應(yīng)用型人才培養(yǎng)中數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)改革
——以黑龍江工程學(xué)院為例

趙爽

（黑龍江工程學(xué)院 數(shù)學(xué)系，黑龍江 哈爾濱 150001）

應(yīng)用型人才培養(yǎng)中數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)改革
——以黑龍江工程學(xué)院為例

趙爽

（黑龍江工程學(xué)院 數(shù)學(xué)系，黑龍江 哈爾濱 150001）

針對(duì)應(yīng)用型院校數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)中存在的諸如教學(xué)方式單一化、學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力差等問題，從改革教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式和更新成績(jī)?cè)u(píng)定機(jī)制等方面對(duì)課程改革方案進(jìn)行探討與實(shí)踐，以期達(dá)到培養(yǎng)本科應(yīng)用型人才的目的.

數(shù)學(xué)建模；應(yīng)用型人才培養(yǎng)；教學(xué)改革

伴隨著當(dāng)今高科技的飛速發(fā)展和應(yīng)用型本科高校轉(zhuǎn)型發(fā)展，高等教育知識(shí)的傳授應(yīng)從單獨(dú)學(xué)科性的、以知識(shí)本身為目的方式逐漸轉(zhuǎn)向以跨學(xué)科性的、以知識(shí)應(yīng)用為目的方式［1］.數(shù)學(xué)教育作為大學(xué)教育的基礎(chǔ)，不僅要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)能力、綜合運(yùn)用能力以及創(chuàng)新思維.數(shù)學(xué)建模課程正是這樣一門“綜合”課程［2］.

黑龍江工程學(xué)院作為新建特色應(yīng)用型本科高校，以培養(yǎng)應(yīng)用型創(chuàng)新人才為根本立足點(diǎn)，學(xué)校的教育觀念、教育方式以及評(píng)價(jià)方式等亟須更新，實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)也亟須加強(qiáng)［3］.數(shù)學(xué)建模課程是信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的一門核心基礎(chǔ)課程，它在培養(yǎng)學(xué)生的綜合科學(xué)素質(zhì)、應(yīng)用力和創(chuàng)造力等方面的獨(dú)特作用，是其他數(shù)學(xué)課程所無法取代的.因此，基于高校應(yīng)用型人才培養(yǎng)的數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)體系改革具有十分重要的意義.本文針對(duì)實(shí)際教學(xué)情況，對(duì)數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)改革與實(shí)踐進(jìn)行初步探索，以便為應(yīng)用型人才培養(yǎng)提供借鑒.

1 數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)現(xiàn)狀分析

黑龍江工程學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)本科專業(yè)是2005年數(shù)學(xué)系開設(shè)的，該專業(yè)以培養(yǎng)應(yīng)用型人才為發(fā)展方向，積極開展創(chuàng)新型產(chǎn)學(xué)合作理科應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式，其辦學(xué)目標(biāo)為培養(yǎng)具有一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，掌握計(jì)算科學(xué)和信息科學(xué)的基本理論和基本方法，能夠運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)以及計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問題，能夠在教育、經(jīng)濟(jì)和軟件開發(fā)等相關(guān)領(lǐng)域從事教學(xué)、科研、應(yīng)用開發(fā)和管理工作的復(fù)合型專門人才.數(shù)學(xué)建模課程是信息與計(jì)算科學(xué)本科專業(yè)的專業(yè)必修基礎(chǔ)課程，也是該專業(yè)的核心課程之一.大學(xué)數(shù)學(xué)建模課程向應(yīng)用型人才培養(yǎng)轉(zhuǎn)變所面臨主要問題是：

1.1 涉及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)多

數(shù)學(xué)建模課程難度較大，建模問題形式靈活，涉及的數(shù)學(xué)類課程包括數(shù)學(xué)分析、概率論、高等代數(shù)、空間解析幾何、數(shù)值分析、運(yùn)籌學(xué)、常微分方程以及離散數(shù)學(xué)等.相比于其他課程，所涉及的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是比較多的，對(duì)學(xué)生而言，學(xué)好數(shù)學(xué)建模課具有較大的挑戰(zhàn)性.

