壓力輸水管道管徑方程求解法

陳 居 乾

(甘肅省蘭州市就業(yè)和人才服務(wù)局, 甘肅 蘭州 730000)

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壓力輸水管道管徑方程求解法

陳 居 乾

(甘肅省蘭州市就業(yè)和人才服務(wù)局, 甘肅 蘭州 730000)

在各類壓力輸水工程設(shè)計實踐中，對于倒虹吸管及一般壓力輸水管道的管徑確定，通常依據(jù)復(fù)雜多變因素，采用試算法計算選擇，由于可變因素較多，計算選擇相對繁瑣，且工作量較大。本文依據(jù)壓力管流水力學(xué)計算理論，通過分析與方程推導(dǎo)，導(dǎo)出倒虹吸及一般壓力輸水管道管徑，以及直接計算上下游水頭與水位差的方程求解法，并分析匯總求解方法及其步驟，計算簡便快捷。同時，分別列舉工程實例計算予以明確，計算結(jié)果準(zhǔn)確，可為各類壓力輸水工程實踐提供參考。

倒虹吸管；壓力輸水管道；管徑；水頭與水位差；方程求解法

0 前 言

在各類調(diào)水、引水及供水等水利工程中，為降低水量損失、減少工程占地、有效保護水質(zhì)、確保供水壓力水頭，以及考慮輸水線路布置靈活等需要，一般多采用壓力管道進行輸水。在壓力輸水水工建筑物不同類型中，倒虹吸為常見與重要的輸水建筑物，也是典型的跨溝與穿越地勢低洼地段且能保證供水水頭的有壓輸水水工建筑物。通常在工程設(shè)計實踐中，對于倒虹吸管及一般壓力輸水管道的設(shè)計計算，其流量系數(shù)μ與管徑d相關(guān)聯(lián)，一般在確定管徑時常依據(jù)運行水頭壓力、壓坡線、水頭損失量、管材價格、經(jīng)濟流速，以及運輸與安裝施工等復(fù)雜多變因素，采用試算法計算選擇，由于可變因素較多，計算選擇相對繁瑣，且工作量較大。依據(jù)壓力管流水力學(xué)計算理論，通過分析與方程推導(dǎo)，導(dǎo)出倒虹吸管徑及直接計算運行工作水頭的方程求解法，并分析匯總管徑方程求解方法及其步驟，管徑計算選擇簡便快捷，工作量大為降低。同時依據(jù)倒虹吸管徑方程，可延伸應(yīng)用，進而得出一般壓力輸水管道不同出流工況的管徑，以及直接計算上下游進出口水位差與水頭的方程。并分別列舉不同類型工程實例進行相應(yīng)計算，進一步明確管徑方程求解方法及其步驟，計算結(jié)果準(zhǔn)確。

1 倒虹吸管管徑方程推導(dǎo)

倒虹吸管水工壓力輸水建筑物工程一般由進出口上下游水流控制閘室與漸變段、以及中段壓力輸水管道等組成，其典型布置見圖1。

圖1 倒虹吸管典型布置示意

從圖中可知水面總落差ΔH為：

ΔH=ΔH1+ΔH2+ΔH3

(1)

(2)

(3)

(4)

式中 ΔH1——上游進口閘室水頭,m；

ΔH2——進出口之間水頭損失量,m；

ΔH3——出口閘室之后漸變段水面回升量,m；

v1——上游渠道斷面流速,m/s；

v2——進口上游漸變渠段末端斷面流速,m/s；

v——壓力輸水管道出口斷面流速,m/s；

v3——下游渠道斷面流速,m/s；

ζ1——進口上游漸變渠段局部水頭損失系數(shù)；

ζi——壓力輸水管道某一轉(zhuǎn)彎點等軸線變化處局部水頭損失系數(shù)；

ζ2——出口下游漸變渠段局部水頭損失系數(shù)；

λ——壓力輸水管道沿程水頭損失系數(shù)；

L——壓力輸水管道管長,m；

d——壓力輸水管道凈管徑,m；

g——重力加速度，取9.81m/s2。

由(3)式及Q=wv可得：

(5)

(6)

(7)

式中Q——輸水流量,m3/s；

μ——流量系數(shù)；

w——壓力輸水管道凈斷面面積,m2。

由(1)、(2)、(4)式得：

(8)

n——壓力輸水管道水力糙率；

R——壓力輸水管道凈斷面水力半徑,m。

由(5)、(6)、(8)式可歸納分析計算得：

(9)

為簡化繁瑣計算式，令：

則(9)式可簡化為：

x4-Ax-B=0

(10)

由此，(10)式即為倒虹吸管管徑的通用標(biāo)準(zhǔn)方程式，可依據(jù)倒虹吸管進出口布置及其型式與結(jié)構(gòu)的不同，分別歸納分析其特定不同結(jié)構(gòu)與布置型式的上下游水位總落差ΔH(運行工作水頭)，以及關(guān)鍵參數(shù)A與B的計算確定方程式。

