積分形式的Minkowski不等式和逆Minkowski不等式的證明

高云天　霍云霄

摘要：Minkowski（閔可夫斯基）不等式在數學諸多領域中都有著重要的作用。本文首先證明了楊格不等式、積分形式的赫爾德不等式和逆赫爾德不等式，然后通過赫爾德不等式和逆赫爾德不等式證明了積分形式下的Minkowski不等式及逆Minkowski不等式。

關鍵詞：楊格不等式；赫爾德不等式；逆赫爾德不等式；Minkowski不等式；Minkowski不等式

doi：10.16083/j.cnki.1671-1580.2016.08.054

中圖分類號：0178

文獻標識碼：A

文章編號：1671-1580（2016）08-0172-03

Minkowski不等式在最優化控制，偏微分方程，泛函分析等領域中有著重要的應用。Minkowski不等式從提出（離散形式）到現在的一百多年的時間里，人們對Minkowski不等式進行不斷研究，得出了多種推廣形式，研究者們對Minkowski不等式證明也提出了多種方法。Minkowski不等式的積分形式是由里斯Riesz，F提出的，后來為建立L^p空間理論起到了重要的工具作用。

楊格不等式、赫爾德不等式和閔可夫斯基不等式之間有著密切的聯系，本文首先證明了楊格不等式，然后利用楊格不等式證明出了赫爾德不等式，利用赫爾德不等式證明出了逆赫爾德不等式，再通過赫爾德不等式和逆赫爾德不等式推導出閔可夫斯基不等式和逆閔可夫斯基不等式。

三、結語

楊格不等式和赫爾德不等式、閔可夫斯基不等式都是重要的經典不等式，在數學諸多領域中都有著重要的作用，正是因為其重要性，研究者們在不斷探索這些不等式的證明和其推廣形式，其應用也越來越廣泛。閔可夫斯基不等式主要有離散型閔可夫斯基不等式、積分型閔可夫斯基不等式和正定矩陣型閔可夫斯基不等式以及多種的推廣形式。作為學者的我們不僅要學會證明這些重要的不等式，還要學會如何應用它們。