一道確界習題的幾種證法

何忠華

（廣東金融學院 應用數學系，廣東 廣州 510521）

一道確界習題的幾種證法

何忠華

（廣東金融學院 應用數學系，廣東 廣州 510521）

確界是數學分析中一個非常重要的概念，確界原理作為極限理論的基石在微積分理論中占有極為重要的地位，故而確界概念的理解在數學分析學習中就顯得尤為重要.但是，在練習中，學生往往不懂如何使用確界概念來解答.因此，首先給出確界的定義，然后通過一道確界習題的幾種證明方法來說明確界概念的應用.

數學分析；證明方法；確界概念；極限

確界原理是數學分析中極限理論的基石，由它可以證明單調有界定理以及實數完備性的幾個等價命題.因此，理解確界概念對學好數學分析至關重要，也對后面極限思想和微積分學知識有著輔助的作用.而確界是數學分析中首個涉及極限思想的概念，初學者往往難以理解與掌握，對如何運用這個概念就感到更加困難.考慮到該概念的抽象性，為了使學生更好地掌握確界的概念及其使用方法，不少學者進行了相關的研究［1-6］.本文主要是通過一道確界習題的證明方法來幫助學生加深對定義的理解，掌握其使用方法.

上確界和下確界統稱為確界.通俗地講，有上界數集的最小上界，稱為該數集的上確界；有下界數集的最大下界，稱為該數集的下確界.

定義1［7］6設S是R中的一個數集.若數η滿足：

（i）對一切x∈S，都有x≤η，即η是S的上界；

（ii）對任何α＜η，存在x0∈S，使得x0＞α，即η又是S的最小上界.

定義2［7］6設S是R中的一個數集.若數ξ滿足：

（i）對一切x∈S，都有x≥ξ，即ξ是S的下界；

（ii）對任何β＞ξ，存在x0∈S，使得x0＜β，即ξ又是S的最大下界.

定義1～2一般稱為上確界和下確界的第1定義.但是，在解題時往往用得更多的是它的精確化定義，即所說的第2定義.

定義1'［4］74設S是R中的一個數集.若數η滿足：

（i）對一切x∈S，都有x≤η；

（ii）對任何ε＞0，存在x0∈S，使得x0＞η-ε.

定義2'［4］74設S是R中的一個數集.若數ξ滿足：

（i）對一切x∈S，都有x≥ξ；

（ii）對任何ε＞0，存在x0∈S，使得x0＜ξ+ε.

則稱數ξ為數集S的下確界，記作ξ=inf S .

［1］ 毛旭華.關于確界及確界原理的教學［J］.衡陽師專學報：自然科學版，1994，12（2）：70-73

［2］ 江家敏.談確界概念在證明中的應用［J］.開封教育學院學報，1986（2）：75-79

［3］ 郭家勇.關于上確界與下確界的概念的教學［J］.科技文匯，2011（8）：94-96

［4］ 吳焱生.關于確界概念教法探究［J］.宜春師專學報，1998（2）：74-77

［5］ 陳尚杰.關于確界的教學心得［J］.科技文匯，2012（4）：86-87

［6］ 王金才.關于《數學分析》中原始概念的教學法［J］.數學教育學報，2013，22（4）：94-96

［7］ 華東師范大學數學系.數學分析（上冊）［M］.北京：高等教育出版社，2010

［8］ 任親謀.數學分析習題解析（上冊）［M］.西安：陜西師范大學出版社，2004

Several proof methods for a supremum and infimum exercise

HE Zhong-hua
（Department of Applied Mathematics，Guangdong University of Finance，Guangzhou 510521，China）

Supremum and infimum are very important concept in mathematics analysis.As the foundation of the limit theory，they play a very important role in the calculus theory.Therefore，the understanding of the concept of supremum and infimum is particularly important in study mathematics analysis.However，students often do not understand how to use them to solve the problem in exercises.First of all，give the definition of supremum and infimum，and then explain the application of the concept by several kinds of proof methods for a exercise.

mathematics analysis；proof method；supremum and infimum concept；limit

O17∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.06.017

1007-9831（2016）06-0054-02

2016-03-20

國家自然科學基金資助項目（11501130）；廣東金融學院省級數學建模教學團隊資助項目；廣東高校省級重點平臺和重大科研項目（2015GXJK102）

何忠華（1984-），男，廣東南雄人，講師，博士，從事泛函分析研究.E-mail：zhonghuahe2010@163.com