嵌套型開縫圓管聲子晶體的帶隙影響因素研究

包凱,陳天寧,王小鵬,王放,張振華

(西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室, 710049, 西安)

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嵌套型開縫圓管聲子晶體的帶隙影響因素研究

包凱,陳天寧,王小鵬,王放,張振華

(西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室, 710049, 西安)

針對開縫管聲子晶體結構的帶隙起始頻率較高和帶隙不易調節(jié)的問題,基于亥姆霍茲共鳴效應,提出了一種嵌套型開縫圓管聲子晶體結構,為了研究該結構的帶隙影響因素,根據Bloch定理和Helmholtz方程,利用有限元法對該結構的禁帶和透射系數進行了數值計算并搭建實驗臺進行了實驗驗證,獲得了在晶格常數不變情況下該結構的帶隙影響因素和禁帶調節(jié)方法。研究結果表明,嵌套型開縫圓管結構具有低頻禁帶特點,能夠在500 Hz左右得到寬禁帶。在晶格常數恒定的條件下,內管縫向和位置參數對結構的低頻禁帶具有有效的調節(jié)作用,能夠將低頻禁帶起始頻率降低到250 Hz,其原理為產生并增強亥姆霍茲共鳴效應,因此這種禁帶調節(jié)方法在聲子晶體制備后仍然能夠實現多頻段、寬頻帶的帶隙調節(jié)。同時,玻璃棉能夠有效地增強嵌套型開縫管聲子晶體結構的吸聲性能,并對拓寬禁帶有積極的效果。該研究成果為開縫管聲子晶體的禁帶調節(jié)提供了理論依據和有效方法,在低頻噪聲控制方面具有潛在的應用前景。

聲子晶體;低頻帶隙;嵌套型開縫管;玻璃棉;噪聲控制

聲子晶體是一種散射體周期性排列在基體中形成的新型復合材料,一定頻段的聲波在該復合結構中會強烈衰減,從而產生聲子禁帶[1-2]。聲子晶體的這一性質具有豐富的物理內涵和廣闊的應用前景,其研究受到眾多學者的關注[3-5]。聲子晶體的能帶計算方法有有限元法、平面波展開法、傳輸矩陣法、時域有限差分法等[6]。作為計算聲子晶體能帶結構常用的方法,有限元法[7]將連續(xù)彈性體離散成一定數量的單元子域,根據彈性力學的基本方程和變分原理建立單元子域結點的力和位移之間的關系,引入邊界條件、解線性方程組以及計算單元應力,可以用來準確地計算有限和無限周期的聲子晶體的帶隙特性。

在前期的聲子晶體研究中,固-固型聲子晶體廣受關注,而聲-固耦合型聲子晶體的研究較少。開縫管結構是基于亥姆霍茲共鳴效應的一種聲-固耦合型聲子晶體,其帶隙范圍一般在幾千赫茲[8-9]。亥姆霍茲共鳴腔是一種典型的聲共振系統(tǒng),可受外面聲場激發(fā)而消耗其能量,形成重要的吸聲體結構[10]。亥姆霍茲共鳴腔廣泛應用于音樂廳、電影院吸音墻的微結構[11]。

本文基于亥姆霍茲共鳴效應和開縫單管的帶隙理論,提出了一種嵌套型開縫管聲子晶體結構,該結構可以大大降低帶隙起始頻率,獲得更低頻帶隙。前期文獻研究的禁帶影響因素大多都需要通過改變結構的晶格常數或尺寸來實現,這就導致了聲子晶體的帶隙設計具有極大的局限性[12]。本文通過內管縫向、內管的位置偏移量和引入玻璃棉,采用晶格常數和管尺寸恒定條件下的禁帶調節(jié)方法,使聲子晶體帶隙設計具有更好的適應性和可調節(jié)性,能夠用一種尺寸的結構實現多頻段、寬頻帶的帶隙調節(jié)。本文對該結構的禁帶和透射系數進行了數值計算,研究了其帶隙影響因素及調節(jié)方法,并通過與實驗結果對比驗證了其有效性。