1.2 建模問題與實(shí)際聯(lián)系廣泛

數(shù)學(xué)建模就其教學(xué)內(nèi)容來說，雖然與數(shù)學(xué)知識(shí)相聯(lián)緊密，但是不具有一般數(shù)學(xué)課程嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?通過數(shù)學(xué)模型的建立，數(shù)學(xué)建模既能解決生態(tài)環(huán)境、地理科學(xué)、人口控制及交通調(diào)度等方面的問題，也能解決醫(yī)保問題、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)和金融投資等方面的研究類問題.故而，可以說數(shù)學(xué)建模是一門提升學(xué)生綜合素質(zhì)，檢驗(yàn)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)能力的學(xué)科.數(shù)學(xué)建模就其教學(xué)角度來說，任課教師不僅要熟悉數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)，還要掌握一定的非數(shù)學(xué)專業(yè)類知識(shí)和背景，并且將它們進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，這對(duì)缺乏實(shí)踐應(yīng)用能力的青年教師而言是一個(gè)相當(dāng)大的挑戰(zhàn).

1.3 教學(xué)模式單一化

建模課程教學(xué)應(yīng)該遵循著“學(xué)生為主，教師為輔；注重實(shí)踐，略講理論”的原則.教學(xué)手段應(yīng)該是將傳統(tǒng)黑板講授、多媒體課件及軟件應(yīng)用進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，考核方式及評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)也應(yīng)明顯區(qū)別于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)類課，如學(xué)生研討形成報(bào)告、答辯和結(jié)課論文等.

當(dāng)前我校數(shù)學(xué)建模課程在教學(xué)手段、考核方式和結(jié)課評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)等方面距離培養(yǎng)目標(biāo)仍有一定優(yōu)化空間.

2 應(yīng)用型院校數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)內(nèi)容的改革

由于缺乏課程教學(xué)的實(shí)踐應(yīng)用能力，以往課程教學(xué)中過于注重知識(shí)的傳授以及復(fù)雜數(shù)學(xué)理論過程的推導(dǎo)，而忽視了如何培養(yǎng)學(xué)生使之擁有有效思維能力和應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)理論解決實(shí)際問題的能力.因此，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)內(nèi)容上應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化改革.

2.1 突出專業(yè)基礎(chǔ)課

數(shù)學(xué)建模涉及許多領(lǐng)域和數(shù)學(xué)分支，對(duì)于應(yīng)用型本科院校數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生來說，熟悉掌握的數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課主要有數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及常微分方程，而數(shù)學(xué)建模課程可以將這些枯燥的數(shù)學(xué)理論知識(shí)轉(zhuǎn)化為實(shí)際應(yīng)用能力.因此，數(shù)學(xué)建模課程選取建模案例應(yīng)該突出專業(yè)基礎(chǔ)課程，如初等優(yōu)化模型、代數(shù)模型、統(tǒng)計(jì)回歸模型和微分方程模型等.

例1（餐桌問題）［4］在一不平的地面上，一張餐桌能否放穩(wěn)，即餐桌的4只腳同時(shí)落地.

此問題源于人們的日常生活，依據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)所知，只需將餐桌挪動(dòng)幾次即可使其放穩(wěn)，這貌似與數(shù)學(xué)無關(guān)的問題又如何求解呢.