1.1 進出口設(shè)置漸變段

當(dāng)?shù)购缥苓M出口設(shè)置漸變段，且上下游渠道流量與斷面流速相等或近似相同，即v1=v3時，上下游渠道水位總落差ΔH(運行工作水頭)(9)式則為：

(11)

由此可得：

(11-1)

(11-2)

1.2 進出口不設(shè)漸變段

當(dāng)?shù)购缥苓M出口不設(shè)置漸變段，且進出口上下游漸變渠段局部水頭損失系數(shù)，以及上下游渠道流量與斷面流速相等或近似相同，即ζ1=ζ2=0、v1=v2=v3時，上下游渠道水位總落差ΔH(運行工作水頭)(9)式則為：

(12)

由此可得：

A=0.082 7∑ζiQ2ΔH-1

(12-1)

B=10.293 5Q2n2LΔH-1

(12-2)

2 一般壓力輸水管道管徑方程

當(dāng)?shù)购缥苓M出口不設(shè)置漸變段，出口自由出流或淹沒出流時，即變?yōu)樽杂沙隽骰蜓蜎]出流的一般壓力輸水管道，可由倒虹吸管管徑方程得出一般壓力輸水管道的管徑方程，仍為x4-Ax-B=0。可依據(jù)壓力輸水管道出口不同的出流工況，分別歸納分析其特定工況的壓力水頭H與上下游水位差Z，以及關(guān)鍵參數(shù)A與B的計算確定方程式。

2.1 自由出流工況

當(dāng)一般壓力輸水管道出口為自由出流運行工況，且為等管徑，不考慮水流行進流速或行進流速微小可忽略不計，即行進流速v0=0時，則可依據(jù)(9)式得出壓力水頭H為：

(13)

由此可得：

A=0.082 7(∑ζi+1)Q2H-1

(13-1)

B=10.293 5Q2n2LH-1

(13-2)

2.2 淹沒出流工況

當(dāng)一般壓力輸水管道出口為淹沒出流運行工況，并為等管徑，不考慮水流行進流速或行進流速微小可忽略不計，即行進流速v0=0，且上下游進出口渠段水流流速相等或近似相同，即v1=v2=v3時，則可依據(jù)(9)式得出上下游水位差Z為：

(14)

由此可得：A=0.082 7∑ζiQ2Z-1

(14-1)

B=10.293 5Q2n2LZ-1

(14-2)

2.3 不同管徑方程分析比較

對比(13)與(14)式，公式型式雖不同，但量值相等，對于水頭損失系數(shù)總量，自由出流工況相對淹沒出流工況，增加出口水頭損失系數(shù)1.0；對比(12)與(14)式，公式型式雖相同，但量值不相等，(12)式中的水頭損失系數(shù)總量并無出口淹沒水頭損失系數(shù)1.0，由此可知，一般壓力輸水管道為倒虹吸管的一種特例。

3 管徑方程求解方法及其步驟

倒虹吸管與一般壓力輸水管道管徑通用標(biāo)準(zhǔn)方程x4-Ax-B=0為一元四次方程，其求解方法相同。

令：

y=f(x)=x4-Ax-B=0

(15)

在求出方程(15)的實根后，即可求出倒虹吸管或一般壓力輸水管道的凈管徑d。方程f(x)=0的自由變量即為實根，也即為y=f(x)圖形與x軸交點的橫坐標(biāo)，可采用牛頓法求解方程，其計算求解方法及其步驟一般分為以下5個環(huán)節(jié)程序：

(1)依據(jù)倒虹吸管與一般壓力輸水管道的運行工況、輸水流量、上下游水頭落差、工程布置、結(jié)構(gòu)設(shè)計、水頭損失系數(shù)、輸水水力學(xué)計算特性參數(shù)與成果，以及運行或假定條件參數(shù)，求出相應(yīng)關(guān)鍵參數(shù)A、B值，然后代入方程(15)，得到相應(yīng)管徑方程式。

(2)求解滿足f(A)·f(B)<0的封閉區(qū)間[A,B]值。

(3)求解f(x)的導(dǎo)數(shù)，得方程式：f′(x)=4x3-A、f″(x)=12x2>0。

(4)依據(jù)封閉區(qū)間[A,B]，重復(fù)采用牛頓公式求解方程中的x值，分別可得以下兩式：

(16)

(17)

4 工程實例計算分析

4.1 工程例1

某引水工程渠道與河流交叉，采用預(yù)制鋼筋混凝土倒虹吸管輸水建筑物跨越，引水流量Q=3.2m3/s、進出口流速v1=v3=0.75m/s、上下游渠道水位總落差ΔH=0.58m；進出口設(shè)置漸變段，水頭損失系數(shù)分別為ζ1=0.10、ζ2=0.28；進口漸變段末端斷面流速v2=0.96m/s；管道長度L=182.40m；進口攔污柵水頭損失系數(shù)ζ3=0.018、閘門門槽水頭損失系數(shù)ζ4=0.05、進口水頭損失系數(shù)ζ5=0.26、管道軸線兩處轉(zhuǎn)彎水頭損失系數(shù)ζ6=ζ7=0.22；管道水力糙率n=0.013 5，要求計算確定倒虹吸管凈管徑d。