1 聲子晶體計算模型及實驗平臺

1.1 嵌套型開縫圓管聲子晶體模型

嵌套型開縫圓管聲子晶體單胞模型及部分實驗樣品如圖1所示,其中外管外徑D=80 mm,壁厚T=4 mm,外管縫寬W=10 mm;內管外徑d=50 mm,壁厚t=2 mm,內管縫寬w=10 mm。內管和外管的長度為0.8 m,晶格常數a=90 mm。實驗中,每組嵌套型開縫圓管內、外管之間用內管定位卡環(huán)定位,外管之間用外管定位卡環(huán)定位,組成3×6的鋼管陣列。內管、外管尺寸參數恒定,外管開縫方向為-x方向,聲波傳播方向為+x方向,即聲波正對外管開縫方向入射。外管縫向與內管縫向夾角為α,內管在x方向上發(fā)生位置偏移時其偏移量為h,在y方向發(fā)生偏移時其偏移量為l。初始狀態(tài)下內管與外管的圓心重合,α=0°,h=l=0 mm。透射系數仿真計算時,對于單個散射體長徑比大于10時,可以將模型簡化為二維模型進行計算,不考慮聲波在圓管軸向(z向)的傳播,示意圖如圖2所示。

圖1 嵌套型開縫管聲子晶體單胞及實驗樣品

圖2 簡化的二維模型示意圖

1.2 理論模型

(1)

對于聲-固耦合型聲子晶體,分別在流體域和固體域應用式(1),同時通過邊界形式考慮聲-固耦合作用。在流體域中,Helmholtz方程為

(2)

在固體域中采用應力-應變模型。考慮聲波與固體的耦合作用,散射體邊界條件為

(3)

式中:ns是從固體域向外指向的單位法向矢量。

考慮聲波與固體的耦合作用,基體的邊界條件

(4)

式中:na是流體域向外的單位方向矢量。同時,根據Bloch定理,式(1)解的形式可以寫為

目前，隨著不斷的深化改革，提高政府財政資金的使用效率越來越得到重視。但是過去采用的收付實現制是不能實現財務的績效管理的。在采用了權責發(fā)生制之后，能夠完整反映出政府各部門提供的公共產品以及公共服務的成本價格以及效果，能夠為考核政府部門財務管理的績效提供參考數據。從而可以分析出政府財政的哪些地方缺乏績效，可以增強政府部門的財務管理，實現財務的績效管理。

(5)

式(5)即為Bloch周期邊界條件。

在考慮了聲-固耦合作用的條件下,通過設定Bloch周期邊界條件,讓波矢遍歷單元結構的第一布里淵區(qū)邊界,求得其特征值,從而求得聲子晶體的能帶結構。為保證計算結果具有良好的收斂性,選擇細化的三角形網格模型劃分為86 976個單元。計算結構透射系數時選擇細化的三角形網格模型,劃分為482 480個單元。為了確保求解域的邊界不發(fā)生反射,在邊界外層采用完全匹配層(PML)[13-15],其特點為對聲波進行吸收,防止反射,可以終止波的傳播且對波的方向不敏感,邊界方程為

(6)

1.3 實驗方案與裝置

圖3 實驗原理圖

為了對數值計算結果進行驗證,本文搭建了二維嵌套型聲子晶體結構透射系數測試平臺。實驗原理如圖3所示,實驗樣品的尺寸、材料參數與數值計算模型相同。所設計的聲子晶體透射系數的實驗平臺如圖4所示。實驗在半消聲室中進行,利用M+P測試軟件進行測試,實驗中為減小聲波繞射效應,在聲子晶體陣列與聲源之間加設隔聲板。隔聲板的芯層是泡沫,具有很強的吸聲性能,在隔聲板中間開設一與聲子晶體陣列端面尺寸相當的矩形窗口,揚聲器與聲子晶體陣列布置在隔聲板兩側,聲音穿過矩形窗口正對聲子晶體陣列入射,其他方向均有隔聲材料隔聲。信號發(fā)生器產生100～3 500 Hz的白噪聲經過功率放大器后由揚聲器輸出,輸出功率為1W,揚聲器置于隔聲板另一側,正對矩形窗口,距離第1列嵌套型開縫管150mm。聲波通過聲子晶體陣列后的透射聲壓在固定測點處被傳聲器測量,并通過頻譜分析儀和MATLAB求得透射系數,測點位置距離第6列嵌套型開縫管250mm。這兩個距離為綜合考慮實驗室測試條件和防止繞射、減小聲波耗損而定。從實驗結果來看,實驗數據和數值計算吻合較好。