首先，在講解該模型案例時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生如何從題目入手，尋找解決問題的方法.通過分析可知，題目當(dāng)中包含3個(gè)信息：1張餐桌、不平地面、4只腳同時(shí)落地.其次，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)3個(gè)信息點(diǎn)作如下3個(gè)假設(shè)：（a）餐桌的4個(gè)桌腿一樣長(zhǎng)，4個(gè)桌腳的連線視為正方形；（b）將地面看作連續(xù)曲面；（c）地面不會(huì)出現(xiàn)深溝，相對(duì)平坦，可使餐桌在任何位置總有3個(gè)腳著地.再次，從假設(shè)出發(fā)設(shè)出必要的變量，為模型建立提供方便.就該題而言，應(yīng)先畫出餐桌的旋轉(zhuǎn)示意圖（見圖1）.由圖1可以看出，利用正方形的對(duì)稱性，以正方形中心為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，當(dāng)餐桌繞中心旋轉(zhuǎn)時(shí)，桌子的位置也隨之改變，此時(shí)可以將桌子位置通過轉(zhuǎn)動(dòng)角度來表示，記為 ，同時(shí)桌腳與地面的距離隨著轉(zhuǎn)過角度 的變化也在變化，可設(shè)f( )為A, C2腳與地面的距離和，g( )為B, D2腳與地面的距離和.由假設(shè)（b）可知，f( )，g( )皆可以看作連續(xù)函數(shù).由假設(shè)（c）可知，餐桌在任何位置總有3個(gè)腳著地，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，即對(duì)于任意，有.

圖1 餐桌旋轉(zhuǎn)示意圖

最后，利用零點(diǎn)定理證明：在一不平的地面上，該餐桌只要轉(zhuǎn)過角度介于0與之間便可放穩(wěn).此時(shí)，為了使學(xué)生更好地掌握該模型建立的關(guān)鍵是旋轉(zhuǎn)角度 與距離，可將原題中的假設(shè)（a）改為餐桌的4個(gè)桌腿一樣長(zhǎng)，4個(gè)桌腳的連線視為長(zhǎng)方形，考慮是否能得到與正方形餐桌同樣結(jié)論.

2.2 模型案例選材突出關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)、貼近生活

數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)置應(yīng)以應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo)、信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)課程的知識(shí)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、學(xué)生知識(shí)儲(chǔ)備為主要參考.課程的教學(xué)內(nèi)容分為初等優(yōu)化模型、微分方程模型、代數(shù)模型、統(tǒng)計(jì)回歸模型、數(shù)學(xué)規(guī)劃模型、差分方程模型和灰色預(yù)測(cè)模型等七大模型.對(duì)每個(gè)模型中的案例選取遵循關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)和貼近生活的原則.

例2（傳染病控制模型）［5-6］隨著國(guó)家經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，醫(yī)療條件得到很大改善，以往一些嚴(yán)重的傳染病已經(jīng)得到了有效控制，但是一些如傳染型非典型肺炎、埃博拉病毒等新型傳染病不斷出現(xiàn).因此，通過掌握傳染病的傳播途徑和傳播過程，分析傳染病感染人數(shù)的變化規(guī)律，預(yù)測(cè)傳染病高峰到來的時(shí)刻，進(jìn)而找尋預(yù)防傳染病蔓延的方法，可以根據(jù)通過飲食和空氣等傳播的流感病毒傳播原理建立傳染病控制模型.

通過問題背景可知，該題目是與社會(huì)熱點(diǎn)問題有關(guān)，引導(dǎo)學(xué)生注意關(guān)鍵部分即通過飲食和空氣等傳播的流感病毒，這屬于最普遍的病毒傳播方式，具有傳染面積大，傳染周期短，痊愈的人也可以再次復(fù)發(fā)患病等特點(diǎn).模型相對(duì)復(fù)雜，依據(jù)傳播機(jī)理，這里將該傳染病控制模型分3個(gè)模型，分別是I模型、SI模型和ISI模型.SI模型是在I模型的基礎(chǔ)上優(yōu)化的模型，ISI模型也是考慮到SI模型的局限型建立的模型.

首先，I模型只考慮最簡(jiǎn)單的情況，其模型假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)攜帶流感病毒的病人感染的人數(shù)為 ，得到模型

顯然，模型（1）是可分離變量的微分方程，屬于微分方程模型，求解得.

