基本不等式求最的值錯因剖析

岳峻

一、忽視基本不等式求最值成立條件“正”而致錯

例1 已知y=a（a>0，a≠1）是增函數，且a+a≤6（a∈Z），求函數f（x）=x+的值域。

錯解 易得a=2，f（x）=x+，

f（x）=x+≥2，當且僅當x=，即x=時等號成立。

所以函數f（x）=x+的值域是[2，+∞）。

剖析 上述解法忽視了自變量x的范圍，想當然地認為x∈（0，+∞），也忽視了應用基本不等式求最值的前提條件。

實際上，當x<0時，-x>0，此時（-x）+≥2，

所以f（x）=x+=-（-x）+≤-2，當且僅當-x=，即x=-時等號成立。

故正確答案為（-∞，-2]∪[2，+∞）。

變式1 實數a、b滿足ab=1，則a+b的取值范圍是 。

答案 （-∞，-2]∪[2，+∞）

二、忽視基本不等式求最值成立條件“定”而致錯

例2 已知f（x）=x+（x>2），求f（x）的最小值。

錯解 當x>2時，>0，

則f（x）=x+≥2，當且僅當x=，即x=3時等號成立，此時f（x）≥6。

所以f（x）的最小值是6。

剖析 應用基本不等式求最值時必須滿足“和為定值”或“積為定值”，上述解法中，f（x）=x+≥2的右邊不是定值，這樣由x=得到的x對應的值一般不是最小值。

實際上，f（x）=x+=（x-2）++2≥2+2，

當且僅當x-2=，即x=2+時等號成立。

所以f（x）的最小值是2+2。

變式2 實數a<3，則代數式+a的最大值是 。

答案 -1

三、忽視基本不等式求最值成立條件“等”而致錯

例3 求函數f（x）=（x≥0）的最小值。

錯解 f（x）==+≥2，

當且僅當x=1-a時，等號成立。

所以f（x）的最小值是2。

剖析 應用基本不等式求最值時，f（x）≥2的內涵是f（x）>2或者f（x）=2，f（x）≥2是正確的，但是，2是不是最小值取決于f（x）=2是否成立，如果只有f（x）>2，那么2就不是最小值。

實際上，（1）當a≤1時，當且僅當x=時，等號成立，所以f（x）=2。

（2）當a>1時，令t=≥>1，則：

f（x）==+=t+在t∈[，+∞）單調遞增。

所以當t=，即x=0時，f（x）取得最小值，f（x）=+=。

故函數f（x）=（x≥0）的最小值為f（x）=2？搖（a≤1），？搖（a>1）。

變式3 函數f（x）=（x≤0）的最小值是 。

答案

四、忽視基本不等式求最值成立條件“正”、“定”、“等”的順序而致錯

例4 當x>0時，求函數f（x）=x+的最小值。

錯解 因為x>0，x>0，>0，則

f（x）=x+≥2=4，

當且僅當x=，即x=2時，等號成立，此時f（x）≥8，

故函數f（x）=x+（x>0）的最小值為8。

剖析 應用基本不等式求最值時，必須遵循“一正二定三相等”的順序解決問題。此類問題首先將“平均拆分”為+，“湊”出和或積的定值，然后再考查等號，而不是“正”、“等”、“定”。

實際上，當x>0時，f（x）=x+=x++≥3=6，

當且僅當x==，即x=時，等號成立，

故函數f（x）=x+（x>0）的最小值為6。

變式4 函數f（x）=4x+（x>0）的最小值為 。

答案 3

五、忽視基本不等式求最值成立條件“一致”而致錯

例5 （2014年重慶卷）若log（3a+4b）=log，則a+b的最小值是（ ）。

A.6+2？搖 B.7+2 C.6+4？搖 D.7+4

錯解 因為log（3a+4b）=log，則a>0，b>0，3a+4b=ab，

所以ab=3a+4b≥2，即≥4，

又a+b≥2，所以a+b≥2≥8，

因此a+b的最小值為8。

剖析 多次應用基本不等式求最值時，要注意等號是否同時成立，即等號成立的條件是否一致。本題中=4時3a=4b，而a+b=2須滿足a=b，顯然a=b=0與已知信息矛盾。

實際上，3a+4b=ab，即+=1，

所以a+b=（a+b）+=7++≥7+2=7+4，當且僅當=，即a=4+2，b=3+2時等號成立。

或a+b=（a+b）+=[（）+（）]+≥+=（+2）=7+4，

當且僅當=，即=，亦即a=4+2，b=3+2時等號成立。

故a+b的最小值為7+4。正確答案為D。

變式5 （2015年福建卷）若直線+=1（a>0，b>0）過點（1，2），則a+b的最小值等于 。

答案 3+2

六、忽視基本不等式求最值“放縮”而致錯

例6 已知正數a、b滿足+=2，則+的最小值是 。

錯解 因為a、b是正數，所以2=+≥2=，

即≥，亦即ab≥2，所以≤

又+≥2=，所以+≥≥2，

當且僅當=，即a=1，b=2時等號成立。

故+的最小值為2。

剖析 本題中兩次應用基本不等式，但+≥4×與≤不是同向不等式，不能傳 遞放縮，這是策略性錯誤。

實際上，2=+≥，可得≤，所以-≥-2，當且僅當=，即a=1，b=2時等號成立。

因此+=+-=4-≥4-2=2，當且僅當a=1，b=2時等號成立。

故+的最小值為2。

變式6 已知正數a、b滿足a+9b=4，則a+3b的最大值是 。

答案 2

七、忽視基本不等式引申式的活用而致錯

例7 已知正數a、b滿足a+b=1，則T=a++b+的最小值是 。

錯解 因為a+≥2，可得a+≥，同理b+≥，

所以T=a++b+≥+≥2=8。

故T的最小值是8。

剖析 基本不等式加以引申，可得到如下結論：

當a≥b>0時，a≥≥≥≥≥b，當且僅當a=b時等號成立。

該結論中從左至右依次稱為平方平均數、算術平均數、幾何平均數、調和平均數，分別包含了兩個正數的平方之和a+b、兩者之和a+b，兩者之積ab、兩者的倒數之和+，只要已知這四個代數式之一為定值，總可以求解另外三式的最值。這一不等式的應用十分廣泛，應加以重視。

實際上，T=a++b+=（a+b）+++2+，

因為a+b=1，所以≥=，即a+b≥，當且僅當a=b時等號成立。

又因為=≥，可得+≥4，當且僅當a=b時等號成立。

且≥，當且僅當a=b時等號成立。

所以≥≥2，即+≥8，當且僅當a=b時等號成立。

故T的最小值是。

變式7 （1）設a、b>0，a+b=5，則+的最大值為 。

（2）函數f（x）=+的最大值是 。

答案 （1）3 （2）2？蕁