圖4 透射系數測試實驗平臺

2 數值計算結果與實驗對比

2.1 嵌套型開縫管的低頻寬帶隙特性

本文提出的嵌套型開縫管聲子晶體是一種聲-固耦合型聲子晶體,散射體為鋼,密度為7 840kg/m3,彈性模量為2.16×1011Pa,泊松比為0.28;基體為空氣,取密度為1.25kg/m3,聲速為340m/s。初始狀態(tài)下,h=l=0mm,α=0°,計算得到嵌套型開縫管聲子晶體的能帶圖、透射系數和實驗測得透射系數對比如圖5所示。

從圖5能帶圖可以看出:該結構在537.664～839.949Hz打開了一條低頻寬禁帶,帶隙寬度為302Hz,為結構的第1帶隙,相比前期文獻研究的開縫單管結構得到的上千赫茲處的禁帶,嵌套型結構具有更低的低頻禁帶;在內管參數變化時結構在1kHz附近打開一條極窄的禁帶,為第2禁帶;同時,結構在1 661.93～2 367Hz打開了一條寬禁帶,為第3禁帶,其帶隙寬度為706Hz。

本文主要研究低頻的第1禁帶的調節(jié)方法。對照圖5,第1禁帶和第3禁帶頻率區(qū)域的透射系數趨近于0,說明在該段頻段內結構的隔聲效果良好,存在禁帶。同時,由于理論計算忽略固體的阻尼、空氣的黏性,且實驗中會遇到背景噪聲、聲波繞射、樣品加工誤差等因素,所以禁帶的透射系數理論值都為0,而實驗結果可以認為透射系數小于0.05的區(qū)域即為禁帶。由圖5發(fā)現,仿真結果和實驗吻合得比較好,這表明本文采用的數值計算方法是有效的。

圖5 理論禁帶與實驗禁帶對比

開縫管結構等效于亥姆霍茲共振腔,聲波經過衍射在共振腔內形成比較大的聲壓。發(fā)生聲壓突變的縫隙可等效為亥姆霍茲共鳴器的短管,聲壓集中的區(qū)域等效為亥姆霍茲共鳴器的腔體。為了說明結構的帶隙機理,提取第1禁帶的上下邊界的模態(tài)如圖6所示,等效的亥姆霍茲共鳴腔如圖7所示。禁帶上邊界聲壓主要集中在內、外管之間區(qū)域和內管腔內(腔體體積V),聲壓突變發(fā)生在內、外管的開縫處和內、外管之間的縫隙中(短管S、L)。禁帶下邊界的聲壓主要集中在管內(腔體體積V),管外的聲壓幾乎為0,且聲壓突變發(fā)生在內、外管的開縫處和內、外管之間的縫隙中(短管S、L)。由于亥姆霍茲共鳴效應,嵌套型開縫管結構使聲波在其內部發(fā)生了共振并消耗了聲波能量,減弱了波的繼續(xù)傳播,這與前期學者研究的開縫單管禁帶機理相符合。分析認為,較高頻的寬禁帶(第3禁帶)是由于開縫管的局域共振或布拉格效應形成的,其禁帶內出現的平直帶是局域共振型聲子晶體的典型特征之一[16],后文的參數研究也證明了這一點。

