基于COMSOL Multiphysics有限元法的聲人工結(jié)構(gòu)負切模量分析

鄧科，宋宗根

（吉首大學 物理與機電工程學院，湖南 吉首 416000）

基于COMSOL Multiphysics有限元法的聲人工結(jié)構(gòu)負切模量分析

鄧科，宋宗根

（吉首大學 物理與機電工程學院，湖南 吉首 416000）

設(shè)計了一個由包層單元組成的聲學人工材料，利用COMSOL Multiphysics有限元軟件對其進行了色散分析，發(fā)現(xiàn)利用該單元的共振轉(zhuǎn)動模式可以實現(xiàn)負的有效切模量.

色散關(guān)系；負切模量；有限元數(shù)值模擬

利用亞波長共振聲學人工結(jié)構(gòu)可以實現(xiàn)具有反常的負響應(yīng)動態(tài)質(zhì)量密度、體模量以及切模量，與之相關(guān)的研究是近年來學術(shù)界的熱點和前沿［1-5］.根據(jù)局域共振理論［6］，具有偶極共振的亞波長共振單元能導致人工材料出現(xiàn)負的有效質(zhì)量密度響應(yīng)，而具有單極共振的亞波長共振單元能導致人工材料出現(xiàn)負的有效體模量響應(yīng)，這兩者已經(jīng)被學者們在實驗上得以驗證［7-11］.理論上說，具有四極共振的亞波長共振單元將導致人工材料出現(xiàn)負的有效切模量響應(yīng)，但是由于橫波切模量對應(yīng)的是散射矩陣的角動量取I=2時的高階量，其共振耦合非常弱，利用傳統(tǒng)的局部共振機制實現(xiàn)其為負比較困難，如何有效實現(xiàn)人工材料切模量為負仍是本領(lǐng)域一大難題.此外，傳統(tǒng)彈性力學中剪切模式對應(yīng)的運動形式較為復雜，通常很難被初學者掌握理解并形成感性認識.在這一背景下，本文對由三組元包層單元組成的聲學人工材料進行了色散分析，基于COMSOL Multiphysics軟件，利用有限元方法數(shù)值計算了該人工材料的能帶圖并對其本征模式進行了分析，在特定的頻率下得到了與反常切模量對應(yīng)的單元中散射體的旋轉(zhuǎn)模式.這些研究結(jié)果為實現(xiàn)負切模量提供了有益的理論指導，同時有利于加深初學者對彈性體中剪切運動的理解和掌握.

1 模型設(shè)計

圖1 所設(shè)計人工材料單胞示意圖

2 色散性質(zhì)分析

隨著頻率進一步升高，當歸一化頻率大致位于0.2～0.3之間時，圖2a能帶中在X和M方向均出現(xiàn)了一條斜率為負的導帶.通常說來，在低頻范圍出現(xiàn)負折射導帶意味著雙負材料參數(shù)的出現(xiàn).這是因為在雙負情形下，縱波波數(shù)（對應(yīng)于密度與體模量同時為負情形）或橫波波數(shù)（對應(yīng)于密度與切模量同時為負情形）成了負數(shù)，所以出現(xiàn)了圖2a中的負折射導帶.根據(jù)前文的分析，此時的負質(zhì)量密度是由軟包層鋼柱嵌入硬機體中形成的結(jié)構(gòu)單元所具有的偶極共振模式導致.此外，由于本文中所設(shè)計共振單元的幾何特征不具備產(chǎn)生負體模量的條件（無空腔結(jié)構(gòu)），可以推斷，頻率位于0.2～0.3之間的負折射導帶是由體系的質(zhì)量密度與切模量同時為負導致.也就是說，利用該共振單元實現(xiàn)了負的有效切模量.為了進一步驗證以上分析，選擇了這條負折射帶沿X方向的帶邊模式（在圖2a中用a點表示），并計算了該模式對應(yīng)的本征位移場圖，計算結(jié)果見圖2b.圖2b中顏色由紅到藍表示位移場強度逐漸增強，黑色箭頭則表示運動方向.從圖2b可以看出，此時的結(jié)構(gòu)單元表現(xiàn)出明顯的轉(zhuǎn)動特征，而且運動主要集中于鋼柱.當共振發(fā)生時，鋼柱的轉(zhuǎn)動同外界激勵反相，從而導致整個材料出現(xiàn)負的切模量響應(yīng).

圖2 所設(shè)計人工材料的色散性質(zhì)

3 結(jié)論

本文設(shè)計了一個由三組元包層單元組成的聲學人工材料并對其進行了色散分析，基于COMSOL Multiphysics軟件，利用有限元方法數(shù)值計算了該人工材料的帶結(jié)構(gòu)并對其本征模式進行了分析，發(fā)現(xiàn)在特定的頻率可以實現(xiàn)負的有效切模量.

［1］ Cummer S，Christensen J，Alù A.Controlling sound with acoustic metamaterials［J］.Nat Rev Mater，2016（1）：16001

［2］ Christensen J，Kadic M，Kraft O，et al.Vibrant times for mechanical metamaterials［J］.MRS Commun，2015（5）：453

［3］ Kadic M，Bückmann T，Schittny R，et al.Metamaterials beyond electromagnetism［J］.Rep Prog Phys，2013，76：126501

［4］ Moldovan M.Sound and heat revolutions in phononics［J］.Nature，2013，503：209

［5］ Greaves G，Lakes R，Rouxel T.Poisson's ratio and modern materials［J］.Nat Mater，2011（10）：823

［6］ Liu Z，Zhang X，Mao Y，et al.Locally Resonant Sonic Materials［J］.Science，2000，289：5485

［7］ Fang N，Xi D，Xu J，et al.Ultrasonic metamaterials with negative modulus［J］.Nature Mater，2006（5）：6

［8］ Yang Z，Mei J，Yang M，et al.Membrane-type acoustic metamaterial with negative dynamic mass［J］.Phys Rev Lett，2008，101：204301

［9］ Mei J，Ma G，Yang M，et al.Dark acoustic metamaterials as super absorbers for low-frequency sound［J］.Nat Commun，2012（3）：756

［10］ Zhu R，Liu X，Hu G，et al.Negative refraction of elastic waves at the deep-subwavelength scale in a single-phase metamaterial［J］.Nat Commun，2014（5）：5510

［11］ Liu X，Hu G，Huang G，et al.An elastic metamaterial with simultaneously negative mass density and bulk modulus［J］.Appl Phys Lett，2011，98：251907

Investigation of negative shear modulus of artificial acoustic structures by finite element simulation based on COMSOL Multiphysics

DENG Ke，SONG Zong-gen
（School of Physics and Mechanical & Electrical Engineering，Jishou University，Jishou 416000，China）

Designed an artificial acoustic structure made of coated cells. Dispersion relation of this structure is investigated by finite element simulations of COMSOL Multiphysics software. This structure is found to exhibit negative shear modulus which is caused by the resonant rotational mode.

dispersion relation；negative shear modulus；finite element simulation

O415

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.06.011

1007-9831（2016）06-0038-03

2016-05-10

吉首大學校級課題（2015JSUJGB01，JC201507）

鄧科（1978-），男，湖南湘潭人，副教授，博士，從事凝聚態(tài)物理研究.E-mail：dengke.xt@sohu.com