隨機捕食與被捕食系統正解的全局性

周巧姝

(長春師范大學學報編輯部，吉林長春 130032)

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隨機捕食與被捕食系統正解的全局性

周巧姝

(長春師范大學學報編輯部，吉林長春 130032)

本文給出了一類捕食與被捕食系統具有隨機擾動時正解的全局性。

隨機微分方程；正解；全局性

本文主要研究如下的隨機微分方程

(1)

正解的全局性.其中,a>0,b≥0,c>0,d>0,e>0,f>0,x(0)=x0>0,y(0)=y0>0.B(t)是布朗運動，σ1>0,σ2>0是隨機擾動.微分方程(1)沒有隨機擾動時，

(2)

是生物數學中常見的捕食與被捕食系統，其中x,y分別表示食餌與捕食者的大小，且為時間t的函數，常數a,d分別表示食餌種群的自然增長率和捕食者種群的自然死亡率，b表示種內競爭強度，很多學者對(2)進行研究并且得到了較好的性質.本文對(2)具有隨機擾動時正解的全局性給予充分證明，這對于生物種群的長期存在是非常有意義的.

1 預備知識

引理1.1 假設X(t)是如下隨機微分方程的解

dX=Fdt+GdW.

(3)

令Y(t):=u(X(t),t).則Y是如下隨機微分方程的解

引理 1.2 假設b:Rn×[0,T]→Rn,B:Rn×[0,T]→Mm×n連續并且滿足下面的條件：

(C4)X0與W+(0)獨立，其中W(t)是一個確定的m維布朗運動.

則如下的隨機微分方程

2 正解的全局性

定理1 假設隨機微分方程(1)存在唯一連續局部正解并且滿足a>0,b≥0,c>0,d>0,e>0,f>0,x(0)=x0>0,y(0)=y0>0.B(t)是布朗運動.σ1>0,σ2>0是隨機擾動,則(1)在[0,)上存在全局的正解.

證明 令φ1(t)是下面方程

的解，其中a>0,b≥0,x(0)=x0>0.B(t)是布朗運動，σ1>0是隨機擾動.則解φ1(t)可以表示成

由于(1)的解，則

并且根據(1)的解還有下式成立

φ1(t).

由上述不等式，可以得到

0<φ1(t)≤x(t)≤φ1(t),0<φ2(t)≤y(t)≤φ2(t).

其中，φ1(t),φ2(t)在[0,)上有定義，則(x(t),y(t))不會在有限時間內爆破，即爆破時間τe=.于是，方程(1)的正解具有全局性.

[1]澤夫·司曲斯.隨機微分方程理論及其應用[M].上海:上?？萍嘉墨I出版社,1986.

[2]L.Arnod.Stochastic differential equations theory and application[M].John-Wiley,1972.

[3]I.I.Gihman,A.v.skorohod.Stochastic differential equation[M].Springer-Verlag,1972.

[4]D.Q.Jiang,N.Z.Shi.A note on nonautonomous logistic equation with random perturbation[J].J.Math.Anal.Appl., 2005(303):164-172.

The Globality of the Positive Solution of Predator-Prey System with Random Perturbation

ZHOU Qiao-shu

(Journal of Changchun Normal University, Changchun Jilin 130032, China)

In this paper, we deal with the globality of the positive solution of Predator-Prey system with random perturbation.

stochastic differential equation; positive solution; globality

2016-10-01

周巧姝(1976- )，女，副編審，碩士，從事應用數學與編輯學研究。

O175

A

2095-7602(2016)12-0006-02