平行軸漸開線變厚齒輪傳動的幾何設計與嚙合特性分析

倪高翔,朱才朝,宋朝省,劉懷舉

(重慶大學機械傳動國家重點實驗室,400030,重慶)

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平行軸漸開線變厚齒輪傳動的幾何設計與嚙合特性分析

倪高翔,朱才朝,宋朝省,劉懷舉

(重慶大學機械傳動國家重點實驗室,400030,重慶)

基于空間齒輪嚙合理論,建立了平行軸漸開線變厚齒輪傳動的節圓錐設計模型,提出了平行軸漸開線變厚齒輪傳動的幾何設計方法?？紤]安裝誤差與變形,建立了平行軸漸開線變厚齒輪嚙合分析模型,研究了節錐角、載荷與安裝誤差對嚙合特性的影響規律。結果表明:節錐角增加使接觸壓力減小、齒輪副傳動精度降低,但嚙合剛度波動更為平緩;載荷增加使角度傳遞誤差均值與峰峰值均增加,但對嚙合剛度均值的影響不大;安裝誤差中,軸線平行度安裝誤差對齒輪副的嚙合特性影響較大,將導致齒輪副產生邊緣接觸,而對于相同的軸線平行度誤差量,y方向的軸線平行度誤差產生的邊緣接觸更加嚴重。研究結果可望為平行軸漸開線變厚齒輪傳動的工業化推廣提供理論依據。

漸開線變厚齒輪;平行軸;節圓錐設計;嚙合特性;安裝誤差

漸開線變厚齒輪因沿軸線方向的變位系數呈線性變化,導致齒形在軸線方向上有一定的錐度,通過調整軸向位移補償間隙可實現精密傳動;根據安裝方式不同,可實現平行軸、交錯軸、相交軸傳動。漸開線變厚齒輪已廣泛應用于高速游艇、精密機器人和全驅動汽車等領域。

國內外對漸開線變厚齒輪傳動開展了大量研究,取得了許多有價值的研究成果。Tsai等研究了變厚齒輪傳動的幾何設計方法,并對近似線接觸的斜錐形齒輪副進行了承載接觸分析[1-2]。李瑰賢等對平行軸內嚙合變厚齒輪副進行了幾何設計,并對相交軸變厚齒輪的齒形誤差與軸線誤差進行了計算[3-4]。林超等對標準安裝和考慮安裝誤差情況下的平行軸斜齒變厚齒輪進行了輪齒接觸分析,得出了該類傳動對軸線安裝誤差較敏感的結論[5]。Brecher等對計算平行軸變厚齒輪齒根承載能力的2種仿真方法進行了描述,并通過疲勞試驗進行了對比研究[6]。朱才朝等基于節圓錐嚙合理論,考慮近似線接觸條件,建立了相交軸、交錯軸變厚齒輪傳動嚙合模型,對其幾何設計與嚙合特性等方面進行了研究[7-10]。Trong等通過完全彈性多體方法對變厚齒輪的接觸特性進行了研究[11]。Liu等建立了交錯和平行軸變厚齒輪嚙合模型,并對避免根切的條件進行了研究[12-13]。

本文基于節圓錐嚙合理論,建立了平行軸變厚齒輪節圓錐模型,研究了節錐角、載荷以及安裝誤差對其嚙合特性的影響,以期為平行軸漸開線變厚齒輪傳動的工業化推廣提供理論依據。

1 基于節圓錐的漸開線變厚齒輪幾何設計

圖1所示為變厚齒輪工作節圓錐簡圖[8],其中M為節圓錐上的點,ni為其單位法矢量,γwi為工作節錐角,θi為其在xi-yi平面內的展角。M點的坐標Rwi在坐標系Si(i=1,2)中可表示為

(1)

M點的單位法矢量ni可表示為

(2)

圖1 工作節圓錐

圖2 平行軸漸開線變厚齒輪節圓錐模型

兩節圓錐在P點的接觸方程為

(3)

可以得到如下方程組

(4)

式中

(5)

通過式(4)可以得到兩錐角的關系式

(6)

以及E與d1的表達式

(7)

(8)

若圖2中兩母線的夾角為φ,則其滿足如下關系式

(9)

聯立式(2)、(4)、(8)、(9)可得

(10)

由于兩節圓錐大端為異側,所以兩節圓錐的工作螺旋角應滿足如下關系式

(11)

定義變厚齒輪端面齒形角系數[1]

(12)

