一類三階非線性色散波方程Cauchy問題解的解析性

鄭曉翠，高曉紅

（1.西北大學數學學院，陜西西安710127；2.西北大學非線性科學研究中心，陜西西安710069）

一類三階非線性色散波方程Cauchy問題解的解析性

鄭曉翠1，高曉紅2

（1.西北大學數學學院，陜西西安710127；2.西北大學非線性科學研究中心，陜西西安710069）

利用抽象的Cauchy-Kowalevski定理，證明了一類三階非線性色散方程Cauchy問題解的解析性，即如果該Cauchy問題初值是解析的，則其解關于空間變量是全局解析的，關于時間變量是局部解析的.

非線性色散波方程；Cauchy-Kowalevski定理；解析性

1 引言

研究了一類三階非線性色散方程，方程形式如下：

這里g［u］=κu+αu2+βu3，其中α，β，κ，θ，λ均是常參數.

方程（1）包含許多有意義的物理模型，其可以描述連續介質.例如：當

且θ為任意實參數時，方程（1）就可以作為一個新的模型來描述圓柱形可壓縮超彈性桿［1-2］.其中，各種可壓縮材料的物理參數θ的取值范圍是從-29.4760到3.4174.此外，當參數滿足某些條件時，方程（1）可以約化成一些淺水波方程.文獻［3］中討論了在具體參數條件下，方程（1）的對稱性.文獻［4］中又給出了該模型是完全可積的.

在此研究基礎上，將考慮方程（1）的Cauchy問題：解的解析性.

本文的主要方法是在一個合適度量的Banach空間中利用抽象的Cauchy-Kowalevski定理來證明.這個方法是由文獻［5］引入的，之后在文獻［6-7］中得到更一般的結論.

2 預備知識

在這一節，將引入在證明過程中所需要的一些基本知識和引理.

3 主要結果及其證明

首先給出結論.

參考文獻

［1］Dai H H.Model equations for nonlinear dispersive waves in a compressible Mooney-Rivlin rod［J］.Acta Mech.，1998，127：193-207.

［2］Dai H H，Huo Y.Solitary shock waves and other travelling waves in a general compressible hyperelastic rod［J］.Proc.R.Soc.，2000，456：331-363.

［3］Clarkson P A，Mansfield E L，Priestley T J.Symmetries of a class of nonlinear third order partial differential equations［J］.Math.Comput.，1997，25：195-212.

［4］Ivanov R.On the integrability of a class of nonlinear dispersive wave equation［J］.J.Nonlinear Math.Phys.，2005，12（4）：462-468.

［5］Ovsiannikov L V.A nonlinear cauchy problem in a scale of Banach spaces［J］.Dokl.Akad.Nauk.SSSR.，1971，200：789-792.

［6］Himonas A A，Misiolek G.Analyticity of the Cauchy problem for an integrable evolution equation［J］.Math. Ann.，2003，327：575-584.

［7］Yan K，Yin Z Z.Analytic solutions of the Cauchy problem for two-component shallow water systems［J］. Math.Z.，2011，269：1113-1127.

［8］Baouendi S，Goulaouic C.Remarks on the abstract form of nonlinear Cauchy-Kowalevski theorems［J］. Comm.Partial.Diff.Eqs.，1977，2：1151-1162.

Analyticity of the Cauchy problem for a class of third-order dispersive wave equations

Zheng Xiaocui1，Gao Xiaohong2
（1.College of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127，China 2.Center for Nonlinear Studies，Northwest University，Xi′an 710069，China）

Using the abstract Cauchy-Kowalevski theorem，the analytic solutions of the Cauchy problems for a class of third-order nonlinear dispersive wave equations are discussed.It is proved that if the initial values of this Cauchy problems are analytic，then their solutions are analytic in both variables，globally in space and locally in time.

nonlinear dispersive wave equations，Cauchy-Kowalevski theorem，analyticity

O175.29

A

1008-5513（2016）02-0190-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.02.010

2015-09-28.

國家自然科學基金面上項目（11471259）；陜西省自然科學基礎研究計劃青年項目（2014JQ1002）.

鄭曉翠（1988-），碩士生，研究方向：偏微分方程.

2010 MSC:35B30