模型建立及求解.由假設(shè)可知

通過觀察方程（2）可知，單位時(shí)間內(nèi)攜帶流感病毒的病人增量和2個(gè)部分有關(guān)，一個(gè)是隨著攜帶流感病毒的病人x( t)的增加而增加，另一個(gè)是隨著x( t)而減少，看似矛盾，實(shí)際上是由于環(huán)境的限制該地區(qū)人數(shù)達(dá)到飽和的數(shù)量看作定值，倘若患病人數(shù)增加，相應(yīng)地未患病人減少了.該模型恰好符合logistic模型.

3 應(yīng)用型院校數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)模式及成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)機(jī)制的改革

3.1 教學(xué)模式的改革

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模課堂上，所有教學(xué)內(nèi)容皆是以教材為中心，教學(xué)思路絲毫也不偏離教材.教師認(rèn)為只要把建模教材內(nèi)容講授給學(xué)生就算完成了教學(xué)任務(wù)，給學(xué)生安排的作業(yè)大多是書后題目，許多學(xué)生只抄襲其他學(xué)生答案，以應(yīng)付教師的檢查.針對(duì)這些情況，對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)的數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)模式和方法進(jìn)行了改革，進(jìn)而推廣到全校數(shù)學(xué)建模公選課.改革的主要目標(biāo)是提升數(shù)學(xué)建模課堂的教學(xué)效果，同時(shí)體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)建模的主動(dòng)性.優(yōu)化課程的教學(xué)模式應(yīng)根據(jù)課程內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)生個(gè)體差異性，將采用案例引導(dǎo)教學(xué)模式、組隊(duì)研討式教學(xué)模式和實(shí)踐教學(xué)模式有機(jī)結(jié)合起來.

3.1.1 采用案例引導(dǎo)教學(xué)模式 對(duì)于一些相對(duì)簡(jiǎn)單的模型，可以先由教師通過實(shí)際案例誘發(fā)學(xué)生的好奇心，進(jìn)而引導(dǎo)出實(shí)際問題，促使學(xué)生思考和討論.在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生尋求模型求解方法，可以令學(xué)生體驗(yàn)創(chuàng)造過程的美好.

3.1.2 組隊(duì)研討式教學(xué)模式 此類研討式教學(xué)模式是德國(guó)應(yīng)用本科院校經(jīng)常采用的教學(xué)模式之一.為達(dá)到較好的教學(xué)效果，教學(xué)模式對(duì)學(xué)生人數(shù)有限制，原則上是不超過30人.以信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)2014-1班為例進(jìn)行說明，班級(jí)人數(shù)是28人，分成7組，每組4人，以學(xué)號(hào)先后順序依次組隊(duì)，可以根據(jù)學(xué)生的個(gè)人意愿，每隊(duì)組員進(jìn)行適當(dāng)微調(diào).任課教師在上課的前1周準(zhǔn)備一個(gè)開放性建模題目，如依據(jù)實(shí)際情況研究近年來我國(guó)城市的汽車擁有量發(fā)展變化規(guī)律等問題，模型問題并未具體指出是哪個(gè)城市和時(shí)間段長(zhǎng)等要素，每個(gè)組可以利用1周時(shí)間自行查閱資料，選擇適合區(qū)域，研究其汽車擁有量的變化規(guī)律，形成論文，報(bào)告課上進(jìn)行演講和討論.為了避免某些組員懶散，只是依靠組內(nèi)其他同學(xué)，增強(qiáng)隊(duì)員的參與性，當(dāng)組內(nèi)某個(gè)成員講解報(bào)告時(shí)，其他組同學(xué)和教師均可就報(bào)告內(nèi)容向該組未作報(bào)告的其他組員提出質(zhì)疑，相互討論.經(jīng)過幾次嘗試，獲得一定成效，平時(shí)不學(xué)習(xí)的學(xué)生參與性明顯提高.