式中:cosαtL(R)wi為齒輪左(右)端面工作節圓壓力角;cosαtL(R)i為齒輪左(右)端面參考節圓壓力角;mn為變厚齒輪的法向模數;Ni為變厚齒輪的齒數;rPi為齒輪參考節圓的壓力角,rPi=Nimn/(2cosβi)。從而得到法面齒形角系數

(13)

根據漸開線齒輪正確嚙合的條件[12],得到如下公式

(14)

(15)

式中:αnw為公共齒條壓力角;mnw為公共齒條法向模數;βi為齒條刀具齒線傾斜角;γi為齒輪節錐角。

根據無側隙嚙合方程[15]

(16)

可得到另一齒輪的端面變位系數。式中:xt1、xt2分別為兩齒輪的端面變位系數。

根據上述推導,建立平行軸漸開線變厚齒輪的幾何設計流程,如圖3所示。其中,中心距E,2個齒輪的齒數N1、N2及節錐角γ1、γ2,法向模數mn和壓力角αn,齒輪1的齒條刀具齒線傾斜角β1以及節端面變位系數xt1為已知參數,法面齒形角系數ξn和齒輪2的齒條刀具齒線傾斜角β2為待求變量。

圖3 平行軸漸開線變厚齒輪的幾何設計流程圖

2 平行軸漸開線變厚齒輪傳動的嚙合分析模型

(a)中心距誤差 (b)軸向位置誤差

(c)x方向軸線平行度誤差 (d)y方向軸線平行度誤差圖4 平行軸漸開線齒輪副安裝誤差示意圖

結合實際嚙合工況,定義平行軸漸開線變厚齒輪副的安裝誤差,如圖4所示。其中,S1(x1,y1,z1)、S2(x2,y2,z2)分別為標準安裝時小齒輪與大齒輪所在的坐標系,Se(xe,ye,ze)、Sz(xz,yz,zz)、Sx(xx,yx,zx)和Sy(xy,yy,zy)分別為齒輪副產生中心距誤差、軸向位置誤差、x方向軸線平行度誤差和y方向軸線平行度誤差時大齒輪所在的坐標系。

定義實際中心距與標準安裝中心距的誤差為中心距安裝誤差ΔE,如圖4a所示;定義齒輪沿其軸線移動所產生的誤差為軸向位置安裝誤差Δz,如圖4b所示;當兩齒輪的軸線不平行時將產生軸線平行度誤差,若齒輪軸線繞y軸旋轉,將產生x方向的軸線平行度誤差Δfx,如圖4c所示;若齒輪軸線繞x軸旋轉,將產生y方向的軸線平行度誤差Δfy,如圖4d所示。圖4中所示的安裝誤差均為正向。

根據平行軸漸開線變厚齒輪節圓錐的設計方法,得到表1所列的齒輪副幾何設計參數。考慮安裝誤差,基于有限元法建立平行軸漸開線變厚齒輪嚙合模型(使大齒輪大端與小齒輪小端相嚙合),如圖5所示,并在有限元軟件Abaqus中進行平行軸漸開線變厚齒輪副接觸特性分析。

表1 平行軸變厚齒輪副幾何設計參數

(a)齒輪副嚙合實體模型 (b)網格劃分

圖5 平行軸漸開線變厚齒輪副嚙合模型

齒輪嚙合模型選用的材料為17CrNiMo6,其彈性模量為208 GPa,泊松比為0.298。因為漸開線變厚斜齒輪左、右齒面的螺旋角和壓力角均不相同,所以當主動輪的旋轉方向不同時,分析結果也會不一樣。本文選取小齒輪為主動輪,其旋轉方向從小端看為逆時針方向。對主動輪施加轉角,使其轉過4個齒的角位移1.256 rad;對從動輪施加負載轉矩500 N·m。將計算過程中相互接觸的5對齒面定義成接觸對,接觸方式為無摩擦。劃分網格時,采用全六面體網格類型,將接觸對所在齒面劃分較密的網格,對其余部分劃分較粗的網格。選擇的輸出量有2個齒輪的轉角、接觸應力和接觸力矩等。

3 平行軸漸開線變厚齒輪傳動的嚙合特性分析

3.1 節錐角對嚙合性能的影響

合理選擇節錐角的大小十分關鍵:當選取的節錐角過小時,可能導致變厚特征不明顯,達不到預期效果;當選取的節錐角過大時,設計出來的齒輪大端有可能產生齒頂變尖現象,會降低齒頂部分的強度與剛度,影響齒輪的正常傳動,還有可能造成齒面漸開線段的有效區域減少。為保證齒輪副正常工作,選取節錐角分別為6°、7°、8°、9°、10°,得到節錐角對角度傳遞誤差和嚙合剛度的影響規律,如圖6、圖7所示。

