破解天體運動問題的“金三角”

侯建敏

天體運動問題是高考的重點內容之一。近幾年對這類題目考查的頻率很高，無論是全國卷，還是獨立命題省市的高考卷，幾乎年年必考，但年年各不相同，真可謂是千變萬化。其實這些題在解法上有驚人的相似之處。下面總結一下這類問題的解題方法。

一、常用公式總結

天體運動問題中公式看似有很多，但仔細歸納起來就三個。

①F=F

當天體在高空運行時，設天體質量為m，環繞的中心天體質量為M，軌道半徑為r，則有F=G；

當天體在星球表面近地環繞運行時，設天體質量為m，星球質量為M，星球半徑為R，則有F=G。

圓周運動的向心力公式又有多種表達形式，

即F=ma=m=mωr=mr。

當天體做勻速圓周運動時，中心天體對它的萬有引力提供所需的向心力，所以有F=F。綜合以上兩種力的表達式，F=F就有8種具體形式。

例如G=ma，G=m，G=mr等。

②F=mg

如果不考慮星球的自轉，天體m在星球表面時F=mg，設星球質量為M，半徑為R，其表面的重力加速度為g，則有G=mg；

天體在星球高空時，設距球心r處的重力加速度為g′，則有G=mg′。

③mg=F

當天體在星球表面近地環繞運行時，也可以看成繞行天體的重力提供所需的向心力，設繞行天體的質量為m，星球表面的重力加速度為g，則有mg=F；

當天體在高空環繞運行時，天體所在軌道的重力加速度為g′，則有mg′=F。

又因為重力近地時為mg，高空時為mg′，向心力又有四種表達式，因此mg=F也有8種具體形式。

如果把以上公式總結一下，可以用右圖的三角形表示。這個三角形表示的公式幾乎可以求解所有的天體運動問題，所以我們稱之為“金三角”。

二、天體運動問題歸類例析

1.星球半徑問題

例1 （2015年海南卷）若在某行星和地球上相對于各自水平地面附近相同的高度處、以相同的速率平拋一物體，它們在水平方向運動的距離之比為2∶。已知該行星質量約為地球的7倍，地球的半徑為R，由此可知，該行星的半徑為（ ）。

A.R？搖 ？搖B.R？搖 ？搖C.2R？搖 ？搖D.R

解析 設行星表面的重力加速度為g′，水平方向運動的距離為x′，運動時間為t′，在行星表面根據平拋運動公式得x′=vt′，h=g′t′，

解得g′=。

同理，在地球表面上有g=，

兩式相比得==。

在地球表面上有G=mg，

在行星表面上有G=mg′，

以上兩式相比得=·=×=2。所以答案為C。

點評 本題先用平拋運動公式求出重力加速度之比，然后用兩個“金三角”中的②式相比求解。

2.軌道半徑問題

例2 地球同步衛星到地心的距離r可用地球質量M、地球自轉周期T與引力常量G表示為r= 。

解析 根據萬有引力定律及圓周運動知識G=mr，可得r=。

點評 本題是用“金三角”中的①式直接求解的。

3.質量問題

例3 （2015年江蘇卷）過去幾千年來，人類對行星的認識與研究僅限于太陽系內，行星“51pegb”的發現拉開了研究太陽系外行星的序幕。行星“51pegb”繞其中心恒星做勻速圓周運動，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運動半徑的。該中心恒星與太陽的質量比約為（ ）。

A.1/10 ？搖B.1 ？搖C.5？搖 D.10

解析 行星“51pegb”繞其中心恒星做勻速圓周運動，

則有G=m′r′，

地球繞太陽做勻速圓周運動，則有G=mr，

兩式相比得==≈1.04，

所以答案為B。

點評 本題是用兩個“金三角”中的①式相比來求解的。

4.密度問題

例4 （2014年廣東卷）如圖所示，飛行器P繞某星球做勻速圓周運動，星球相對飛行器的張角為θ，下列說法正確的是（ ）。

A.軌道半徑越大，周期越長

B.軌道半徑越大，速度越大

C.若測得周期和張角，可得到星球的平均密度

D.若測得周期和軌道半徑，可得到星球的平均密度

解析 飛行器P繞星球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，有G=mr （1），

解得T=2π，可知半徑越大則周期越大，所以選項A正確；

再根據G=m，解得v=，可知軌道半徑越大則環繞速度越小，所以選項B錯誤；

又由（1）式還可解得M=，如果知道張角θ，則該星球半徑為R=rsin，再根據 ρ==，若測得周期，則可得到星球的平均密度，所以選項C正確；

而選項D因無法計算星球半徑，從而無法求出星球的平均密度，選項D錯誤。答案為AC。

點評 本題是用“金三角”中的①式和幾何關系來求解的。

5.向心加速度問題

例5 “嫦娥”一號和“嫦娥”二號衛星相繼完成了對月球的環繞飛行，標志著我國探月工程的第一階段已經完成。設“嫦娥”二號衛星環繞月球的運動為勻速圓周運動，它距月球表面的高度為h，已知月球的質量為M、半徑為R，引力常量為G，則“嫦娥”二號衛星繞月球運動的向心加速度a= 。

解析 “嫦娥”二號衛星環繞月球為勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，有G=ma，解得a=。

點評 本題是用“金三角”中的①式直接來求解的。

6.線速度問題

例6 （2015年全國卷）我國發射的“嫦娥”三號登月探測器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圓軌道上繞月運行；然后經過一系列過程，再在離月面4 m高處做一次懸停（可認為是相對于月球靜止）；最后關閉發動機，探測器自由下落。已知探測器的質量約為1.3×10 kg，地球質量約為月球的81倍，地球半徑約為月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大約為9.8 m/s2，則此探測器（ ）。

A.在著陸前的瞬間，速度大小約為8.9 m/s

B.懸停時受到的反沖作用力約為2×10 N

C.從離開近月圓軌道到著陸這段時間內，機械能守恒

D.在近月圓軌道上運行的線速度小于人造衛星在近地圓軌道上運行的線速度

解析 設月球表面附近重力加速度為g′，在月球表面有G=mg′，

在地球表面附近有G=mg，

兩式相比并代入數據得g′=g=g，

著陸前的瞬間速度v==≈3.6 m/s，所以選項A錯誤；

根據平衡條件得反沖力F=mg′≈2×10 N，所以選項B正確；

因為離開近月軌道時有一個懸停過程，相當于“剎車”，推動力做了負功，所以機械能不守恒，選項C錯誤；

人造衛星在近地圓軌道上運行時有mg=，解得v=，

“嫦娥”三號在近月圓軌道運行時有mg′=，解得v′==R，

所以v′

點評 本題先用“金三角”中的②式求出月球表面附近的重力加速度，然后再用兩個“金三角”中的③式求解。