全面認(rèn)識反函數(shù)

王洪洲

反函數(shù)是一個(gè)較抽象的概念，而教材只給出一種描述性的定義，增加了我們理解反函數(shù)的難度。本文從反函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、求法和巧妙應(yīng)用等幾個(gè)環(huán)節(jié)入手，對反函數(shù)進(jìn)行全面認(rèn)識。

性質(zhì)1 函數(shù)y=f（x）在某一區(qū)間上存在反函數(shù)？圳該函數(shù)在該區(qū)間上是一一映射。

性質(zhì)2 原函數(shù)的圖像與其反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱。

性質(zhì)3 原函數(shù)的定義域是其反函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域是其反函數(shù)的定義域。

性質(zhì)4 f [f（x）]=x，x屬于y=f（x）的定義域；f[f （x）]=x，x屬于y=f（x）的值域。

性質(zhì)5 原函數(shù)與其反函數(shù)的單調(diào)性相同，原函數(shù)與其反函數(shù)的奇偶性相同。

性質(zhì)6 函數(shù)f（x）為增函數(shù)，若y=f（x）的圖像與y=f （x）有交點(diǎn)，則交點(diǎn)必在直線y=x上。

性質(zhì)7 函數(shù)f（x）為減函數(shù)，若y=f（x）的圖像與y=f （x）有交點(diǎn)，則交點(diǎn)至多有一個(gè)在直線y=x上。

性質(zhì)8 函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，若y=f（x）與y=f （x）有不在直線y=x上的交點(diǎn)，則函數(shù)f（x）是單調(diào)減函數(shù)。

一、反函數(shù)的存在問題

例1 函數(shù)f（x）=x-2ax-3在區(qū)間[1，2]上存在反函數(shù)，則a∈（ ）。

A.（-∞，1] ？搖？搖？搖？搖？搖？搖 B.[2，+∞）

C.（-∞，1]∪[2，+∞）？搖？搖 D.[1，2]

解析 由性質(zhì)1可知，函數(shù)f（x）=x-2ax-3在區(qū)間[1，2]為單調(diào)函數(shù)，所以a？埸（1，2），

故選C。

評注 函數(shù)y=f（x）在這一區(qū)間上單調(diào)與其在該區(qū)間上存在反函數(shù)不等價(jià)。

二、求反函數(shù)的問題

例2 函數(shù)f（x）=log1+（x>0）的反函數(shù)f （x）=（ ）。

A.（x>0）？搖？搖？搖 B.（x≠0）？搖 C.2-1（x∈R）？搖 ？搖 D.2-1（x>0）

解析 求反函數(shù)有三步驟。

步驟一：求函數(shù)f（x）的值域，由x>0可得1+>1，所以y>0。

步驟二：用y表示x得1+=2？圯x=（y>0）。

步驟三：對調(diào)x、y，注明反函數(shù)的定義域，

即y=f （x）=（x>0）。故選A。

評注 求反函數(shù)的“三部曲”是基礎(chǔ)，是理解反函數(shù)的“根”。

三、與反函數(shù)的定義域和值域有關(guān)的求值問題

例3 函數(shù)f（x）=x-1（x≥1）的反函數(shù)為y=f （x），則y=f （2）的值為（ ）。

A. B.- C.1+ D.1-

解析 函數(shù)f（x）=x-1的定義域是[1，+∞），值域是[0，+∞），

所以y=f （x）的定義域是[0，+∞），值域是[1，+∞），

選項(xiàng)B、D都不對。

令2=x-1，解得x=±，又y=f （x）的定義域是[0，+∞），

所以x=。故選A。

四、與反函數(shù)圖像有關(guān)的問題

例4 已知函數(shù)y=logx的反函數(shù)是y=f （x），則y=f （1-x）的圖像是（ ）。

解析 要得到y(tǒng)=f （1-x）的圖像，需把y=f （x）的圖像關(guān)于y軸對稱后，再向右平移1個(gè)單位，又y=logx與y=f （x）的圖像關(guān)于直線y=x對稱，故選C。

五、反函數(shù)的巧用

例5 對定義在區(qū)間I上的函數(shù)g（x），記g（I）={y|y=g（x），x∈I}，已知定義域?yàn)閇0，3]的函數(shù)y=f（x）有反函數(shù)y=f （x），且f （[0，1））=[1，2），f （（2，4]）=[0，1），若方程f（x）-x=0有解x，則x= 。

解析 由性質(zhì)1和性質(zhì)3可知：

當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）∈（2，4]；x∈[1，2）時(shí)，f（x）∈[0，1）。

而y=f（x）的定義域?yàn)閇0，3]，

故當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）的取值應(yīng)在（-∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞）中。

故若f（x）=x，只有x=2。

例6 設(shè)函數(shù)f（x）=（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)），若存在b∈[0，1]使f[f（b）]=b成立，則a的取值范圍是（ ）。

A.[1，e] B.[1，1+e] C.[e，1+e] D.[0，1]

解析 f（x）=為單增函數(shù)，由性質(zhì)4可知f[f（b）]=b？圯f（b）=f （b）。

由性質(zhì)6可知f（x）與f （x）的交點(diǎn)在直線y=x上，

所以存在x∈[0，1]，使f（x）=x有解，

即存在x∈[0，1]，使x=成立。

化簡為x-x+a=e，

令F（x）=x-x+a，G（x）=e，x∈[0，1]

若上式成立，則y=F（x）與y=G（x）的圖像有交點(diǎn)。如右圖，a即為y=F（x）與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，隨著a的變化，y=F（x）的圖像上下移動(dòng)。數(shù)形結(jié)合可得a∈[1，e]，故選A。

在對應(yīng)過程中，反函數(shù)中的變量關(guān)系與原函數(shù)發(fā)生了反向變化。反函數(shù)提供了觀察變量關(guān)系的一個(gè)新視角。對反函數(shù)知識的學(xué)習(xí)能激活發(fā)散思維，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。