學實數，悟思想

趙軍

學實數，悟思想

趙軍

一、分類思想

例1若x是16的平方根，則5-x的平方根是____.

【解析】因為x=±4.所以①當x=4時，5-x=1，其平方根是±1；②當x=-4時，5-x=9，其平方根是±3.故5-x的平方根是±1或±3.

【變式練習】若||x-7=5，則x的值為_____.

【思路點撥】絕對值等于5的數有兩個，分別是5和-5，所以要分兩種情況求解.

【方法歸納】情況不明，分類在前.

二、類比思想

【解析】任何非0實數的0次冪等于1，非0實數的負指數冪的結果只需要“底倒指反”（“底倒指反”是指底數改寫成它的倒數，指數改寫成它的相反數）.原式=

【變式練習】觀察下列等式，回答問題：

【方法歸納】（1）在實數范圍內，任何數都可進行開立方運算，任何非負數都可進行開平方運算，類比有理數的相關知識，去理解無理數、實數的相關知識；（2）遇到規律問題要有序觀察，采用各個擊破的方法找規律.

三、整體思想

例3求各式中x的值.（1）25（x-2）2-36=0；（2）-（x+3）3=27.

【解析】第（1）題中把x-2視為一個整體，先求出（x-2）2的值，再開平方根求出（x-2）的值，

【思路點撥】先注意觀察兩個根式，其被開方數分別是2x-5和5-2x，它們互為相反數，且被開方數不能為負數，故可列出不等式組，求出x的值，然后得到y的值，最終求出2xy的值.

【方法歸納】解決問題時，要把注意力和著眼點放在問題的整體結構上，整體思考問題，這樣往往能使問題的解答簡潔明快.在考慮問題時，我們要有一種宏觀思維和大局意識.

四、轉化思想

【解析】可將兩個數分別平方，減少根號的個數，盡量把無理向有理轉化，然后去掉相同

【變式練習】如圖1，長方體的長、寬、高分別是3、4、5，求其表面上點A到點B的最短距離.

圖1

圖2

【思路點撥】這是立體圖形表面上的最值問題，解題思路應考慮將其展開，得到平面圖形后求兩點之間的距離.如圖2，展開后在RtΔABC中，求得點A到點B的最短距離為74.

【方法歸納】把復雜問題向簡單問題轉化是我們解決問題的一種思維方式.一般而言，無理問題要向有理問題轉化，立體問題要向平面問題轉化.通過轉化，達到陌生問題熟悉化、復雜問題簡單化的目的.

五、逼近思想

A.段①B.段②C.段③D.段④

【解析】本題以數軸上的點為問題背景，考查了同學們對無理數的估算能力.解答本題的關鍵在于先估算8在哪兩個數的平方之間，再確定在哪兩個數之間.對照數軸上的數字，分別計算出它們的平方：2.62=6.76，2.72=7.29，2.82=7.84，2.92=8.41，32=9.∵7.84＜8＜8.41，∴的點落在段③.

A.0＜m＜1B.1＜m＜2

C.2＜m＜3D.3＜m＜4

【方法歸納】對無理數，尤其是根式的比較大小、確定范圍，通常要先進行“無理”化“有理”這樣一個過程，通過平方，達到“逼近”的目的，從而估算出其范圍.

（作者單位：江蘇省東臺市新街鎮中學）

責任編輯：沈紅艷見習編輯：李詩

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