倒虹吸管管徑d計算求解確定過程分為以下5個步驟：

(1)按照(11)及(11-1～2)式，可依據(jù)已知條件參數(shù)求得A=1.514、B=5.977。由此，倒虹吸管管徑方程(10)式為x4-1.514x-5.977=0，(15)式相應(yīng)為y=f(x)=x4-1.514x-5.977。

(2)對于(15)式，當(dāng)取x=0時，f(0)=-5.977<0；經(jīng)重復(fù)x不同參數(shù)值計算，可滿足f(x)>0的最小下限x參數(shù)值為x=1.711，此時f(1.711)=0.002 9>0，由此，可得封閉區(qū)間[A,B]值為x∈[0,1.711]。

(3)相應(yīng)可得f′(x)=4x3-1.514、f″(x)=12x2>0。

因此，根據(jù)管徑方程式，可求解得f(1.710 8)=0.000 778≈0，故取x=1.710 8。

(5)計算d=1.710 83/4=1.495 9m。

最終計算確定倒虹吸管管道凈管徑為d=1.495 9m，工程設(shè)計凈管徑取d=1.50m。

4.2 工程例2

某供水工程供水水頭H=5.2m，壓力輸水管道出口為自由出流，供水流量Q=1.2m3/s，輸水管道為鋼管，管道長度L=856.6m，管道進口水頭損失系數(shù)ζ1=0.45，管道軸線五處轉(zhuǎn)彎水頭損失系數(shù)分別為ζ2=ζ3=0.22、ζ4=ζ5=ζ6=0.25，管道水力糙率n=0.012，要求計算確定壓力輸水管道凈管徑d。

壓力輸水管道管徑d計算求解確定過程分為以下5個步驟：

(1)按照(13)及(13-1～2)式，可依據(jù)已知條件參數(shù)求得A=0.061、B=0.352。由此，壓力輸水管道管徑方程(10)式為x4-0.061x-0.352=0，(15)式相應(yīng)為y=f(x)=x4-0.061x-0.352。

(2)對于(15)式，當(dāng)取x=0時，f(0)=-0.352<0；經(jīng)重復(fù)x不同參數(shù)值計算，可滿足f(x)>0的最小下限x參數(shù)值為x=0.796，此時f(0.796)=0.000 91>0，由此，可得封閉區(qū)間[A,B]值為x∈[0,0.796]。

(3)相應(yīng)可得f′(x)=4x3-0.061、f″(x)=12x2>0。

因此，根據(jù)管徑方程式，可求解得f(0.795 5)=0.000 064≈0，故取x=0.795 5。

(5)計算d=0.795 53/4=0.842 3m。

最終計算確定壓力輸水管道凈管徑為d=0.842 3m，工程設(shè)計凈管徑取d=0.85m。

若管徑d與水頭H可靈活選擇確定，則當(dāng)選擇確定凈管徑為d=0.842 3m時，可逆向由(13)式計算得出所需供水水頭為H=5.2m。

5 結(jié) 語

在各類調(diào)水、引水及供水等水利工程中，為降低水量損失、減少工程占地、有效保護水質(zhì)、確保供水壓力水頭，以及考慮輸水線路布置靈活等需要，一般多采用壓力管道輸水。設(shè)計實踐實際工作中，一般依據(jù)運行水頭壓力、壓坡線、水頭損失量、管材價格、經(jīng)濟流速，以及運輸與安裝施工等復(fù)雜多變因素，采用試算法計算確定管徑d，由于可變因素較多，計算選擇相對繁瑣，且工作量較大。本文依據(jù)壓力管流水力學(xué)計算理論，通過分析與方程推導(dǎo)，導(dǎo)出倒虹吸管徑d及直接計算運行工作水頭ΔH的通用標(biāo)準(zhǔn)方程x4-Ax-B=0求解法，并依據(jù)倒虹吸管進出口布置及其型式與結(jié)構(gòu)的不同，分別歸納分析進出口設(shè)置與不設(shè)置漸變段的運行工作水頭ΔH，以及關(guān)鍵參數(shù)A與B的計算確定方程式。進而得出倒虹吸管的特例，一般壓力輸水管道自由出流與淹沒出流兩種不同工況的管徑d，以及直接計算壓力水頭H與上下游水位差Z，以及關(guān)鍵參數(shù)A與B的計算確定方程式，并進行分析比較。提出管徑d方程求解方法及其步驟，計算選擇簡便快捷。同時，分別列舉不同類型工程實例計算，進一步明確管徑d方程求解方法及其步驟，計算結(jié)果準(zhǔn)確，可為各類壓力輸水工程實踐提供參考。

本文承蒙甘肅省水利水電勘測設(shè)計研究院副總工程師陳曉東審閱和指導(dǎo)，特此致謝！

2016-09-19

陳居乾(1992-),男，甘肅會寧縣人，從事水力工程設(shè)計工作。

TU991.36

B

1003-9805(2016)04-0029-03