3.1.3 實(shí)踐性教學(xué)模式 為了鞏固數(shù)學(xué)建模專業(yè)訓(xùn)練和培養(yǎng)應(yīng)用型本科院校的復(fù)合人才，應(yīng)加強(qiáng)建模課程實(shí)踐性教學(xué)環(huán)節(jié).理論教學(xué)中，許多數(shù)學(xué)模型的求解皆離不開數(shù)學(xué)軟件，常見的數(shù)學(xué)軟件包括MATLAB軟件、LINGO軟件和LINDO軟件等.其中MATLAB軟件是目前國(guó)內(nèi)外最流行的數(shù)學(xué)科學(xué)軟件，以其清晰的圖形可視化，強(qiáng)大的面對(duì)不同領(lǐng)域工具箱、數(shù)據(jù)分析以及使用便利等功能為人們熟知.而LINGO軟件和LINDO軟件屬于優(yōu)化軟件，LINGO擅長(zhǎng)求解非線性規(guī)劃模型，LINDO善于求解線性規(guī)劃模型.每類軟件都有自己優(yōu)越性和局限性，軟件使用的范圍不同.

3.2 成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)機(jī)制的改革

優(yōu)化成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)機(jī)制是提升學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模課程的必要手段，而以往課程結(jié)課成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)機(jī)制只是單純地考慮平時(shí)表現(xiàn)（占20%）、作業(yè)情況（占20%）和結(jié)課論文（占60%）進(jìn)行成績(jī)給定，并未考慮學(xué)生的參與性問題，致使結(jié)課成績(jī)無法全面反映學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài).因此，引入數(shù)學(xué)建模的評(píng)價(jià)機(jī)制，主要包括課內(nèi)案例分析情況、組隊(duì)研討會(huì)論文報(bào)告和借助數(shù)學(xué)軟件求解情況等.新形成的成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)機(jī)制極大地提升了學(xué)生的課程參與度.

總之，在應(yīng)用型院校數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)中，應(yīng)以學(xué)生參與為主，教師教學(xué)為輔；教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)為主，建模理論為輔，深入開展應(yīng)用型院校數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)的改革與實(shí)踐.通過對(duì)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式及教學(xué)成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)機(jī)制的改革實(shí)踐，學(xué)生將學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模當(dāng)作是自己的事，在學(xué)習(xí)能動(dòng)性、參與度和團(tuán)隊(duì)合作方面皆有一定提高，以培養(yǎng)應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力人才為目標(biāo)的課程改革取得了一些成效.

［1］ 蔣洪池.高等教育市場(chǎng)化及其對(duì)大學(xué)學(xué)科文化的影響［J］.江蘇高教，2010（4）：72-74

［2］ 姜志俠.深化教育改革 搞好數(shù)學(xué)建模［J］.長(zhǎng)春理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2004（3）：79-82

［3］ 劉麗梅，張應(yīng)良.建設(shè)應(yīng)用型課程 實(shí)現(xiàn)新建本科院校轉(zhuǎn)型［J］.河北大學(xué)學(xué)報(bào)，2014（9）：72-73

［4］ 沈繼紅.數(shù)學(xué)建模［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2011：8

［5］ 姜啟源.數(shù)學(xué)模型［M］.4版.北京：高等教育出版社，2011：136-14

［6］ 陳水恩.數(shù)學(xué)模型與實(shí)驗(yàn)［M］.北京：科學(xué)出版社，2009：102-110

The teaching reform of mathematical modeling course based on the application oriented talent cultivation——Taking Heilongjiang Institute of Technology for example

ZHAO Shuang
（Department of Mathematics，Heilongjiang Institute of Technology，Harbin 150001，China）

In view of the current problems such as single teaching methods，the poor student's ability to apply mathematics in application-oriented universities，the overall reform plan is explored and practiced to train applied talents by the introduction of reform teaching contents，using flexible teaching mode and the new achievement evaluation mechanism.

mathematical modeling；application oriented talent cultivation；teaching reform

O29∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.06.021

1007-9831（2016）06-0067-05

2016-03-10

趙爽（1984-），女，黑龍江哈爾濱人，講師，在讀博士生，從事系統(tǒng)分析與建模研究.E-mail：154366754@qq.com