切關系。

學生往往對這三種變換之間的關系容易混淆，故將此關系進行梳理，找到相互聯系的關鍵點，才能很好的進行理解。首先由表1看出，三種變換的研究對象分別為x（n）、x（t）和x（n），這三種信號的關系是理解三種關系的關鍵，即x（n） 是由x（t）采樣得到的，在采樣點上，x（n）和x（t）的數值是一樣的。通過s平面到z平面的映射關系為紐帶，并由奈奎斯特定理可知，得到x（n）的z變換和被采樣信號x（t）的拉普拉斯變換之間的關系式為X（z）z = esT = 1T∑∞k = -∞Xa （s-j2πTk）。由該式可以看出，時域的抽樣導致了頻域的周期延拓，z變換中蘊含著周期性。

由表1第二列的關系式 z=ejω可以看出，序列在單位圓上的z變換，就是序列的離散時間傅里葉變換。

四、高密度譜和高分辨譜[4]

在分析數字信號的頻譜時，我們往往很關心信號的頻率分辨力，對于信號x（n），n1≤n≤n2，信號的長度為T0，如果想提高信號的頻率分辨力，必須增加信號的有效長度，使得信號的長度 TT0，如果通過在信號x（n）后補零來增加信號的長度，是不會增加頻率分辨力的。這個問題給歷屆學生帶來過困惑，很多學生會認為，補零后增加了信號的長度，也就提高了信號的頻率分辨力，這其實是錯誤的。補零后只會使得信號的譜線更加平滑，即得到高密度譜，而不會增加信號的任何信息，從而不會提高頻率分辨力。

圖（d）和（e）只顯示了一個峰值，（e）較（d）更平滑，即補零使得譜線顯得更加平滑，消除了柵欄效應，但是無法分辨出更多的譜線。（f）中則出現了兩條譜線，即能夠將信號中的兩個頻率成分分辨出來，從而說明增加信號的有效長度，能夠提高信號的頻率分辨力。

結束語

本文所述四個問題，均為上課過程中學生所普遍遇到的難點問題，這些問題如同前進大道上的溝溝坎坎，容易讓學生陷進去出不來，如果能夠將這些問題迎刃而解，在學習數字信號處理這門課的過程中，思路將更加清晰明了，不僅能夠加深學生對知識的理解，提高學生解決問題的能力，而且能激發學生對學習的積極性和創造力。

（作者單位：海軍航空工程學院信息融合研究所）

參考文獻：

[1]程佩青.數字信號處理教程（第四版）.清華大學出版社，2013.08.

[2]于家誠.數字信號處理課程教學中需要解決的幾大關系.合肥師范學院學報，2009.05，第27卷第3期

[3]耶曉東.數字信號處理課程興趣教學法初探.高教論壇，2011.01第一期.

[4]栗學麗，劉琚.數字信號處理_教學中易混淆的問題討論.電氣電子教學學報，2009.08，第31卷第4期