特征值在高等代數中的作用

楊聞起

（寶雞文理學院 數學與信息科學學院，陜西 寶雞 721013）

特征值在高等代數中的作用

楊聞起

（寶雞文理學院 數學與信息科學學院，陜西 寶雞 721013）

以高等代數中的定義、定理和例題為依據，論述了特征值具有化繁為簡的作用，它還是實對稱矩陣和二次型的本質所在.特別地，它是解決許多代數問題的重要工具.

特征值；特征向量；矩陣；二次型；線性變換

特征值作為高等代數中的基本概念，在矩陣、二次型和線性變換中起著十分重要的作用，而且為解決一些代數問題提供了很好的方法［1-8］.

1 特征值具有化繁為簡的作用

定義1［1］278設A是數域P上的n階矩陣，λ∈P，如果存在數域P上的n維非零列向量α，使得Aα= λα，則稱λ為A的一個特征值，α為A的屬于λ的特征向量.設σ是線性空間V上的線性變換，λ∈P，如果存在V中的n維非零列向量α，使得σα=λα，則稱λ為σ的一個特征值，α為σ的屬于λ的特征向量.

從定義1可以看出，特征值可以把矩陣與向量的乘法簡化為數與向量的數乘，也可把向量在線性變換之下的像簡化為數與向量的數乘，這種化復雜運算為簡單運算的特點注定了特征值具有化繁為簡的作用.

定理1表明，在相似關系下，實對稱矩陣A都可以化簡對角型矩陣，而該對角型矩陣完全由A的特征值決定.

定理2表明，只要給出實二次型的矩陣的特征值，那么該二次型就可以化簡為標準型.

定理3表明，在相似關系下，只要已知矩陣A的特征值及n個線性無關的特征向量，那么，A就可以化簡為對角型矩陣.

定理4［2］299設σ是n維線性空間V上的線性變換，λ1, λ2, L, λn是σ的全部特征值，并且σ有n個線性無關的特征向量，那么存在V的一組基，使得σ關于該基的矩陣為對角型.

定理4表明，只要已知線性變換的全部特征值及n個線性無關的特征向量，那么，該線性變換就可以對角化.

定理5表明，在相似關系下，任意n階矩陣可化簡為Jordan標準型，且Jordan標準型與特征值有緊密聯系.

綜上可見，不論從特征值的定義還是性質來看，特征值均起到了化繁為簡的作用.

2 特征值是對稱矩陣和二次型的本質所在

定理1說明，特征值相同的實對稱矩陣是相似的，所以在相似關系下，實對稱矩陣由它的特征值決定，也就是說，特征值是實對稱矩陣的本質所在.

定理2說明，只要已知實二次型的矩陣的特征值，那么，就可把二次型化為標準型，還可進一步確定出二次型的正定性、正負慣性指數和符號差等，所以，特征值也是實二次型的本質所在.

有些矩陣，只要已知它的特征值和個別特征向量，就可以完全決定這個矩陣.

3 特征值是解決代數問題的重要工具

高等代數中的許多問題，表面看無從下手，難以證明，但是，從特征值的角度來分析，卻很容易得到解決.

例2 設A是三階實對稱矩陣，A2=E，且rank(A-E)=1，求行列式的值.

分析 例2表面看似乎無從入手，但是只要注意到，利用已知條件可以求得A的特征值，就不難解決問題.

例3 設A是n階正定矩陣，S是n階反對稱矩陣，證明：

例3和例4均是關于行列式值的問題，其中的已知條件與要證明的結果之間似乎邏輯上沒有直接聯系，給人無從下手的感覺.但是，由于矩陣的特征值等于它的所有特征值的乘積，因此，可借助特征值尋找解題思路.

例5 實數域上的n維線性空間V上任一線性變換σ必有一維或二維不變子空間.

［1］ 張禾瑞.高等代數［M］.北京：高等教育出版社，1990

［2］ 北京大學數學系.高等代數［M］.北京：高等教育出版社，2003

［3］ 徐仲，張凱院，陸全，等.矩陣論簡明教程［M］.北京：科學出版社，2008

［4］ 張紅玉.矩陣特征值的理論及應用［J］.山西大同大學學報：自然科學版，2009，25（1）：15-16

［5］ 王蓮花.矩陣AB與BA的特征值問題及其應用［J］.大學數學，2007，23（1）：135-139

［6］ 楊聞起.高等代數方法研究［M］.西安：西安出版社，2009

［7］ 趙天緒，楊聞起.線性代數［M］.西安：陜西科技出版社，2014

［8］ 楊聞起.論線性代數的應用型教學方法［J］.寶雞文理學院學報：自然科學版，2015，35（1）：78-80

The function of characteristic value in higher algebra

YANG Wen-qi
（School of Mathematics and Informatics，Baoji University of Arts and Sciences，Baoji 721013，China）

On the basis of definitions，theorems and examples in higher algebra，the simplified role of eigenvalues is discussed.Besides，the fact that the essence of real symmetric matrix and quadratic form can be reflected by eigenvalues is showed.In particular，pointed out that the eigenvalues is the important toole for solving many problems of algebra.

characteristic value；characteristic vector；matrix；quadratic form；linear transformation

O151.2∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.06.020

1007-9831（2016）06-0064-03

2016-03-30

寶雞文理學院第十一批教學改革研究項目（JGYB15013）

楊聞起（1962-），男，陜西岐山人，教授，從事代數學研究.E-mail：baojiywq@126.com