探求復(fù)合方程根的 分布問題基本策略

劉瑞美

為了研究問題的方便，我們規(guī)定：形如f[g（x）]=0的方程，稱為復(fù)合方程，并將方程f（x）=0稱為簡單方程，其中x是未知數(shù)。

近年來，有關(guān)復(fù)合方程的根的問題經(jīng)常出現(xiàn)在高考試題中，大部分考生遇到這樣的問題往往情緒緊張，不知“路”在何方；也有的考生盡管基礎(chǔ)很好，但由于分類不清和運(yùn)算不當(dāng)，使得思路受阻，影響到后續(xù)問題的解答。實(shí)際上解決此類問題的基本策略是分類討論、數(shù)形結(jié)合以及換元法等數(shù)學(xué)思想方法的正確應(yīng)用，進(jìn)一步把復(fù)合方程轉(zhuǎn)化成簡單方程或者把方程根的問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖像交點(diǎn)（函數(shù)零點(diǎn)）問題等。下面結(jié)合試題具體說一說策略的具體實(shí)施過程。

一、分類討論須謹(jǐn)慎

運(yùn)用分類討論思想解決與復(fù)合方程有關(guān)問題時(shí)，要時(shí)刻注意分類的標(biāo)準(zhǔn)，一定要做到不重 復(fù)與不遺漏，這樣才能得到正確的結(jié)果。

例1 已知函數(shù)f（x）=m·2+x+nx，若集合{x|f（x）=0}={x|f[f（x）]=0}≠？芰，則m+n的取值范圍為（ ）。

A.（0，4）？搖 ？搖？搖？搖B.[0，4）？搖？搖？搖 ？搖C.（0，5]？搖 ？搖？搖？搖D.[0，5]

解析 令t=f（x），由{x|f（x）=0}={x|f[f（x）]=0}可得t=0時(shí)，f（t）=f（0）=m=0，因此f（x）=x+nx，則{x|f（x）=0}={0，-n}，當(dāng)f[f（x）]=0時(shí)，有f（x）=0或f（x）=-n，再由{x|f（x）=0}={x|f[f（x）]=0}≠？芰可知：f（x）=-n無解或f（x）=-n的解為0或-n，

（1）當(dāng)f（x）=-n無解時(shí)，Δ=n-4n<0？圯0

（2）當(dāng)f（x）=-n的解為0或-n時(shí)，n=0；于是由（1）、（2）可知：0≤n<4。

故m+n的取值范圍是0≤n<4，因而選B。

點(diǎn)評(píng) 本題實(shí)際上考查的是與集合有關(guān)的問題。令集合A={x|f（x）=0}，B={x|f[f（x）]=0}，且滿足A=B≠？芰，從而探求m+n的取值范圍。

二、以形定數(shù)顯神威

在解決有關(guān)復(fù)合方程問題時(shí)，分類討論思想自然十分重要，但如果只考慮到分類，僅僅由數(shù)再到數(shù)，有時(shí)可能收效甚微，更有可能陷入無限循環(huán)的運(yùn)算之中，運(yùn)算量很大，最終導(dǎo)致思路受阻。如果能在分類的同時(shí)充分利用數(shù)形結(jié)合思想，就會(huì)使問題的解決變得直觀和輕松。

例2 函數(shù)f（x）=ax+bx+c（a≠0）的圖像關(guān)于直線x=-對稱。據(jù)此可推測，對任意的非零實(shí)數(shù)a、b、c、m、n、p，關(guān)于x的方程m[f（x）]+nf（x）+p=0的解集都不可能是（ ）。

A.{1，2}？搖 ？搖？搖？搖？搖B.{1，4}？搖？搖？搖 ？搖C.{1，2，3，4}？搖 ？搖？搖D.{1，4，16，64}

解析 本題需要利用換元法，令t=f（x），

則原方程m[f（x）]+nf（x）+p=0 ①，

轉(zhuǎn)化為一元二次方程mt+nt+p=0 ②，

（1）分類清晰，思慮周密。

對于方程②，可以分以下三類：

（ⅰ）方程②無實(shí)數(shù)解；

（ⅱ）方程②有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解t；

（ⅲ）方程②有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解t、t（不妨設(shè)t>t）。

（2）以形助數(shù)，方便直觀。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)缺形少直覺，形缺數(shù)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非。”