圖6 第1禁帶的上、下邊界模態(tài)圖

圖7 等效亥姆霍茲共鳴腔

在實際應用中,聲子晶體設計和制備后其晶格常數即為恒定,其帶隙基本不能通過改變晶格常數進行調節(jié)。因此,如何在不改變晶格常數條件下調節(jié)禁帶范圍是聲子晶體研究的一大突破點。本文主要針對嵌套型開縫圓管聲子晶體的低頻帶隙,通過數值計算和實驗研究了內管縫向、內管位置及玻璃棉對禁帶的調制作用,得到了固定晶格常數條件下調節(jié)嵌套型聲子晶體結構禁帶的有效方法,為嵌套型開縫管在潛艇、飛機短艙等方面的噪聲控制和帶隙調節(jié)提供理論依據。

2.2 內管縫向對嵌套型開縫管帶隙特性的影響

圖8為內管縫向α與禁帶的關系。當α=0°時,嵌套型開縫管聲子晶體結構的低頻帶隙最寬,但禁帶位置最高,禁帶范圍為537.664～839.949 Hz,禁帶寬度為302 Hz。隨著α的增加,禁帶位置不斷向低頻移動,同時禁帶寬度減小。當α為180°時,得到起始頻率最低的低頻禁帶,禁帶范圍為430～600 Hz,禁帶寬度為170 Hz,比α=0°時的禁帶位置下移了約107 Hz,明顯降低了禁帶位置。隨著α的增加,第2禁帶逐漸打開,而α對第3禁帶無明顯影響。圖9為α=0°、α=90°和α=180°時的透射系數實驗數據,發(fā)現3種角度下實驗測得的透射系數的禁帶位置和寬度變化基本和理論計算吻合。

圖8 內管縫向和禁帶的關系

圖9 不同內管縫向時的透射系數對比

為解釋內管縫向影響第1禁帶的原理,提取不同α時第1禁帶的下邊界模態(tài)如圖10所示。結果表明,α不同時,第1禁帶的邊界模態(tài)具有相同的特征,其聲壓分布相似,即聲壓同時集中在內、外管之間區(qū)域和內管腔內,聲壓突變發(fā)生在內、外管的開縫處和內、外管之間的縫隙中。其區(qū)別在于內、外管之間的縫隙處的聲壓突變的程度:當α=0°時,內、外管之間的縫隙處的聲壓突變基本為0,而隨著α的增大,內、外管之間的縫隙處的聲壓突變更為明顯,縫隙處聲壓突變區(qū)域更大。因此,α的增加形成了新的短管,產生了新的亥姆霍茲共鳴腔,在原始狀態(tài)基礎上增強了結構的吸聲性能,降低了亥姆霍茲共鳴腔的共振頻率,這就是α參數調節(jié)禁帶的機理。

圖10 第1禁帶的下邊界模態(tài)圖

在開縫管縫隙較小的情況下,縫隙聲子晶體原胞結構類似于亥姆霍茲共振腔,可以采用亥姆霍茲共振腔理論初步研究其禁帶變化規(guī)律。亥姆霍茲共振腔的共振角頻率計算公式為

(7)

式中:S為短管截面面積(聲壓突變處縫隙的等效截面面積);L為短管長度(聲壓突變處的縫隙的等效長度);V為腔體體積(聲壓集中區(qū)域等效面積)。對于縫隙聲子晶體原胞結構,有V+LS=K。在開縫管縫隙較小時,LS遠小于V。

內、外管開縫處聲壓情況基本不變,而內、外管之間縫隙處聲壓突變情況改變。內、外管之間縫隙處聲壓突變情況:當α=0°時,L趨近于0;α增加時,L增加,增量為ΔL,V減小,減小量為ΔV,其關系為ΔLS=ΔV。

根據式(7)得到

顯然,在開縫管縫隙較小時,K-2LS>0,(L+ΔL)·(V-ΔV)>LV,共振頻率ω0隨著α的增加而減小,與圖8的計算結果相符,即隨著α的增加,內、外管之間縫隙處聲壓突變區(qū)變長,共振頻率降低。第1禁帶上邊界的邊界模態(tài)分析同理。