從圖6中可以看出,隨著節錐角的增加,角度傳遞誤差的均值逐漸增大,但角度傳遞誤差峰峰值逐漸減小,說明節錐角的增加使齒輪副的傳動精度逐漸降低,但工作狀態變得更加平穩。從圖7中可以看出,隨著節錐角的逐漸增加,嚙合剛度的均值逐漸減小,但在一個嚙合周期內嚙合剛度波動更為平緩,這必然會減小輪齒嚙合過程中的內部時變激勵,改善齒輪傳動的嚙合平穩性。

(a)角度傳遞誤差曲線

(b)角度傳遞誤差峰峰值圖6 節錐角對角度傳遞誤差的影響

(a)嚙合剛度曲線

(b)嚙合剛度均值圖7 節錐角對時變嚙合剛度的影響

(a)節錐角為6°

(b)節錐角為10°圖8 節錐角對大齒輪嚙合印痕及接觸壓力的影響

為研究節錐角的變化對嚙合印痕的影響規律,選取節錐角為6°和10°兩種工況進行分析,得到的大齒輪嚙合印痕圖如圖8所示。從圖中可以看出,大齒輪小端的接觸壓力大于大端的,且節錐角增加使得齒面最大接觸壓力減小,嚙合印痕的形狀更加傾斜。

3.2 載荷對嚙合性能的影響

載荷是影響漸開線變厚齒輪傳動的因素之一,研究其對平行軸漸開線變厚齒輪傳動嚙合特性的影響十分必要。本文選取的齒輪材料為17CrNiMo6,其屈服強度σs為835 MPa。在有限元分析中,選取載荷10～500 N·m,研究載荷變化對齒輪副嚙合特性的影響規律。圖9為10、500 N·m載荷下同一時刻齒面的Mises應力圖,可以看出接觸狀態為明顯的線接觸,且載荷為500 N·m時的最大Mises應力為732.1 MPa。

(a)載荷為10 N·m

(b)載荷為500 N·m圖9 不同載荷下齒輪齒面的Mises應力

使用相同的嚙合分析模型分別計算當載荷從10 N·m提高至500 N·m時的角度傳遞誤差和嚙合剛度,結果如圖10、圖11所示。從圖10中可以看出,隨著載荷的增加,角度傳遞誤差的均值和峰峰值均呈現明顯的遞增趨勢,從而傳動精度逐漸下降。從圖11中可以看出,在輕載(10 N·m)工況下,齒面接觸面積較小,導致嚙合剛度較小;隨著載荷的增加,齒面接觸區域也逐漸增大,從而嚙合剛度明顯增加,但當載荷增加到一定范圍后,接觸區域的增幅變小,導致嚙合剛度的變化也較小,原因在于平行軸漸開線變厚齒輪傳動的接觸類型為線接觸。

(a)對角度傳遞誤差的影響

(b)對角度傳遞誤差峰峰值的影響圖10 載荷對角度傳遞誤差及其峰峰值的影響

(a)對嚙合剛度的影響

(b)對嚙合剛度均值的影響圖11 載荷對嚙合剛度的影響

為了研究載荷對齒輪副參與嚙合的區域的影響,通過Abaqus的后處理功能對不同載荷下大齒輪齒面的嚙合印痕進行了分析,得到如圖12所示的嚙合印痕圖。從圖中可以看出:當載荷為10 N·m時,齒面參與嚙合的區域較小,齒面上半部分幾乎不參與嚙合;隨著載荷增加到100 N·m,齒面參與嚙合的區域逐漸增大;當載荷增加到一定范圍之后,齒面參與嚙合區域的變化逐漸減小,同時,載荷增加使齒面間的接觸力增加。

(a)載荷為10 N·m

(b)載荷為100 N·m

(c)載荷為300 N·m

(d)載荷為500 N·m圖12 載荷對嚙合印痕及接觸壓力的影響

3.3 安裝誤差對嚙合性能的影響

當中心距安裝誤差ΔE分別為-0.1、0和0.1 mm時,其對嚙合印痕、角度傳遞誤差和嚙合剛度的影響規律如圖13～圖15所示。從圖中可以看到:當存在中心距誤差時,嚙合印痕、角度傳遞誤差均值和嚙合剛度均值的變化都不大;負向中心距誤差使角度傳遞誤差峰峰值減小,正向中心距誤差使角度傳遞誤差峰峰值增大。

