Grouplet變換原理及技術綜述

李斌++李德來++張瓊

摘 要

Gourplet變換是一種新的稀疏表示方法，克服了傳統Fourier和小波等變換不能很好利用圖像幾何結構的缺點，從而得到更好的稀疏表示效果。本文首先分析了傳統算法在信號稀疏表示上的不足，然后綜合介紹grouplet變換原理，對正交Grouplet、緊支撐Grouplet、小波Grouplet等原理進行分析。

【關鍵詞】稀疏表示 Grouplet 關聯場 幾何結構

1 引言

數據的稀疏表示有利于數據的壓縮、分析和處理，是應用數學和信號處理領域研究的一個熱點。其核心思想是在能完全刻畫信號特征的空間中（時域、頻域、時-頻域、時-頻-空域等）尋找一組“完備基（B={gm}m）”，使得信號f在該基上的投影（fi=）只存在少數幾個大的分量，其它分量都為零或者接近零。

Wavelet變換由于其基存在有限階消失矩和時頻緊支撐特性，對于存在有限個奇異點的一維信號能夠得到稀疏表示，同時可以得到信號的時頻分布，較好地彌補了Fourier變換的不足。但是對于存有有限長度不連續的圖像，小波基的效果也并不理想。

為了得到更理想的稀疏表示，Mallat 在文獻[1]中提出了Gouplet變換的概念，并構造了正交Grouplet 和緊支撐Grouplet，更好地利用了圖像的幾何結構。相比于其它的調和分析基，Grouple變換充分利用了圖像本身的幾何結構，更加靈活，因此可以得到更理想的效果。

2 Grouplet理論和算法流程

Grouplet提出了一種“關聯場（Association Field）”的概念，使Grouplet基不僅能逼近小區域內任意形狀的幾何流（包括圖像中的交叉點），而且能逼近圖像中關聯性很長的幾何結構。下面對Grouplet的三種類型分別進行分析。

2.1 正交Grouplet

受到Haar變換的啟發，正交Grouplet的構造可以用類似Haar變換的公式來完成。 在尺度2°上，令，矩陣s[n]用于表示每個的平均支撐區間大小。初始化時，由于是由一個f[n]得來的，所以s[n]=1。在尺度2j上，Gj-1被分解為Gj和，對于得到的，，有：

基于正交Grouplet圖像分解和Grouplet基的例子如圖1所示。圖1（b）（e）分別為J=6個不同尺度的變換系數得到的圖像，黑、灰、白分別代表變換系數為負、零、正。從（b）（e）中可以看出，大部分系數都為零，說明該正交Grouplet變換能得到稀疏的表示。圖（c）給出了Grouplet基在幾個尺度下的形狀。

2.2 緊支撐Grouplet

正交Grouplet變換嚴格的正交性使其喪失了“移不變”特性，從而造成其在諸如去噪和計算機圖形應用等方面達不到理想的效果。為了解決這個問題，Mallat提出通過在原網格中用點m的偏序來取代網格的分割，用偽距離d和塊匹配的方法來進行關聯場的計算。

算法剛開始時在尺度2°上，令，s[n]=1。在j從1到J的不同尺度下，如果，則有：

圖2為分別應用正交Grouplet和緊支撐Grouplet對圖像進行相同門限（3σ）下去噪的結果。（a）原圖；（b）為加入噪聲后的圖像（PSNR=26dB）；（c）為正交Grouplet系數；（d）為緊支撐Grouplet系數；（e）（f）分別對應相同門限處理方法對；（c）（d）處理后重建的圖像。其中（e）的PSNR=27.3dB，（f）的PSNR=29.5dB?？梢钥闯鼍o支撐Grouplet去噪效果要明顯好于正交Grouplet。

2.3 Wavelet Grouplet

由于Wavelet變換已經可以得到圖像的系數表示，只是在圖像的邊緣處Wavelet系數較大。對于三個方向的小波分量可以分別應用不同的點集分割方式。如對于k=1方向的小波系數分量，由于大的小波系數對應圖像中“沿垂直”方向的幾何正則性，可以對該方向的小波系數采用行分割的方法進行關聯場的計算和Grouplet變換；對于k=2方向的小波系數分量，由于大的小波系數對應圖像中“沿水平”方向的幾何正則性，可以對該方向的小波系數采用列分割的方法進行關聯場的計算和Grouplet變換；對于k=3方向的小波系數分量，由于大的小波系數對應圖像中“沿水平和垂直”方向都存在的幾何正則性，可以對該方向的小波系數采用行或者列分割的方法進行關聯場的計算和Grouplet變換。對實際圖像的分解結果如圖3所示。

這種變換對應的基可以表示為：

3 結論

本文介紹了Grouplet相對于常規Fourier變化和wavelet變化在數據稀疏表示方面的優勢。分析了三種典型的 Grouplet類型，正交Grouplet變化可看成有Haar 小波基演變而來；緊支撐Grouplet克服了正交Grouplet變換嚴格的正交性，在諸如去噪和計算機圖形應用等方面的效果更加理想。Wavelet Grouplet 則是在wavelet 的基礎上對小波分解的4個主方向 采用列分割的方法進行關聯場的計算和Grouplet變換得到。并對各個過程給出了試驗結果。

參考文獻

[1]Stéphane Mallat，Geometrical grouplets，Appl.Comput.Harmon. Anal.26（2009）161-180.

[2]Aldo Maalouf， and Mohamed Chaker Larabi，Grouplet-Based Color Image Super-Resolution，17thEuropean Signal Processing Conference，August 25-28th，2009.

[3]Yao B，Li F F. Grouplet：A structured image representation for recognizing human and object interactions[C]. IEEE，2010：9-16.

[4]Maalouf A，Larabi M C，Fernandez-Maloigne C.A grouplet-based reduced reference image quality assessment[C].International Workshop on Quality of Multimedia Experience. 2009：59-63.

[5]Weisberg M K，Prinz M，Clayton R N， et al.A new metal-rich chondrite grouplet[J].Meteoritics & Planetary Science， 2001，36（03）：401-418.

[6]Yan J，Wang Z，Dai L，et al.Image denoising with Grouplet transform[C]. Advanced Computer Control （ICACC）， 2010 2nd International Conference on.IEEE，2010：65-69.

作者簡介

李斌（1981-），男，湖北省人。碩士學位?，F為汕頭超聲儀器研究所有限公司高級工程師。主要研究方向為醫用超聲信號處理。

單位簡介

汕頭超聲儀器研究所有限公司 廣東省汕頭市 515041