對于第3禁帶,其帶寬和位置不隨α的變化而改變。α的改變對聲子晶體原胞的拓撲結構、對稱性和質量分布基本沒有影響,因此其帶隙不發(fā)生改變,這與其禁帶形成機理相符。

2.3 內管偏移量對嵌套型開縫管帶隙特性的影響

內管位置對禁帶的影響主要從內管在x方向和y方向上的偏移量對禁帶的影響上來研究。如圖11～圖13所示,內管在x、y方向上的偏移量能夠明顯降低第1禁帶的起始頻率,研究的α=0°和α=90°時內管單方向偏移后的禁帶起始頻率最低可降低到290 Hz,與原始狀態(tài)相比降低了250 Hz,這在低頻禁帶調節(jié)中是十分難得的。圖14實驗測得的3種參數下的結構透射系數與仿真計算得到的禁帶位置和寬度基本相符,在誤差允許范圍內可以認為理論計算是可靠的。

圖11 α=0°時內管在x方向上的偏移量與禁帶的關系

圖12 α=90°時內管在x方向上的偏移量與禁帶的關系

圖13 α=90°時內管在y方向上的偏移量與禁帶的關系

圖14 不同偏移量時的透射系數對比

x方向的偏移量h越小,禁帶頻率越低,禁帶向低頻移動,同時禁帶寬度減小;h越小,其單位增量對禁帶的影響越大。y方向的偏移量l增大,禁帶頻率降低,帶隙向低頻移動,其增量對禁帶的影響越大。通過調節(jié)偏移量可以使第1禁帶向低頻移動超過200 Hz。這充分說明了這種參數調節(jié)方法的實用性和有效性。

從圖15可以看到,聲壓同時集中在內、外管之間區(qū)域和內管腔內,聲壓突變發(fā)生在內、外管的開縫處和靠近內、外管開縫處由于偏移形成的狹窄縫隙中。禁帶上邊界模態(tài)圖分析同理。內管位置偏移調節(jié)禁帶的原理是:位置偏移使內、外管之間的縫隙形成了聲壓突變,形成了新的短管,產生了新的亥姆霍茲共鳴腔,在原始狀態(tài)基礎上增強了結構的吸聲性能,降低了亥姆霍茲共鳴腔的共振頻率。這與內管縫向對禁帶的影響機理是一致的。不同的是,縫向α改變形成新的聲壓突變(短管),α增加聲壓突變區(qū)長度L變長,聲壓突變區(qū)變大;內管偏移量h和l改變可以在內管開縫處附近形成新的聲壓突變區(qū)(短管),同時改變聲壓突變處縫隙的寬度,h和l變化導致S變小。因此,h和l對禁帶的影響受到α的影響很大,α決定了內管縫向,從而影響內管開縫處新的聲壓突變區(qū)形成。

(a) α=0°、l=0 mm、h=-8 mm時 禁帶下邊界

由圖16看出,y方向的偏移量在內管開縫處附近沒有形成新的聲壓突變,因此α=0°、h=0 mm時,y方向的偏移不影響第1禁帶。偏移量使內管或外管開縫處附近形成新的聲壓突變時才能夠得到更低的起始頻率。當內管開縫處靠近外管內壁或內管外壁靠近外管開縫處時可以形成新的聲壓突變區(qū)域,這也是上述幾種情況下偏移量調節(jié)起始頻率的原因。

(a)α=0°、h=0 mm、l=-8 mm時禁帶下邊界

(b)y向偏移量對禁帶的影響圖16 α=0°時y方向偏移量對禁帶的影響及禁帶邊界模態(tài)