對于（ⅰ），易知①的實(shí)數(shù)解集為？芰；

對于（ⅱ），如圖1及圖2所示，由圖1得到①的實(shí)數(shù)解集為{x，x}，且x+x=-，

由圖2得到①的實(shí)數(shù)解集為{x}，且x=-；

對于（ⅲ），如圖3及圖4所示，由圖3得到①的實(shí)數(shù)解集為{x，x，x，x}，

不妨設(shè)x

由圖4得到①的實(shí)數(shù)解為{x，x，x}，不妨設(shè)x

通過以上分析，可以對選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，1+64≠4+16，故選D。

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查創(chuàng)新意識(shí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力，是一道集方程與函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與歸納等思想于一體的難得的好題。命題立意沒有刻意追求新、奇、特，雖是意料之外，卻又在情理之中，它無“法”可依，無“型”可套，讓試圖利用題海戰(zhàn)術(shù)“以量取勝”的幻想破滅。同時(shí)，該題要求我們在今后的學(xué)習(xí)中要努力揭示問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)習(xí)能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)“以質(zhì)取勝”。

例2 若函數(shù)f（x）=x+ax+bx+c有極值點(diǎn)x、x，且f（x）=x，則關(guān)于x的方程3[f（x）]+2af（x）+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是（ ）。

A.3 ？搖？搖？搖？搖B.4 ？搖？搖？搖？搖？搖C.5 ？搖？搖？搖？搖D.6

解析 由題意知：f′（x）=3x+2ax+b，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x+ax+bx+c有極值點(diǎn)x、x，所以x、x是方程f′（x）=3x+2ax+b=0的兩個(gè)根，而方程3[f（x）]+2af（x）+b=0與方程f′（x）=3x+2ax+b=0在形式上是完全一致的，所以有f（x）=x或f（x）=x，又因?yàn)閒（x）=x，因此當(dāng)x是極大值點(diǎn)時(shí)，xx，f（x）=x有兩個(gè)根x、x，f（x）=x僅有一個(gè)實(shí)根x，如圖5、圖6所示。

故關(guān)于x的方程3[f（x）]+2af（x）+b=0的不同實(shí)根有3個(gè)。

點(diǎn)評(píng) 本題實(shí)際上是函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)的問題和方程根的問題，主要考查函數(shù)的極值和方程的根，需要考生具有極強(qiáng)的運(yùn)算能力。

三、換元方法巧設(shè)置

在解決有關(guān)復(fù)合方程問題時(shí)，換元法是非常常用的，在換元過程中要時(shí)刻注意換元之后中間變量取值范圍的變化，稍有不慎將會(huì)導(dǎo)致解答錯(cuò)誤。利用這種方法將復(fù)合方程問題轉(zhuǎn)化成簡單方程或者轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，使得問題答案盡顯圖中，使問題的解決呈現(xiàn)直觀性。

例3 設(shè)函數(shù)f（x）=，若關(guān)于x的方程[f（x）]-a|f（x）|+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析 f（x）===1-∈（-1，1），且函數(shù)是單調(diào)遞增的奇函數(shù)，其圖像如圖7所示，若關(guān)于x的方程[f（x）]-a|f（x）|+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，也即方程a=有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，令f（x）=t∈（-1，1），則即方程a=（-13即可。

點(diǎn)評(píng) 復(fù)合方程求解常借助于換元法。涉及解的個(gè)數(shù)的問題，可將復(fù)合方程解的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成方程組解的個(gè)數(shù)問題，再進(jìn)一步將方程組解的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，實(shí)現(xiàn)由數(shù)到形，再由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化。

通過以上幾道例題的探究我們可以發(fā)現(xiàn)，解決這類問題的共同方法：若方程f（x）=0的根分別為x，x，…，x，則對于復(fù)合方程f[f（x）]=0的根，就可以轉(zhuǎn)化為研究方程f（x）=x，f（x）=x，…，f（x）=x根的討論問題，這樣就將復(fù)合方程問題轉(zhuǎn)化成簡單方程問題，又可以更進(jìn)一步將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)問題，然后利用數(shù)形結(jié)合使答案躍然紙上。