(a)中心距安裝誤差為-0.1 mm

(b)中心距安裝誤差為0.1 mm圖13 中心距安裝誤差對嚙合印痕及接觸壓力的影響

(a)對角度傳遞誤差均值的影響

(b)對角度傳遞誤差峰峰值的影響圖14 中心距安裝誤差對角度傳遞誤差及其峰峰值的影響

(a)對嚙合剛度的影響

本文還分析了軸向位置安裝誤差和軸線平行度安裝誤差對嚙合印痕、角度傳遞誤差及嚙合剛度的影響規律,結果表明:中心距誤差和軸向位置誤差對嚙合印痕、角度傳遞誤差及嚙合剛度的影響較小;軸線平行度安裝誤差將導致齒輪副產生偏載,x方向的軸線平行度誤差均使嚙合剛度降低,x正向的軸線平行度誤差使大齒輪的小端出現邊緣接觸,并使角度傳遞誤差和均值和峰峰值均增大,導致傳動精度降低;y方向的軸線平行度誤差均使角度傳遞誤差峰峰值增大,導致傳動不平穩,y負向的軸線平行度誤差使大齒輪的小端產生邊緣接觸,對于相同的軸線平行度誤差量,y方向的軸線平行度誤差對平行軸漸開線變厚齒輪副的嚙合印痕影響更大。

(b)對嚙合剛度均值的影響圖15 中心距安裝誤差對嚙合剛度的影響

4 結 論

本文基于節圓錐共軛嚙合理論,提出了平行軸漸開線變厚齒輪傳動節圓錐模型,對平行軸漸開線變厚齒輪副進行了幾何設計;研究了節錐角、載荷以及安裝誤差對角度傳遞誤差、嚙合剛度和嚙合印痕的影響規律,得到的主要結論如下。

(1)節錐角的增大將導致齒面接觸壓力減小和齒輪副傳動精度降低,但可使嚙合剛度波動更為平緩,從而減小輪齒嚙合過程中的內部時變激勵,改善齒輪傳動的嚙合平穩性。

(2)隨著載荷的增加,角度傳遞誤差均值及峰峰值均增大,從而導致齒輪副傳動精度降低,而嚙合剛度變化不大,剛度波動趨于平緩。

(3)中心距安裝誤差和軸向位置誤差對齒輪副的嚙合特性影響不大,但軸線平行度誤差將導致齒輪副產生邊緣接觸;齒輪副對x正向的軸線平行度誤差和y負向的軸線平行度誤差更為敏感;對于相同的軸線平行度誤差量,y方向的軸線平行度誤差所產生的邊緣接觸更加嚴重。

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(編輯 葛趙青)

Geometric Design and Meshing Characteristics Analysis of Beveloid Gear Transmission with Parallel Axes

NI Gaoxiang,ZHU Caichao,SONG Chaosheng,LIU Huaiju

(State Key Laboratory of Mechanical Transmission, Chongqing University, Chongqing 400030, China)

Based on spatial gearing theory, a pitch cone design model of beveloid gear transmission with parallel axes was developed, and the geometric design method of beveloid gear transmission with parallel axes was proposed. Considering the installation errors and deformation, a meshing model of beveloid gear transmission with parallel axes was developed to investigate the influences of the cone angle and load as well as installation errors on the meshing characteristics. The results show that the increasing of the cone angle can decrease the contact force and reduce the transmission precision of the gear pair, but suppress the fluctuation of meshing stiffness; the increasing of torque load can increase both the mean value and peak to peak value of transmission error, but has only small influence on the mean value of meshing stiffness. However, the installation error in axis parallelism has a strong effect on the meshing characteristics and it will cause edge contact in gear transmission. This edge contact caused by the axis parallelism installation error inydirection is more serious under the same error condition. The research results are expected to provide a theoretical basis for industrial popularization of the beveloid gear transmission with parallel axes.

beveloid gear; parallel axes; pitch cone design; meshing characteristics; installation error

10.7652/xjtuxb201605009

2015-09-22。 作者簡介:倪高翔(1991—),男,博士生;朱才朝(通信作者),男,教授,博士生導師。 基金項目:國家自然科學基金資助項目(51405043,51575061,51175523);中國博士后科學基金資助項目(2015M582517)。

時間:2016-03-02

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20160302.2014.008.html

TH132.413

A

0253-987X(2016)05-0057-08