隨著內管偏移量的變化,第2禁帶逐漸打開或者關閉,其帶寬較窄。隨著偏移量絕對值的增加,第3禁帶上邊界基本都向上移動。原始狀態(tài)時第3禁帶為1 661.93～2367 Hz,內管偏移量可調節(jié)第3禁帶上邊界頻率,最高可達到2661 Hz,禁帶寬度達到1 kHz。原胞的拓撲結構、對稱性和質量分布能夠影響和調節(jié)禁帶范圍[17-19]。原始狀態(tài)下的原胞高度對稱、質量集中,內管偏移后改變了其拓撲結構,破壞了其對稱性和質量分布,使原胞質心偏離原始狀態(tài),從而拓寬了能帶范圍,且偏移量的絕對值越大,對稱性越差,禁帶越寬。內管偏移量對第3禁帶的影響和內管縫向不影響第3禁帶進一步說明其形成機理與第1禁帶完全不同。

2.4 玻璃棉對嵌套型開縫管帶隙特性的影響

本文除了研究縫向、內管偏移量對禁帶的影響外,還將聲波高吸收材料玻璃棉引入到嵌套型聲子晶體中,分別研究了內管填充玻璃棉,內、外管間填充玻璃棉和內、外管均填充玻璃棉對禁帶的作用。實驗中將與管內空間等體積的玻璃棉均勻填充到管中,使吸聲棉均勻充滿填充空間。吸聲棉的有效密度ρ0=12 kg/m3、纖維直徑d0=10 μm。實驗結果如圖17所示,填充玻璃棉的3種狀態(tài)透射系數基本上都小于原始狀態(tài),同時在一定程度上拓寬了低頻禁帶。這說明玻璃棉的吸聲特性能夠增強聲子晶體結構的吸聲效果,使禁帶外的透射被吸收,降低了透射系數,對原有禁帶具有優(yōu)化作用。

圖17 玻璃棉對禁帶及結構吸聲性能的影響

3 結 論

本文基于亥姆霍茲共鳴效應,針對嵌套型開縫圓管聲子晶體結構,在考慮聲-固耦合的情況下,利用有限元法對這種結構的帶隙和透射系數進行了數值計算,并通過實驗進行了驗證。結果表明,嵌套型開縫管結構比開縫單管結構具有更低的低頻禁帶起始頻率,其低頻帶隙是由嵌套型結構的亥姆霍茲效應產生,即聲波在嵌套型結構中共振消耗和減弱。在不改變晶格常數的條件下,內管縫向和位置參數對結構的低頻帶隙具有有效的調節(jié)作用,其原理是基于亥姆霍茲共振腔的共鳴效應,產生了新的聲壓突變區(qū)即亥姆霍茲共振腔,并增強了亥姆霍茲效應。高頻禁帶產生機理為局域共振及布拉格散射,它受內管偏移量的影響是由于內管位置變化帶來的原胞拓撲結構、對稱性和質量分布的變化而產生的。玻璃棉的吸聲特性能夠增強聲子晶體結構的吸聲效果,降低透射系數,對原有禁帶具有優(yōu)化作用。

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(編輯 杜秀杰)

Factors Influencing Band Gaps of the Nested Periodical Slit Metal Tubes

BAO Kai,CHEN Tianning,WANG Xiaopeng,WANG Fang,ZHANG Zhenhua

(State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

The band gap starting frequency of periodical slit metal tubes is higher and the band gap is difficult to modulate. A nested structure with periodical slit metal tubes is designed based on Helmholtz resonators. According to the Bloch theorem and the Helmholtz equation, the band gap characteristics of the proposed nested structure are investigated theoretically and experimentally. The results show that the phononic crystal possesses wide band gap in low-frequency range. Frequency position and width of band gap can be effectively modulated by the angle and the relative position between the inner and outer slit metal tubes without changing the lattice constant. The lowest frequency falls to 250 Hz. Glass wool strongly attenuates the acoustic wave and broaden the band gaps. The band gap can even be modulated after the preparation of the nested periodical slit metal tubes.

phononic crystal; low-frequency band gap; nested periodical slit metal tubes; glass wool; noise control

2015-11-13。 作者簡介:包凱(1991—),男,碩士生;王小鵬(通信作者),男,副教授。 基金項目:國家自然科學基金資助項目(51275377)。

時間:2015-12-30

10.7652/xjtuxb201604019

TB535;O328

A

0253-987X(2016)04-0124-07

網絡出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20151230.1809.002.html